D�tection
d'exoplan�tes par la m�thode des vitesses radiales.
En
poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation
de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres
d’int�r�ts.
|
|
......
.....
|
La vitesse radiale est la vitesse d’un objet mesur�e dans la
direction de la ligne de vis�e d’un observateur fixe depuis son point d’observation. Il s’agit donc de la
projection de la vitesse de l’objet sur la ligne de vis�e orient�e dans le sens �toile →
observateur.
On note vr la vitesse radiale de la plan�te et Vr
la vitesse radiale de l’�toile.
Pour simplifier, on suppose que l’observateur est fixe dans R, et se
situe dans le plan de l’orbite � grande distance du syst�me {�toile-plan�te}.
La courbe ci-dessous pr�sente les
mesures exp�rimentales de la vitesse radiale de l’�toile 51 Pegasi au
cours du temps. Ces r�sultats peuvent en tr�s bonne approximation �tre
mod�lis�s par une loi sinuso�dale de la forme suivante :
Vr = A � cos( 2pt /
T ) (5). La p�riode T vaut ici T = 4, 23 jours.
Justifier, � l’aide de sch�mas, l’�galit� des p�riodes de
r�volution des deux astres autour de leur centre de masse.
Un syst�me m�caniquement isol� est
constitu� d'une plan�te assimil�e � un point mat�riel P de masse mP
en orbite autour d'une �toile assimil�e � un point mat�riel E de masse mE.
Un observateur, situ� au point O d'un r�f�rentiel R0 suppos�
galil�en, �tudie le mouvement dans R0 de la plan�te autour
de son �toile.
35. Exprimer  en fonction de G, mP, mE et  .
La seconde loi de Newton conduit � : 
36. On note G le
centre de masse du syst�me {plan�te - �toile }. D�finir le r�f�rentiel
de centre de masse R* et montrer qu'il est galil�en.
Le r�f�rentiel R* est d�fini par :
Les trois axes sont identiques � ceux du r�f�rentiel R0. Les
axes pointent vers des �toiles fixes.
L'origine est le barycentre des masses mE et mP.
Le syst�me {�toile - plan�te } est isol�. Il n'est soumis � aucune
force.
La seconde loi de Newton appliqu�e au point G donne :
Dans R0, le mouvement de G est rectiligne uniforme. R* est
galil�en.
37. Dans le r�f�rentiel R*, la position de l'�toile
est rep�r�e par  et la position de la
plan�te est rep�r�e par  . Montrer que : mE r*E
= mP r*P.
On pose r*E = GE et r*P = GP.
D'apr�s la d�finition du centre de masse G : 
Soit mE r*E
= mP r*P.
38. Montrer que le
mouvement relatif de P par rapport � E dans R0 s'identifie
au mouvement dans R* d'un point mat�riel fictif M de masse �= mE
mP / (mE + mP) soumis � la force
gravitationnelle  . Repr�senter sur un sch�ma
les positions de E, P, G et M.
39. D�crire le
mouvement de l'�toile dans R*.
Dans le r�f�rentiel R0, la plan�te d�crit une orbite
circulaire autour de l'�toile.
Dans le r�f�rentiel R*, M d�crit une orbite circulaire autour de G.
Donc dans R*, l'�toile d�crit une orbite circulaire autour de G.
40. La plan�te
poss�de une orbite circulaire autour de l'�toile. Montrer que sa
p�riode orbitale est :
T = 2 p[ r3
/ (G(mE + mP))]�.
Le mouvement de P autour de E s'identifie au mouvement de M autour de G.
Dans R* : 
41. Commenter le
r�sultat lorsque l'�toile est beaucoup plus massive que la plan�te.
mE >> mP, T = 2 p[ r3 / (GmE)]�. ; troisi�me loi de Kepler.
|
...
|
|
D�tection de la premi�re plan�te
extrasolaire par la m�thode des vitesses radiales.
On consid�re � nouveau le syst�me { �toile - plan�te } d�crit
ci-dessus. l'�toile est en orbite circulaire de p�riode T autour du
centre de masse G du syst�me et poss�de une vitesse vE dans
le r�f�rentiel du centre de masse R*. R0
est le r�f�rentiel g�ocentrique suppos� galil�en, et O la position du
centre de la terre. Un observateur situ� en un point T � la surface de
la terre �tudie la lumi�re de l'�toile. On note vE / T la
vitesse de l'�toile par rapport � l'observateur terrestre.
Une fr�quence du spectre de l'�toile de valeur fE dans le
r�f�rentiel de l'�toile, est per�ue avec la valeur fR � la
surface de la terre.
42. La vitesse
radiale de l'�toile, not�e vR est la composante selon ux
de vE. Montrer que vR(t) est de la forme : vR(t)
= V0 cos (F(t)),
avec V0 = vE sin(i) et F(t) = wt + F0.
43. Dans les
spectres de la lumi�re de l'�toile obtenus au cours du temps, quelle
information est � l'origine de la d�termination de vr(t) ?
Le d�calage spectrale des raies d'absorption permet de d�terminer la
vitesse radiale.
La plan�te 51 Peg b orbite autour de l'�toile 51 Peg et se situe �
environ 50,9 ann�es-lumi�re de la terre.
44. Le graphe
exp�rimental suivant a �t� obtenu suite � diverse corrections. Citer
quelques corrections � effectuer.
 Figure 19.
Il faut prendre en compte de la rotation de la terre sur elle
m�me et sa rotation autour du soleil.
|
....
|
45.
Quelle est la nature du mouvement de l'�toile 51 Peg autour du centre
de masse du syst�me {�toile - plan�te } ? En d�duire une relation entre
V0, T, r*E et sin i.
R�ponse � la question 39 : L'�toile 51 Peg d�crit un cercle autour du
centre de masse du syst�me avec la vitesse v*E.
2 p r*E
= v*E T
avec V0 = v*E sin(i).
46.
D�terminer le rayon de l'orbite de la plan�te 51 Peg b autour de
l'�toile puis la "masse minimale " mP sin i de cette
plan�te. On pourra suppos� mE >> mP.
R�ponse � la question 41 :T = 2 p[ r3 / (GmE)]�;
r = (T2GmE / (4p2))1/3
= [ (4,23 x24 x3600)2x6,67 10-11 x1,06 x1,99 1030
/ (4 x3,142)]1/3 ~7,81 109 m.
Masse minimale .
R�ponse � la question 37 : mP r*P = mE
r*E ; mP
r = mE r*E car mE >> mP.
r�ponse � la question 45 : 2
p r*E
= V0 T / sin i ;
2
p mP
r*P / mE
= V0 T / sin i ; mP sin i =
V0 T mE / (2
p r).
mP
sin i =57,3 x4,23 x24 x3600 x1,06 x1,99 1030 / (2 x3,14
x7,81 109) = 9,0 1026 kg.
47. L'hypoth�se mE
>> mP est-elle justifi�e si sin i ~ 1 ?
Dans cette hypoth�se mE / mP = 2
p r
/ (
V0 T)
= 2 x3,14 x7,81
109 / (57,3
x4,23 x24 x3600)
~ 2300.
L'hypoth�se est justifi�e.
48. Pourquoi dit-on que la plan�te
51 Peg b est un "Jupiter chaud" ?
La masse de cette plan�te est environ la moiti� de la masse de Jupiter.
De plus elle est plus proche de son �toile que Jupiter ne l'est du
soleil.
|
Etude du
syst�me plan�taire HD134987.
Au d�but du XXI�me si�cle, de nombreuses exoplan�tes ont �t�
d�tect�es par la m�thode des vitesses radiales. La plan�te
HD134987b orbitant autour de l'�toile HD134987 a �t�
d�tect�e. Cependant l'observation prolong�e d'�toiles bien connues et
l'am�lioration des techniques ont permis d'affiner les observations.
51. Montrer que
plusieurs plan�tes orbitent autour de l'�toile HD134987. Estimer les
p�riodes orbitales. Calculer le rayon orbital et la masse minimale de
celle qui est la plus proche de l'�toile.
La figure 20 montre une double p�riodicit� dans les variations de la
vitesse radiale de l'�toile. Ces deux p�riodicit�s sont li�es �
la pr�sence de deux plan�tes orbitant autour de l'�toile.
On d�termine graphiquement :
T1 = (2010-1996) / 20 = 0,7 an ; vr1 =50 m /s.
T2 = 18 T1 = 18 x0,7 = 12,6 ans ; vr2
= 10 m / s
r1 = (T12GmE
/ (4p2))1/3
= [ (0,7 x24 x3600 x365)2x6,67 10-11 x1,07 x1,99
1030 / (4 x3,142)]1/3 ~1,17 1011
m.
r2 = (T22GmE
/ (4p2))1/3
= [ (12,6 x24 x3600 x365)2x6,67 10-11 x1,07 x1,99
1030 / (4 x3,142)]1/3 ~8,06 1011
m.
mP1 =
Vr1 T mE / (2
p r)=50
x0,7 x365 x24 x3600 x1,07 x1,99 1030 / (2 x3,14 x1,17 1011)
= 3,2 1027 kg.
|
|
|
