Math�matiques, Concours ing�nieur territorial 2019.

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1- Probl�me 1 (3,5 points )
Un entrepreneur de travaux publics propose trois formules d'enrob� � chaud � ses clients collectivit�s territoriales : l'enrob� de base (ERB), l'enrob� bord� d'un trottoir (ERT) et la formule comprenant une piste cyclable (ERC).
Pour chaque formule, le tableau ci-dessous indique le temps en heures n�cessaire � la pose de l'enrob� et les co�ts brut et prix de vente exprim�s en 104 euros et ce pour 1 km.

ERT
 ERC
 ERB
co�t brut
 3
 4
 2
temps requis
 8
 10
 6
prix de vente
 12
 16
 10

Question 1 (2 points)
On consid�re la matrice M= et la matrice C.
1.a. Effectuer le produit matriciel MC.

1.b. Si pour la matrice C ,10 correspond � 10 Km d'ERT et 8 � 8 Km d'ERC et enfin 14 � 14 Km d'ERB, donner la signification de chacun des coefficients du produit matriciel MC. Vous exprimerez les sommes en euros sans puissance de 10 et les temps en jours travaill�s - sachant qu'une journ�e travaill�e dure 8 heures. (1,5 point).
90 : co�t brut de 10 km d'ERT + co�t brut de 8 km d'ERC +co�t brut de 14 km d'ERB = 900 000 €.
244 : temps requis de 10 km d'ERT + temps requis de 8 km d'ERC +temps requis de 14 km d'ERB = 244 heures ou 30,5 jours.
388 : prix de vente de 10 km d'ERT + prix de vente de 8 km d'ERC +prix de vente de 14 km d'ERB = 3 880 000 €.
Question 2 (1,5 point)
On consid�re la matrice P et l'on admet que PM=I , I matrice unit�.
Soit X et Y deux matrices � une colonne et trois lignes.
2.a. D�montrer que si MX = Y alors X = PY. (0,5 point)

2.b. On sait que l'entreprise de TP a r�alis� une recette de 4 300 000 € sur un temps travaill� de 270 heures et avec un co�t de un million d'euros. Construire la matrice Y � partir de ces donn�es, puis d�terminer pour chaque type d'enrobage le nombre de kilom�tres r�alis�s. (1 point).
d=106 =100 104; e=270 ; f=4,3 106= 430 104.
3a +4b +2c = 100 (1) ; 8a+10b+6c = 270 (2) ; 12a +16b+10c = 430 (3)
4x(1) -(3) donne : 2c =30 ; c = 15 km.
3a +4b  = 70 (1') ; 8a+10b = 180 (2') ;
2,5 x(1') -(2') donne : 7,5 a -8a =175-180 ; a = 10 km.
(1) donne : 4b = 100-30-30=40 ; b = 10 km.
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Question 2 ( 3 points).
Une salle philharmonique est vue de profil. La figure ABCD repr�sente un mur de cette salle dans un rep�re orthonorm� d'unit� un pour vingt cinq m�tres. On consid�re la courbe Ω d'�quation y= f ( x) avec : f ( x)=x−1+(2x+1) / (x2+x+1) −ln ( x) et la courbe Φ d'�quation y=ln ( x).

Question 1 (1 point)
On pose , donner une interpr�tation graphique de u et calculer ce r�el u en int�grant par parties. Donner le r�sultat en unit�s d'aire � 10−2 pr�s par d�faut.
Aire comprise entre la courbe bleue F, l'axe des abscisses et les droites d'�quation x=1 et x=4.
On pose u = ln(x) ; v' = dx ; u' = 1 /x ; v = x.

Question 2 (1 point)
2.a Calculer  . Pour la suite on admettra que w=6,44 unit�s d'aire.
On pose u = x2+x+1 ; u' = 2x+1.

2.b Par lin�arit� de l'int�gration on en d�duit w-u, soit A1 l'aire concernant la portion de plan d�limit� par Ω , la courbe F et la bande 1⩽x⩽4.
On donnera une valeur approch�e, en unit�s d'aire, � 10−2 pr�s.
A1 = 6,44 -2,55=3,89 u.a.
Question 3 (1 point)
3.a Consid�rons l'aire A2 d�finie par A2=A1−u
Calculer A2 en unit� d'aire puis donner le r�sultat en m2.
A2 = 3,89 -2,55 =1,34 u.a soit 1,34 x 252 =837,5 m2.
3.b Une peinture a un pouvoir couvrant de 1 litre pour 10 m2. 850 litres de peinture seront-ils suffisants pour recouvrir le mur d�limit� par l'aire A1 ? Justifier.
A1 correspond � 3,89 x252 ~2431 m2.
243 litres de peinture sont n�cessaire pour couvrir l'aire A1.
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 Probl�me 3 . ( 3,5 points)
Deux routes se croisent perpendiculairement. Un chemin pi�tonnier m�ne d’une route � l’autre selon le sch�ma suivant :

On choisit le rep�re d’origine O, le croisement des deux routes, d’axe des abscisses la route n�1, d’axe des ordonn�es la route n�2. L’unit� de longueur �tant le kilom�tre, le point A a pour coordonn�es (0 ;-1) et le point B a une abscisse positive et une ordonn�e nulle.
Dans ce rep�re, le chemin pi�tonnier reliant A et B est un arc de la parabole P repr�sentative de la fonction f (x) = 0,5x2 -1.
Partie A, longueur du chemin pi�tonnier (1,5 point).
On rappelle que la longueur L du chemin pi�tonnier est donn�e, en unit�s de longueur, par l’int�grale :

o� f ' est la fonction d�riv�e de la fonction f.
1. Montrer que
f '(x) =x ; 1+f '(x)2 = 1 +x2.
Montrer qu’une primitive, sur R, de la fonction g(x)= (1+ x2 )� est :
G(x) = 0,5 [x(1+ x2 )� +ln(x+(1+ x2 )� )).
On d�rive G(x) :
D�riv�e de x(1+ x2 )�  : on pose u = x et v = (1+ x2 )�   ; u' = 1 ; v' =  x(1+ x2 )-�  ;
u'v + v'u = (1+ x2 )�  +x2(1+ x2 )-�  ;
D�riv�e de ln(x+(1+ x2 )� ) : [1+x(1+ x2 )-�  ] / [x+(1+ x2 )� ] ;



3. Calculer alors la longueur de ce chemin pi�tonnier ; la r�ponse finale sera arrondie au m�tre pr�s.
L =G(2�) - G(0) =0,5 [6�+ln(2�+3�)]-0,5[0+0] ~1,798 km.

Partie B, un cercle de courbure ou cercle osculateur (2 points)
On s’int�resse au cercle de courbure G de la parabole P au point C d’abscisse 1 du chemin pi�tonnier, cercle de centre V repr�sent� ci-dessous :

1. On rappelle que le rayon de courbure, rayon du cercle de courbure, de la parabole P en son point d’abscisse x est donn� par :
R =(1+f '(x)2)1,5 / f ''(x).
o� f " est la d�riv�e seconde de la fonction f.
Montrer que le rayon du cercle G est de 8�.
f '(x) =x ; f ''(x) = 1 ; R =(1+x2)1,5  avec x = 1 ; R = 21,5 =2 *2� = 4� *2� = 8 �.
2. D�terminer des �quations de la tangente T et de la normale N � la parabole P au point C. (0,75 point)
Coefficient directeur de la tangente  en C � la parabole : f  '(1) = 1 ;
�quation de T : y = x+b ; T passe au point C(1 ; f(1)) soit C(1 ; -0,5).
-0,5 = 1 +b ; b = -1,5 ; y = x-1,5.
Coefficient directeur de N : -1 ;
�quation de N : y = -x+b ; N passe au point C(1 ;-0,5) ;
-0,5 = -1 +b ; b = 0,5. y = -x+0,5.
On rappelle que T et N se croisent perpendiculairement au point C.
3. Calculer les coordonn�es du point V. (1 point)
VC2 = 8 ; (xC-xV)2 +(yC-yV)2 = 8 ; (1-xV)2 +(-0,5-yV)2 = 8 ;
De plus yV = -xV +0,5 ; (1-xV)2 +(1-xV)2 = 8 ; (1-xV)2 =4 ; 1-xV = 2 ; xV = -1 et yV =1,5.
 


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