Concours Formation des ing�nieurs de l'�cole nationale sup�rieure maritine 2019.

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1�re question.
1. Soient f et g les fonctions d�finies sur respectivement par :
f (x) = x2e-x et g(x) = e-x .
Dans un rep�re orthonorm� du plan, on note Cf et Cg leurs courbes repr�sentatives.
1.1. D�terminer, par le calcul, les valeurs exactes des coordonn�es des points d’intersection des deux courbes.
 x2e-x =e-x  ; x2 =1 ; x = �1.
g(1) = 1 /e et g(-1) = e.
1.2. Etudier les positions relatives des courbes sur R.
f(x) -g(x) = e-x(x2-1) avec e-x positif.
Si x appartient � ]-1 ; 1[, f(x) -g(x) < 0, Cg au dessus de Cf.
Si appartient � ]-oo ; -1[ et � ]1 ; +oo[, Cg au dessous de Cf.
2. Soit h la fonction d�finie sur par h(x) = e-x(x2-1) .
2.1. On admet que lla limite en plus l'infini de ex / x2 est plus l'infini.
D�terminer les limites de la fonction h en +oo et en -oo .
h(x) = (x2-1) / ex =x2 / ex -1 /ex.
Quand x tend vers plus l'infini : x2 / ex et 1 /ex tendent vers z�ro.
Quand x tend vers moins l'infini : e-x  et x2 tendent vers plus l'infini.
2.2. Montrer que h'(x) est du signe de -x2 +2x+1.
On pose u = e-x et v = x2-1 ; u' = -e-x ; v' = 2x.
u'v +v'u =e-x( 1-x2+2x).
e-x �tant positif, le signe de h'(x) est celui de -x2 +2x+1.
2.3. En d�duire les variations de la fonction h sur , et dresser son tableau de variations.
Etude de  -x2 +2x+1=0 ; discriminant D =22-4*(-1)=8.
Solutions : (-2 � 2*2�) / (-2) = 1 � 2�.

 3. Soient les points A(x ; f (x)) et B(x; g(x)) pour x appartenant � [-1 ; +oo[.
On s’int�resse � la distance AB .
3.1. Montrer que :
AB = h(x) si x appartient � [1 ; +oo[ et AB = -h(x) si x appartient � [-1 ; 1].

AB = |g(x) - f(x) |.
AB �tant positif : AB = h(x) si x appartient � [1 ; +oo[ et AB = -h(x) si x appartient � [-1 ; 1].
3.2. Pour quelle valeur de x la distance AB est-elle maximale ? On notera x0 cette valeur.
Calculer la valeur exacte puis une valeur approch�e � 10-3 pr�s de la distance AB en x0 .
AB est maximale pour x0 = 1-2� ~ -0,414.
AB = [(1-2�)2-1] exp(2�-1) =| 2 -2*2�| exp(2�-1) ~ 0,8284*1,513 ~1,254.
4. On s’int�resse, � pr�sent, � l’aire A du domaine d�limit� par l’axe des abscisses, la courbe Cf et les droites
x = 0 et x =1. (La fonction f a �t� d�finie dans la question 1).
Afin d’obtenir une valeur approch�e de S , on utilise la m�thode dite � des rectangles � qui consiste � approcher cette aire par la
somme des aires de n rectangles. Le graphique ci-dessous illustre cette m�thode pour n =10 (le premier rectangle est d’aire
nulle car f (0) = 0 ). Le nombre n de rectangles choisi permettra, lorsqu’on l’augmente, d’am�liorer l’approximation de l’aire S.

4.1. Recopier et compl�ter l’algorithme ci-dessus pour qu’en fin d’ex�cution, la variable S contienne la valeur approch�e par d�faut de l’aire A obtenue en utilisant la m�thode � des rectangles � avec n rectangles.
Largeur d'un rectangle 1 / n ; hauteur du second rectangle  : f(k / n).

Pour n = 10, S = 0,1425 ; n=100, S = 0,1587 ; n = 100 000, S = 0,160.
4.2. Montrer que la fonction F d�finie sur par F(x) = (-x2- 2x - 2)e-x est une primitive de la fonction f .
 On pose u = e-x et v = -x2-2x-2 ; u' = -e-x ; v' = -2x-2.
u'v +v'u =e-x( x2+2x+2-2x-2)= x2e-x = f(x).
4.3. D�terminer � pr�sent la valeur exacte de l’aire A . Votre r�sultat est-il coh�rent avec les valeurs de S obtenues pr�c�demment ?
S = F(1)-F(0) = -5 / e +2 ~0,160. R�sultats coh�rents.

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Question 2.
Un biologiste �tudie le d�veloppement d’un certain type de parasite. Il place en milieu clos une colonie de 50 000 individus.
Des exp�riences ont d�montr� que dans ces conditions, � long terme, la population se stabilise autour de 90 000 individus, sans jamais d�passer cette valeur.
On consid�rera que la population est � stable � lorsque le taux d’�volution du nombre d’individus en une journ�e est inf�rieur � 0,1%.
1. Premier mod�le.
Au bout d’une journ�e, il observe que la population s’�l�ve � 54 000 individus.
Il d�cide de faire l’hypoth�se suivante :
En notant pn le nombre d’individus, en milliers, au bout de n journ�es, la suite (pn) v�rifie p0= 50 et pour tout entier naturel n , pn+1=0,9 pn+9.
1.1. V�rifier que ce mod�le est en accord avec l’observation du nombre d’individus au bout d’une journ�e.
p1 = 0,9 p0+9 =0,9 x50 +0,9 =54 milliers.
1.2. On note vn = pn -90 .
Montrer que la suite (vn) est g�om�trique.
vn+1= pn+1-90 =pn+1= 0,9 pn+9-90 =0,9 ( pn-90)=0,9 vn.
1.3. En d�duire l’expression de vn puis de pn en fonction de n.
vn = v0 x 0,9n ; pn = v0 x 0,9n +90 avec v0 = - 40
1.4. Ce mod�le est-il compatible avec l’observation attendue � long terme ? Justifier.
Quand n tend vers plus l'infini, 0,9n tend vers z�ro et pn tend vers 90 milliers.
1.5. D�terminer au bout de combien de jours cette population est consid�r�e comme � stable �.
(90-pn) / 90 < 0,001 ; pn / 90 > 1-0,001 ; pn   > 89,91.
v0 x 0,9n +90 >89,91 ; v0 x 0,9n  >89,91 -90 ; 0,9n  > -0,09 / (-40) ;
0,9n  >0,00225
ln(0,00225) > n ln(0,9) ; n > 58.

2. Deuxi�me mod�le.
Au bout de deux journ�es, il observe que la population d’�l�ve � 57 888 individus.
Il d�cide d’adopter un nouveau mod�le : En notant rn le nombre d’individus au bout de n journ�e, la suite (rn)
v�rifie pour tout entier naturel n , rn+1=f(rn) o� f est la fonction d�finie sur R par
f (x) = -0,002x2 +1,18x.
2.1. Justifier que ce mod�le est en accord avec les d�comptes de la population effectu�s les deux premiers jours.
r0 =50  ; r1 =f(r0) = -0,002 *50 2 +1,18*50  =54 milliers.
 r2 =f(r1) = -0,002 *54 2 +1,18*54  =57,888 milliers.
2.2. D�montrer que pour tout entier naturel n , 0 < rn+1 < 90.
f '(x) = -0,004 x+1,18 ; f '(x) =0 pour x = 1,18 / 0,004 =295.
f '(x) est positive sur [0 ; 295[ ; f(x) est strictement croissante sur cet intervalle.
Initialisation : la propri�t� est vraie au rang z�ro.
H�r�dit� : la propri�t� est suppos�e vraie au rang p.
0 < rp < 90 ; la fonction f �tant strictement croissante  et positive sur  [0 ; 295[  :
f(0) < f(rp) < f(90) ; 0 < rp+1 <  f(90) avec f(90) =90.
La propri�t� est vraie au rang p+1.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire, elle est vraie pour tout n de [0 ; 295[ .
2.3. En d�duire que la suite (rn) est convergente. On note l sa limite.
La suite (rn) est croissante et born�e, donc elle converge.
2.4. On admet que l doit v�rifier f (l) = l . En d�duire la valeur de l .
l = -0,002l2 +1,18 l ; -0,002l2 +0,18 l =0.
Solution retenue : l =0,18 /0,002 =90.
 2.5. Recopier et compl�ter l’algorithme ci-dessous pour qu’il affiche en sortie le nombre de jour au bout duquel la population pourra �tre consid�r�e
comme stable.

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 Exercice 3.
Dans une grande entreprise, un virus informatique a infect� 20% des ordinateurs. Un technicien de la maintenance informatique doit les contr�ler � l’aide d’un logiciel anti-virus. Lorsqu’un ordinateur est infect� par le virus, le logiciel �met un message d’alerte dans 95% des cas. 27% des tests ont donn� lieu � un message d’alerte.
1. On choisit au hasard un des ordinateurs de l’entreprise, et on note les �v�nements suivants :
V : � l’ordinateur est infect� par le virus �
A : � Le logiciel �met un message d’alerte �
1.1. Repr�senter cette situation � l’aide d’un arbre pond�r� et calculer P(V n A).
1.2. Calculer P( nonV n A) et en d�duire Pnon V (A) .

1.3. Le technicien re�oit un message d’alerte du logiciel anti-virus sur un ordinateur.
Il affirme qu’il y a alors moins de 3 chances sur 4 que cet ordinateur soit effectivement infect� par le virus Justifier cette affirmation.
0,19 / 0,27 ~0,70 chance que l'ordinateur soit infect�.
0,08 / 0,27 ~0,30 chance qu'il ne soit pas infect�.

2. A chaque fois qu’un message d’alerte est �mis par le logiciel antivirus, le technicien r�alise un second test, parfaitement fiable celui-ci, pour savoir si l’ordinateur est effectivement infect� par le virus. Le co�t de ce second test pour l’entreprise s’�l�ve � 10 €. Si l’ordinateur est effectivement infect�, il engage alors une r�paration de la carte m�re dont le co�t pour l’entreprise s’�l�ve � 25 €.
Lorsque le logiciel antivirus n’a pas �mis de message d’alerte, l’ordinateur est remis en circulation, et le co�t pour l’entreprise est de 0 €.
On note X la variable al�atoire qui donne le co�t total de l’intervention sur un ordinateur choisi au hasard dans l’entreprise.
2.1. Donner la loi de probabilit� de X sous forme d’un tableau.
2.2. Calculer E(X) et interpr�ter le r�sultat obtenu.
On note N le nombre d'ordinateurs de l'entreprise.

Message d'alerte re�u
 Pas de message d'alerte
ordinateur infect� 0,19  x (10 +25)N =6,65 N
 0,01 x0
ordinateur non infect�
 0,08 N x10= 0,8 N
 0,72 x0
Total
 7,45 N
 0

2.3. Le responsable du budget de la maintenance informatique demande au technicien de ne pas pratiquer ce second test, et d’effectuer la r�paration de la carte m�re sur tous les ordinateurs sur lesquels le message d’alerte a �t� �mis par le logiciel anti-virus. Justifier cette d�cision.
0,27 x 25 N = 6,75 N, valeur inf�rieure � 7,45 N.
3. Il choisit 400 ordinateurs pour les tester. Le parc informatique de l’entreprise est suffisamment grand pour que ce choix puisse �tre assimil� � 400 tirages successifs avec remise. On note Y la variable al�atoire qui donne le nombre d’ordinateurs infect�s parmi ces 400 ordinateurs.
3.1. D�terminer la loi de probabilit� de Y en pr�cisant ses param�tres puis calculer son esp�rance � et son �cart-type s .
Loi binomiale : les tirages sont ind�pendants ; chaque tirage conduit � deux issues possibles :
ordinateur infect� p =0,2, ordinateur sain q = 1-p = 0,8.
Esp�rance � = np = 400 x0,2 =80 ; variance : npq = 400 x0,2 x0,8 =64 ; �cart type : 64� = 8.
3.2. Quel calcul donne la probabilit� qu’au moins un ordinateur soir infect� par ce virus ?
Que peut-on dire de cet �v�nement ?
P(Y > 1) = 1 -P(Y=0) = 1-1,7 10-39 ~ 1.
Cet �v�nement est quasiment certain.
3.3. Pour cette question, on utilisera l’approximation permise par le th�or�me de Moivre-Laplace, c'est-�-dire que pour tous r�els a et b ,
 P( a < (Y-80) / 8 < b ~ P(a < Z < b)  o� Z suit la loi normale centr�e r�duite.
On utilisera la table de valeurs suivante pour r�pondre :

3.3.1. Calculer P(Y < 90).
P(Y < 90)= 0,894.
3.3.2. D�terminer un entier c tel que P( 80-c < Y < 80+c) ~ 0,9.
P(80-c < Y < 80+c) = 0,9 ; P(-c < Y-80 < c) = 0,9 ; 
P(-c/ 8 < (Z < c / 8) = 0,9 ;
 2P(Z < c / 8)-1 = 0,9 ; P(Z < c / 8) =0,95 ;
 La table donne : c / 8 = 1,65 ; c ~13.
 

Exercice 4.
On se place dans un rep�re orthonorm� de l’espace.


1.1. D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite D , parall�le � la droite (AB) , passant par O, l’origine du rep�re.
Coordonn�es d'un vecteur directeur de la droite (AB) :
(xB-xA ; yB-yA ; zB-zA) soit  ( 1 ; -3 ; 0).
Repr�sentation param�trique de la droite D :
x = t +xO ; y = -3t +yO ; z = zO soit x = t ; y = -3t ; z = 0.
1.2. Montrer qu’il existe exactement deux points, appartenant � la droite D, situ�s � la distance 10� / 2 du point O. Vous pr�ciserez les coordonn�es de ces deux points.
M (x, y, z) appartient � la droite D : MO2 =x2 +y2 +z2 =t2 +(-3t)2 = 10t2 = 10 / 4 = 2,5 ; t = �0,5.
Coordonn�es du premier point ( t = 0,5) : ( 0,5 ; -1,5 ; 0 ).
Coordonn�es du second point ( t = -0,5) : ( -0,5 ; 1,5 ; 0 ).
1.3. D�terminer une �quation cart�sienne du plan Q , orthogonal � la droite (CD) , et passant par le point O.
Coordonn�es d'un vecteur directeur de la droite (CD) :
(xD-xC ; yD-yC ; zD-zC) soit  ( -3 ; -1 ; 5�).
Equation cart�sienne du plan Q : -3x -y +5�z +d = 0.
L'origine O appartient � ce plan donc d = 0.
1.4. Montrer que la droite D est incluse dans le plan Q .
-3t -(-3t) +5� *0 =0 est bien v�rifi� quelque soit t.
2. Soit t un nombre r�el appartenant � [0;1] et M le point du segment  [CD] v�rifiant l’�galit� vectorielle : 
2.1. D�terminer les coordonn�es de M en fonction de t.

2.2. Montrer que le point H (3-3t ; 1-t ; 0) est le projet� orthogonal de M sur le plan P (C’est �-dire que H appartient � P et (MH) perpendiculaire � P ).
Le point P est le plan horizontal ( z = 0). Le point H appartient bien � ce plan ( zH=0).

2.3. Montrer que le triangle TSH est isoc�le en H puis d�terminer une expression de l’aire du triangle TSH en fonction de t .
HS2 =(0,5-3+3t)2 +(-1,5-1+t)2 =6,25 +9t2-15t +6,25 +t2-5t=10t2-20t+12,5.
HT2 =(-0,5-3+3t)2 +(1,5-1+t)2 =12,25 +9t2-21t +0,25 +t2+t=10t2-20t+12,5.
S et T sont sym�triques par rapport � O ; HO est une hauteur du triangle TSH.
HO2 =(3-3t)2 +(1-t)2 = 9+9t2-18t +1+t2-2t =10t2-20t +10 =10(t2-2t+1) =10(t-1)2 ; HO = 10�(1-t).
ST2 = (-1)2 +32 = 10 ; ST = 10�.
Aire du triangle TSH  : ST x HO / 2 = 5(1-t).
2.4. En d�duire que le volume V(t) de la pyramide TSMH peut s’�crire : V(t) =5 / 3 *5� t(1-t).
V(t) = aire de base  fois hauteur / 3 = aire du triangle TSH fois MH / 3.
V(t) = 5 (1-t) 5�t / 3.
2.5. D�terminer les coordonn�es du point M0 permettant d’obtenir la pyramide de volume maximal.
On d�rive V(t) et on cherche quelle valeur de t annule cette d�riv�e.
On pose u = t ; v = 1-t ; u' = 1 ; v' = -1 ; u'v+v'u = 1-t -t =0 soit t = 0,5.
M0( 1,5 ; 0,5 ; 5� / 2).
2.6. Calculer la valeur du produit scalaire suivant :
2.7. En d�duire la valeur de cos (SM0T) puis donner une valeur en degr�, approch�e � 0,1 pr�s, de l’angle g�om�trique SM0T.


  

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