Sciences physique, Concours Emia 2019. Ecole Militaire Interarmes.

Exercice 1- �tude du mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur uniforme. ( 6 points).
L'objet de I'exercice est l'�tude du mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur terrestre.
Hypoth�ses.
- le r�f�rentiel terrestre est consid�r� comme galil�en,
- le champ de pesanteur est uniforme et caract�ris� par le vecteur g,
- la r�sistance de l'air c'est � dire le freinage a�rodynamique est n�glig�,
- le projectile de masse m est consid�r� comme ponctuel.
Description du probl�me.
L'espace est rapport� au rep�re(art�sien (O,x,y,z). La base associ�e est (O,i, j, k)
Le projectile est lanc�, dans le plan vertical et � partir du point O, avec le vecteur vitesse initiale v₀.Le vecteur vitesse fait un angle a, avec l'axe Ox.
La position du projectile, � chaque instant, est d�finie par la vecteur position OM.
Le projectile tombe au point P sur l'axe Ox.

Questions.
1. En utilisant le principe fondamental de la dynamique, d�terminer les �quatiions du mouvement du projectile,c'est � dire,les �quations param�triques x(t), y(t) et z(t) en fonction de v₀, a, g, et t.
Le projectile n'est soumis qu'� son poids. Les vecteurs g et vitesse initiales sont contenus dans le plan (xOz). Le mouvement s'effectue dans ce plan ( y(t) = 0 ).
Coordonn�es de l'acc�l�ration : 0 ; 0 ; -g.
Coordonn�es de la vitesse initiale : v₀ cos a ; 0 ; v₀ sin a .
Coordonn�es du vecteur vitesse : v₀ cos a ; 0 ; -gt+ v₀ sin a
Coordonn�es du vecteur position ; x(t) = v₀ cos a t ; y(t) =0 ; z(t) = -�gt²+ v₀ sin a t.
2. En d�duire l'�qua!ion de la trajectoire, Ie nom de la forme de la trajectoire.
Repr�senter son allure sur un sch�ma.
t = x /(v₀ cos a) ; repport dans z(t) : z(x) = -�g x² /(v₀ cos a)² +x tan a.
Il s'agit d'une branche de parabole.
3. D�terminer I'expression de la distance OP, appel�e port�e, en fonction de v₀, a, g.
z(t) = 0 ; -�g x² /(v₀ cos a)² +x tan a = 0 ;
x = 0 ( position initiale) et x = 2 v₀² sin a cos a / g = v₀² sin ( 2a) / g.
4. Pour quel angle de niveau (a), la port�e est-elle maximale ? La valeur de l'angle sera donn�e en degr�s.
La port�e est maximale pour sin ( 2a) = 1 soit a = 45�.
5. Donner l'expression de la port�e maximale, not�e X_M.
x_M = v₀² / g.
On applique les r�sultats pr�c�dents aux obus tir�s par le canon de 155 mm mont� sur le CAESAR.
Quelques donn�es
- La valeur de I'intensit� de la pesanteur est g =9,81 m s^-2 - Les obus ont une masse moyenne de 43 kg.
- La port�e maximale est 42 km.
On se place dans le cas des conditions de tir pour une port�e maximale.
Pour faciliter les calculs, la position de la bouche du canon est au point O (on n�glige la hauteur de la bouche).
6. A partir des donn�es, en d�duire la valeur de vitesse initiale v₀. Le r�sultat sera donn� en m /s ainsi qu'en km/h; les valeurs seront arrondies � la valeur enti�re la plus proche.
v₀ = (g x_M)^� = (9,81 x 4,2 10⁴)^� =641,887 ~642 m /s.
ou 641,87 x3,6 = 2310,8 ~2311 km / h.
7. D�terminer la fl�che c'est � dire la hauteur maximale atteinte par l'obus. Le r�sultat sera donn� en km arrondi � la valeur enti�re la plus proche.
Au sommet de la parabole, la composante verticale de la vitesse est nulle.
-gt+ v₀ sin a = 0 ; t = v₀ sin a / g, repport dans z(t) :
z_maxi = -�g( v₀ sin a / g )²+ v₀ sin a ( v₀ sin a / g ) = �( v₀ sin a )²/ g .
z_maxi =0,5 (641,887 x sin 45)² / 9,81 ~10499 m ~ 10 km.
8. Calculer l'�nergie cin�tique de I'obus lorsqu'il arrive � son point d'impact P.
Le projectile n'est soumis qu'� son poids : son �nergie m�canique se conserve.
Le point O et le point P sont sur l'axe Ox, horizontal, l'�nergie potentielle de pesanteur est la m�me en O et en P.
L'�nergie cin�tique en P est �gale � l'�nergie cin�tique en O.
�mv₀² = 0,5 x43 x641,887² ~8,9 10⁶ J.
9. La cible ne se trouve pas � 42 km sur I'axe Ox mais �38 km, d�terminer les valeurs des deux angles de niveau (a₁ et a₂) qui permettent d'atteindre cette cible.
x_P= v₀² sin ( 2a) / g. sin ( 2a) = x_P g / v₀² =38 10³ *9,81/ 641,887² = 0,905.
a₁ = 32� et a₂ =90-32=58 �.
Pour les questions suivantes, on s'int�resse � la trajectoire pour laquelle l'angle de tir est inf�rieur � l'angle correspondant � la port�e maximale d�termin� � la question 4 (tir plongeant).
10. D�terminer le temps mis par l'obus pour atteindre le point d'impact.
x_P =v₀² sin ( 2a) / g= v₀ cos a t ; t = 2 v₀ sin a / g = 2 x641,887 / 9,81 sin a ~ 131 sin a.
11. D�terminer l'altitude z₁ atteinte par l'obus 10 s apr�s la sortie du canon.
z(t) = -�gt²+ v₀ sin a t = -9,81 / 2 x10² + 10 v₀ sin a~ -490,5 +6,42 10³ sin a.
12. D�terminer l'�nergie potentielle de l'obus � cet instant ainsi que son �nergie cin�tique.
L'�nergie potentielle est consid�r�e comme nulle lorsque z = 0.
E_pp = m g z = 43 x9,81 (-490,5 +6,42 10³ sin a)= 421,83 (-490,5 +6,42 10³ sin a )= -2,07 10⁵+2,71 10⁶ sin a.
E_c = �mv² = 21,5 (( v₀ cos a )² +( -10g+ v₀ sin a )²)=21,5 ( v₀²+(10g)² -20g v₀ sin a).
E_c = 21,5( 641,887²+98,1²-20 x9,81 x641,877 sin a) =21,5(4,21 10⁵-1,26 10⁵ sin a)= 9,05 10⁶ -2,71 10⁶ sin a.
13. D�terminer I'�nergie m�canique � cet instant.
E_pp + E_c = -2,07 10⁵ +9,05 10⁶ ~8,84 10⁶ J ( 0,5 x43 x641,887²) ~8,84 10⁶ J
14. Est-elle �gale � l'�nergie cin�tique de l'obus � Ia sortie du canon. Justifier la r�ponse.
Oui, l'obus n'est soumis qu'� son poids, force conservative.
Dans cette partie, on ne n�glige plus la r�sistance de l'air.
Le mod�le de force de freinage a�rodynamique est

avec v vecteur vitesse du projectile.
15. D�terminer l'unit� de k.
k est une force ( N ou kg m s^-2) divis� par une vitesse au carr� (m² s^-2).
k s'exprime en kg m^-1.
16. D�terminer les trois �quations,diff�renllelles v�rifi�es par les trois composantes du vecteur vitesse.

Remarque : ces �quations ne peuvent pas �tre r�solues analytiquement.