Math�matiques, Concours ESA 2018 ( �cole de sant� des arm�es)

Math�matiques, Concours ESA 2018 ( �cole de sant� des arm�es).

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Pour chacune des questions, une seule r�ponse est exacte. Toute r�ponse juste est compt�e +1 point ; toute r�ponse fausse est compt�e -0,25 point. Une absence de r�ponse est compt�e 0 point.
QCM 1.
La fonction f d�finie sur R par f(x) = e^x+e^-x est :
A. Croissante sur ] -oo ; 0[ et d�croissante sur [0 ; +oo[.
On d�rive f ' (x) = e^x-e^-x= e^x( 1-e^-2x).
La d�riv�e est du signe de 1- e^-2x ; 1- e^-2x > 0 si e^-2x < 1 soit x > 0.

B. Croissante sur R.
C. d�croissante sur ]-oo ; 0[ et croissante sur [0 ; +oo[. Vrai.
D. d�croissante sur ]-oo ; -2[ et croissante sur [-2 ; +oo[

QCM 2.
Soit f la fonction f d�finie sur R par f(x) = 5exp(0,2x² +0,5x).
La tangente � la courbe repr�sentative de la fonction f au point d'abscisse z�ro :
A. a pour �quation y = 2,5x +5. Vrai.
On d�rive f ' (x) =5(0,4x+0,5)exp(0,2x² +0,5x).
Coefficient de cette tangente a = f '(0) = 2,5.
La tangente passe au point de coordonn�es ( 0 ; 5).
Equation de la tangente y = 2,5 x +5.

B. a pour �quation y = 5x+10.
C. a pour �quation y = 5x.
D. est parall�le � l'axe des abscisses.

QCM 3.
Les solutions de l'in�quation ln(-x+5) < ln(x+1) sont :
A. ] 2 ; +oo[.
-x+5 et x+1doivent �tre positifs : x < 5 et x > -1.
ln(-x+5) - ln(x+1) < 0 ; ln[(-x+5) /(x+1)] < ln(1).
(-x+5) / (x+1) < 1 ; -x+5 < x+1 ; 2 x >4 ; x > 2.
B. ]-oo ; 5[.
C. ]-1 ; 5 [
D. ]2 ; 5[. Vrai.

QCM 4
La limite en plus l'infini de (x²+1)^�-(x²-1)^� est �gale � :
A. +oo.
x(1+1/x²)^�- x(1-1/x²)^� =x[(1+1/x²)^�-(1-1/x²)^�].
1/x² tend vers z�ro quand x tend vers plus l'infini.
B. 1
C. 0. Vrai.
D. 2

QCM 5.
On choisit un r�el au hasard entre 0 et 5 et l’on note Y la variable al�atoire �gale au r�el choisi. Alors :
A. P(Y = 2,5)=0,5
Une variable al�atoire qui peut prendre n valeurs possibles suit la loi uniforme. La probabilit� de n'importe quelle valeur est 1 / n.
P(2 < Y < 3) = (3-2) / (5-0) = 1 /5.
B. P(Y < 2) = 0,5
C. P_{Y > 2} (Y < 3)= 1 /3.
D. P_{Y > 2} (Y < 3)= 1 /5. Vrai.

QCM 6.
Pour tout nombre r�el x non nul, 2-(e^-x-2) / (e^-x-1) est �gal � :
A. (3e^-x-4) / (e^-x-1)
R�duire au m�me d�nominateur : (2e^-x-2-e^-x+2) / (e^-x-1)=e^-x /(e^-x-1) = 1 /(1-e^x).
B. 1 / (1-e^x). Vrai.
C. (e^-x-4) / (e^-x-1)
D. (3e^-x) / (e^-x-1).

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Exercice 2.
QCM 7.
Dans un laboratoire, il y a 50 tubes avec du sang contamin� et 75 tubes avec du sang non contamin�. Un pr�parateur tire un tube au hasard, regarde si le sang contenu est contamin� et il replace le tube. Il recommence 5 fois l’exp�rience. On note X le nombre de tubes avec du sang contamin� (sur les 5 tir�s).
A. P(X=5) =(3/5)⁵.
Probabilit� de tirer un tube contamin� = 50 /(50 +75) = 2 / 5. P(X=5) =(2/5)⁵.
B. E(X) =2 / 5.
C. P(X=0) =(3/5)⁵. Vrai.
Probabilit� de tirer un tube noncontamin� = 75 /(50 +75) = 3 / 5. P(X=0) =(3/5)⁵.
D. P(X=0) > P(X=2).

QCM 8.
Le domaine de d�finition de la fonction f d�finie par f(x) = ln(e^-x-2) est :
A. ]0 ; +oo[
e^-x-2 >0 ; e^-x > 2 ; 0,5 > e^x ; ln(0,5) > x ; -ln(2) > x
B. ] ln(2) ; + oo[
C. ] -oo ; - ln(2)[. Vrai.
D. ]0 ; 2[.

QCM 9.
Soit la fonction g d�finie sur IR par g(x)=(3-2x)e^-x . Une primitive de la fonction g est la fonction G d�finie sur IR par :
A. G(x) =(3x-x²)e^-x.
On d�rive en posant u = 3x-x² et v = e^-x ; u' =3-2x ; v' = -e^-x ; u'v +v'u =e^-x(3-2x-3x+x²).
B. G(x) =(-3x+x²)e^-x.
On d�rive en posant u = -3x+x² et v = e^-x ; u' = -3+2x ; v' = -e^-x ; u'v +v'u =e^-x(-3+2x+3x-x²).
C. G(x) =(2x-1)e^-x. Vrai.
On d�rive en posant u = 2x-1 et v = e^-x ; u' = 2 ; v' = -e^-x ; u'v +v'u =e^-x(2-2x+1).
D. G(x) =(5-2x)e^-x.
On d�rive en posant u = 5-2x et v = e^-x ; u' = -2 ; v' = -e^-x ; u'v +v'u =e^-x(-2+2x-5).

QCM 10.
L’ensemble des solutions de l’in�quation ( 3-x) ln(x) > 0 sont :
A. [1 ; 3 ]. Vrai.
x doit �tre positif.

B. ]0 ; 3 ]
C. ] -oo ; 3 ]
D. [1 ; +oo[.

QCM 11.
L'int�grale suivante est �gale � :
A. 1.
B. 0,5.
C. e / (2(1+e)).
D. ln[(1+e) / 2]. Vrai.

QCM 12.
Une variable al�atoire X suit la loi normale N(30, s² ) avec P(X >35)=0,4.
A. P(X < 30) = 0,4.
P(X < 30)=0,5. P(X < 35) = 0,6.
B. P(30 < X < 35)=0,1. Vrai.
C. P(25 < X < 35) =0,3.
D.P(X > 40) = 0,5..

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Exercice 3.
On veut d�pister une maladie m dont la fr�quence (ou pr�valence) dans la population P est not�e p avec 0 < p < 1. On met en place un test diagnostique qui est ind�pendant de la valeur de p.
On pr�l�ve au hasard dans la population P un individu ayant �t� soumis au test diagnostique.
On d�finit les �v�nements suivants :
T : � le test est positif � et M : � l’individu est malade �.
Pour ce test diagnostique, le fabricant a indiqu� :
 la probabilit� P_M(T) qu’un individu ait un test positif sachant qu’il est malade, est appel�e sensibilit� du test et est not�e S_e.
 La probabilit� P_{non M}(non T) qu’un individu ait un test n�gatif sachant qu’il n’est pas malade, est appel�e sp�cificit� du test et est not�e S_p .
1) Illustrer la situation par un arbre pond�r� en compl�tant toutes les branches � l’aide de p, S_e , S_p.
2) a) Exprimer P(M n T), P(M n non T), P(non M n T), P(nonM n non T) � l’aide de p, S_e et S_p.
b) Montrer que la probabilit� que le test d�livre une juste conclusion est : p(S_e-S_p) +S_p.

3) On appelle :
 Valeur pr�dictive positive du test (VPP), la probabilit� P_T(M) d’�tre malade, sachant que le test est positif.
 Valeur pr�dictive n�gative du test (VPN), la probabilit�P_{non T} (non M) d’�tre non malade, sachant que le test est n�gatif.
a) Calculer P(T) � l’aide de p, S_e et S_p.
P(T) = pS_e + (1-p)(1-S_p).
b) Exprimer VPP et VPN en fonction de p, S_e et S_p.
VPP = P(T n M) / P(T) = pS_e / [pS_e + (1-p)(1-S_p)].
VPN = P(non T n non M) / P(non T) =(1-p)S_p / [p(1-S_e) +(1-p)S_p ] .
c) Le test est consid�r� comme int�ressant si VPP > p. Montrer alors que : S_e+S_p > 1.
.pS_e / [pS_e + (1-p)(1-S_p)] > p ; S_e / [pS_e + (1-p)(1-S_p)] > 1.
S_e > [pS_e + (1-p)(1-S_p) ; (1-p) S_e > (1-p)(1-S_p) ; S_e > 1 -S_p; S_e+S_p > 1.
4) La pr�valence p du paludisme est de 90 % en Tanzanie et de 0,001 en France.
Le test biologique utilis� a pour sensibilit� S_e = 0,9 et pour sp�cificit� S_p=0,8. Cela est valable pour toute la question 4.
a) Calculer la VPP en Tanzanie arrondie � 10^-2 pr�s.
VPP= pS_e / [pS_e + (1-p)(1-S_p)]. =0,9 x0,9 / (0,9 x0,9+0,1 x0,2)=0,98.
On admet que VPP_France = 0 ; VPN_France = 1 ; VPN_Tanzanie= 0,47.
b) En d�duire ce que l’on peut dire en terme de probabilit� � un patient de Tanzanie et � un patient fran�ais selon que le test est positif ou n�gatif.
En France : Si le test est positif, vous �tes malade. Si le test est n�gatif, vous n'�tes pas malade.
En Tanzanie : Si le test est positif, il y a 98 chances sur 100 d�tre malade.. Si le test est n�gatif, il y a 47 chances sur 100 de ne pas �tre malade.
c) On consid�re la fonction v d�finie par v(p)= P_T(M).
i) Donner l’expression de v(p) en fonction de p,
v =VPP = P(T n M) / P(T) = pS_e / [pS_e + (1-p)(1-S_p)].
ii) Donner le sens de variation de la fonction v(p).
D�river v(p) par rapport � p en posant u = pS_e et v = pS_e + (1-p)(1-S_p) ; u' = S_e ; v' = S_e-1+S_p.
(u'v -v'u) / v² = [S_e(pS_e + (1-p)(1-S_p)) -(S_e-1+S_p)pS_e] / v².
Le signe de la d�riv�e est celui de son num�rateur.
0,9 (0,9 p+(1-p)x0,2) - (0,9-1+0,8)x0,9p=0,18.
La d�riv�e �tant positive, v(p) est croissante.
iii) Lorsque p est sup�rieur � 0,8, en quoi la positivit� du test est-elle un �l�ment important du diagnostic ?
VPP est sup�rieur � 0,95. Si le test est positif, on a plus de 95 chances sur 100 d'�tre malade.

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