Applications
de l'effet Doppler, Exp�rience de
Ives-Stilwell,
Concours g�n�ral physique 2019.
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I. A.
Explication th�orique de l'effet Doppler.
1. Une lampe se d�place
horizontalement � la vitesse v, en �mettant des flashs. La p�riodicit�
des flash est not�e Tl.
La vitesse de la lampe se d�termine en �tudiant le d�placement du
centre des surfaces d'onde.
2. La
distance initiale entre l'�metteur ( la lampe ) et le r�cepteur est
not�e RL(0). La lumi�re se d�place dans l'air � la c�l�rit� c.
Le premier flash est per�u par le r�cepteur � la date t1 =
RL(0) / c.
3. A la date
t=Tl le second flash est �mis.
La distance entre �metteur et r�cepteur est TL(Tl).
Le second flash parvient au r�cepteur � la date t2 = Tl
+TL(Tl) / c.
4. L'�metteur
( lampe) se d�pla�ant � la vitesse v en direction du r�cepteur fixe :
TL(Tl)= TL(0) - v Tl.
5. La dur�e
s�parant la r�ception de deux flashs successifs est TR = t2-t1.
TR = Tl +TL(Tl) / c -RL(0)
/ c.
TR = Tl -v / c Tl= Tl ( 1-v / c).
Or la vitesse de la lampe est inf�rieure � la c�l�rit� de la
lumi�re dans l'air.
v < c, TR < TL.
6. Lorsque la
lampe s'�loigne du r�cepteur TR = Tl ( 1+v / c).
TR > TL.
7.
Dans ce
cas TR = Tl ( 1-v / c cos q).
Pour la question 5, q
= 0 et TR = Tl ( 1-v / c).
Pour la
question 6, q = p et TR = Tl ( 1+v / c).
8. Expression
de la longueur d'onde mesur�e au niveau du r�cepteur l = c TR.
Longueur d'onde �mise : l
l= c Tl.
La lampe se rapproche du r�cepteur : Dl- = l-ll = c [Tl ( 1-v / c)- Tl ]= -v Tl
= - v / c ll.
La lampe
s'�loigne du r�cepteur : Dl+ =
l-ll = c [Tl ( 1+v / c)- Tl ]= v Tl
= v / c ll.
Application �
l'�tude du satellite LO-19.
Les figures a et b repr�sentent les fr�quences des ondes provenant de
LO-19, en fonction du temps, lors de deux passages successifs le 22
ao�t 1991.
9. Expliquer
qualitativement la variation de la courbe sur la figure b entre 16h48
et (environ) 16h52 d’une part, puis entre (environ) 17h00 et 17h03
d’autre part.
L'orbite
du satellite est circulaire, sa vitesse est donc constante.
De plus les fr�quences capt�es sont constantes.
Dans l'hypoth�se o� le satellite est � basse altitude, l'angle q est constant.
Pour la courbe entre 16h 48 et 16 h 52, on se trouve dans le cas o� q = 0 ( question 5).
Pour la courbe
entre 17h 00 et 17 h 03, on se trouve dans le cas o� q = p ( question 6).
10. Au contraire, comment interpr�ter la variation de la courbe entre 16h54 et 16h57 ?
Approche du satellite entre 16 h 54 et 16 h 57 :
q
varie de z�ro � 90�.
TR cro�t et la fr�quence re�ue = 1 / TR, diminue
pour atteindre la fr�quence d'�mission ( satellite � la verticale de la
balise terrestre ).
Lors de
l'�loignement du satellite : q
varie de 90� � 180�.
TR cro�t et la fr�quence re�ue = 1 / TR, diminue.
11. Estimer le plus pr�cis�ment possible la fr�quence � laquelle les ondes sont �mises par LO-19.
Du fait
de la sym�trie du mouvement, la vitesse d'approche est identique � la
vitesse d'�loignement.
La fr�quence d'�mission est �gale � : ( fr�quence d'approche +
fr�quence d'�loignement ) / 2 = (437,137 +437,117) / 2 = 437,127 MHz.
12. Estimer la p�riode du satellite sur son orbite. On d�taillera la m�thode, ainsi que les hypoth�ses formul�es.
La
p�riode du satellite est �gale � la dur�e s�parant deux r�ceptions
successives � la m�me fr�quence.
Le r�cepteur re�oit la fr�quence de 437,127 MHz � 15 h 15 et � 16 h 55.
P�riode orbitale du satellite : 16 h 55 -15 h 15 = 1 h 40 min ou 100
min ou 6,0 103 s.
13. D�duire de la question pr�c�dente le rayon de l’orbite de LO-19.
La
troisi�me loi de Kepler permet de calculer le rayon orbital du
satellite.
T2 / R3 = 4 p2 /(GMterre).
R3
= T2 GMterre / (4 p2 )= (6,0 103)2 x 6,67 10-11
x 5,97 1024/(4 x3,142 )= 3,6 1020 ;
R =7,1 106 m = 7,1 103 km.
Altitude du satellite :7,1 103 -6,4 103 ~700 km.
L'hypoth�se d'une orbite basse est valide.
Vitesse d'un
avion supersonique.
14. Estimer la vitesse de l’avion par rapport � l’air.
La figure
ci-dessous d�crit quant � elle les ondes �mises par un avion ayant une
vitesse v > vson. Les surfaces d’ondes s’alignent alors
suivant un c�ne.
OA : d�placement de
l'onde soit c Dt.
AS : d�placement de l'avion soit v Dt.
cos a = OA / AS =
c / v.
v = c / cos a
avec a = 25� et c
= 340 m/s, c�l�rit� du son dans l'air.
Vitesse de l'avion par rapport � l'air : v = 340 / cos 25 ~375 m /s.
375 x3,6 = 1,35 103 km /h.
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II. Exp�rience
de Ives-Stilwell
II.A Raies d'�mission atomique.
15. Expression de la force de Coulomb s'exer�ant entre deux charges q1 et q2 distantes de d.
F = k q1 q2 / d2 avec k une constante.
Expression de la force donn�e dans l'�nonc� ( foce attractive entre un proton et un �lectron ) : F = e2/ (4pe0 ra ).
On en d�duit : a = 2.
16. Cas de l'atome d'hydrog�ne.
Force gravitationnelle entre proton et �lectron : FG = Gmp me / r2.
Force de Coulomb entre proton et �lectron : Fe = e2/ (4pe0 r2 ).
Fe / FG = e2/ (4pe0 Gmp me ) =(1,6 10-19)2 /(4 x3,14 x8,85 10-12 x6,67 10-11 x1,67 10-27 x9,1 10-31)~1039.
La force de gravitation est n�gligeable devant la force de Coulomb.
17. Expression de l'�nergie potentielle de l'�lectron : Ep = - e2/ (4pe0 r ).
L'�lectron n'est soumis qu'� la force centrale centrip�te de Coulomb. De plus son mouvement est circulaire.
Le mouvement de l'�lectron est uniforme � la vitesse de norme v.
acc�l�ration a = Fe / me = e2/ (4pe0 r2 me) = v2 / r.
vitesse : v2 = e2/ (4pe0 r me).
Energie cin�tique de l'�lectron : Ec = 0,5 mev2 = e2/ (8pe0 r ).
L'�nergie m�canique est la somme de l'�nergie potentielle et de l'�nergie cin�tique :
E = - e2/ (4pe0 r ) + e2/ (8pe0 r )= -e2/ (8pe0 r ).
18. On donne rn vn = nh / (2pme).
Elever au carr� : r2n v2n = n2h2 / (2pme)2.
Remplacer v2 par e2/ (4pe0 r me) :
r2n e2/ (4pe0 rn me) = n2h2 / (2pme)2 ; rn e2/ e0 = n2h2 / (pme) ;
rn=n2h2 e0 /( pme e2).
r1=h2 e0 /( pme e2) soit rn = n2 r1.
r1 ~0,1 nm = 10-10 m est le rayon de l'atome d'hydrog�ne pris dans son �tat fondamental.
19. Expression de la constante de Plank :
r1=h2 e0 /( pme e2) ; h =[ r1pme e2/ e0]�= e [ r1pme / e0]�.
h = 1,6 10-19 [10-10 x3,14 x9,1 10-31 / (8,85 10-12)]� ~9,1 10-34 J s.
20. Expression de l'�nergie m�canique :
En = -e2/ (8pe0 rn ) = -e2/ (8pe0 r1n2 ).
On pose e = e2/ (8pe0 r1) ; En = -e / n2.
21. Lorsqu'un �lectron passe du niveau d'�nergie Ep au niveau d'�nergie En avec p > n, il y a �mission d'un photon d'�nergie :
Ep-En = -e / p2+ e / n2= e ( 1 / n2-1 /p2).
Longueur d'onde de ce photon : l = h c / [e ( 1 / n2-1 /p2)].
22. Dans le vide 656 nm correspond � une lumi�re rouge et 486 nm � une lumi�re bleue.
23. L'�lectron se d�sexcite d'un niveau p au niveau n = 2.
On donne 4 longueurs d'onde situ�es dans le visible :656,3 nm ; 486,1 nm ; 434,0 nm et 410,2 nm.
Dans le visible, il n'y a aucune radiations autres que celles propos�es : donc les niveaux excit�s recherch�s se suivent.
A la plus petite longueur d'onde correspond le niveau d'�nergie le plus �lev�.
A p = 6 correspond 410,2 nm ; � p = 5 correspond 434,0 nm ; � p = 4 correspond 486,1 nm ; � p = 3 correspond 656,3 nm.
24. l = h c / [e ( 1 / n2-1 /p2)]= hc / e [n2p2 / (p2-n2)].
e = e2/ (8pe0 r1)~ (1,6 10-19)2 /(8 x3,14 x8,85 10-12 x10-10) ~1,15 10-18 J.
l(nm)
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410,2
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434,0
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486,1
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656,3
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| c / e [n2p2 / (p2-n2)] |
1,17 1027
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1,24 1027
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1,39 1027
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1,87 1027
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h
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410,2 10-10 /(1,17 1027)=3,5 10-34
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3,5 10-34 |
3,5 10-34 |
3,5 10-34 |
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Description de l'exp�rience de Ives-Stilwell.
Dans leur exp�rience, Ives et Stilwell ont g�n�r� un faisceau d’ions
ayant une vitesse de norme v, gr�ce � un arc �lectrique et un filament
chaud.
Extrait traduit et adapt� de Modern Physics, de K.S. Krane, �d. Wiley.
25. Quel est l'int�r�t du miroir ?
Le miroir permet la r�flexion des photons �mis vers la gauche ( vers le spectrophotom�tre ).
26. Dl1 = � l0 v / c.
Dans cette expression l0 correspond � ll(question 8).
Les grilles acc�l�ratrices sont symbolis�es par les lignes tiret�es �
gauche et � droite de la zone d’acc�l�ration. On note U = 30 kV la
diff�rence de potentiel entre ces deux grilles.
27. Les deux plaques sont soumises � une tension de 30 kV. Un champ �lectrique r�gne entre les deux plaques.
Ce dernier permet d'acc�l�rer les ions.
28. Les ions poss�dent une vitesse n�gligeable � l'entr�e de la zone d'acc�l�ration.
L'�nergie potentielle �lectrique est convertie en �nergie cin�tique dans cette zone d'acc�l�ration.
On note m la masse des ions et q = e, leur charge.
e U = �mv2.
v = (2eU / m)�.
Or DDl = l0 v / c.
DDl = l0 (2eU / m)� / c.
En posant a = l0 (2e / m)� / c, on obtient DDl = a U�.
29. Pour enregistrer les raies d'�mision des ions au repos, on annule la tension acc�l�ratrice U.
Analyse des r�sultats.
30. Les courbes obtenues semblent-elles en accord avec le mod�le th�orique ?
La courbe d'�quation DDl = a U� est une droite passant par l'origine et de pente �gale � a.
31. Les ions H2+ et H3+ diff�rent par leur masse.
La masse de H2+ est inf�rieure � celle de H3+ .
La masse intervient au d�nominateur dans l'expression de a.
La courbe de pente la plus �lev�e correspond � H2+ .
32. On note : a2 = l0 (2e / m(H2+))� / c et a3 = l0 (2e / m(H3+))� / c.
a2 /a3 =[m(H3+) / m(H2+)]� =[3mp / (2mp)]� =1,5�~1,2.
Graphiquement on d�termine a2 =0,15 10-10 m V-� et a3 =0,12 10-10 m V-� ;
a2 /a3 =0,15 / 0,12 ~1,25, en accord avec la valeur ci-dessus.
33. Soit la grandeur SDl =� (Dl+ +Dl-)
Dl- = - v / c ll ; Dl+ = v / c ll.
SDl =0 pour un d�calage des raies d� uniquement � l'effet Doppler.
Or le graphique indique que SDl cro�t avec v / c.
Un autre ph�nom�ne (effet Doppler relativiste ) intervient donc dans le d�calage des raies.
34. La pr�cision du spectrophotom�tre est-elle en cause ?
On effectue plusieurs s�rie de mesures et on calcule la moyenne. Cela permet de minimiser l'impr�cision de l'appareil.
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