Distance terre lune, rotation d'une fronde, Concours audioproth�siste Paris 2019.

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D�termination approch�e de la distance terre-lune.

I. On suppose que la terre de centre O, de masse MT a une distribution de masse � sym�trie sph�rique. On consid�re la lune comme un point mat�riel de masse ML. Dans le r�f�rentiel g�ocentrique, la lune n'est soumise, en premi�re approximation, qu'� la force de gravitation terrestre et d�crit une trajectoire circulaire de centre O. Soit d la distance de la terre au centre de la lune.
1. Montrer que le mouvement circulaire de la lune est uniforme.
La lune est soumise uniquement � la force de gravitation de la terre, force centrip�te, perpendiculaire � chaque instant � la vitesse.
Par cons�quent cette force ne travaille pas et ne modifie pas l'�nergie cin�tique de la lune.
La valeur de la vitesse de la lune est donc constante : le mouvement est uniforme..
2. Exprimer la vitesse v de la lune en gonction de G, MT et d.
F = G ML MT / d2 = ML a =ML v2 / d.
v2 =G MT / d ; v = [G MT / d]�.
3. En d�duire la p�riode TL de r�volution de la lune en fonction de  G, MT et d.
La lune d�crit la circonf�rence 2 p d � la vitesse v en TL seconde.
2 p d = v TL ; 4 p2 d2 = v2 TL2.
4 p2 d2 = G MT / d TL2.
4 p2 d3 = G MT TL2.
TL = [4 p2 d3 /( G MT)]�.
4. Enoncer la troisi�me loi de Kepler et montrer qu'elle est v�rifi�e.
Le carr� de la p�riode de r�volution est proportionnelle au cube du rayon de l'orbite.
TL2= 4 p2  / (GMT) d3 .
5. Exprimer la constante pr�sente dans cette loi en fonction des grandeurs donn�es.
4 p2  / (GMT) = constante.
6. Calculer la valeur num�rique de cette constante.
4 x3,142 / (6,67 10-11 x6,0 1024) =9,86 10-14 s2 m-3.
7. Schant que TL = 27 j 7 h 30 min, en d�duire une valeur approch�e de la distance du centre de la terre au centre de la lune.
TL = 27 x24 x3600 +7 x3600 +30 x60 =2 359 800 s.
d3 =2 359 8002 / 9,86 10-14 =5,65 1025.
d=3,8 108 m = 3,8 105 km.

II. On se propose de d�terminer la distance terre au centre de la lune � l'aide d'un laser.
Un rayon laser �mis depuis la terre se propage jusqu'� la lune, pour y �tre rfl�chi par un miroir vers la station �mettrice terrestre.

1. Sachant que la dur�e qui s'�coule entre l'�mission et la r�ception du faisceau est Dt = 2,563 s, en d�duire une valeur approch�e de la distance du centre de  la terre au centre de la lune.
Distance terre lune = 3,0 108 x 2,563 / 2 = 3,84 108 m = 3,84 105 km.
Distance des centres des deux astres :
3,84 105 + Rterre + Rlune = 3,84 105 +6380+1378=3,9 105 km.
2. Ce r�sultat est-il en accord avec celui de la question 7 ?
Ecart relatif : ( 3,9 -3,8 )/3,8 = 2,6 10-2 ( 2,6 %).
Les r�sultats sont en accord.



III La t�l�m�trie laser plus en d�tail.
On utilise un laser de longueur d'onde l = 476 nm qui d�livre des impulsions de 15 kJ de dur�e 50 ns. Un r�flecteur de diam�tre 2,0 m est situ� sur la lune et on le consid�rera perpendiculaire au faisceau laser. :
1. Evaluer l'ordre de grandeur du nombre de photons �mis lors de chaque impulsion.
Energie du faisceau : 15 103 J.
Energie d'un photon : h c / l =6,63 10-34 x 3,0 108 / (476 10-9) =4,18 10-19 J.
Nombre de photons �mis : 15 103 / (4,18 10-19) ~3,6 1022.
 2. Calculer la puissance instantan�e du faisceau.
15 000 / (50 10-9) =3,0 1011 W.
3. La divergence du faisceau cr�e un c�ne de  demi angle q = l /a o� a est le diam�tre de sortie du faisceau ( a = 3,0 mm). D�terminer le diam�tre de la tache au niveau du miroir.
q = 476 10-9 / (3,0 10-3) =1,59 10-4 radian.
Diam�tre de la tache sur la lune : 1,59 10-4 x 3,84 108 =6,1 104 m.
4. En d�duire la puissance r��mise par le r�flecteur, en supposant que le r�flecteur est parfaitement r�fl�chissant.
Surface du r�flecteur : pR2 = 3,14 m2.
Surface de la tache sur la lune : 3,14 x (6,1 104)2 / 4 =2,9 109 m2.
Puissance r��mise : 3,0 1011 x3,14 / (2,9 109) =3,2 102 W.
 5. La lumi�re r�fl�chie est recueillie par un t�lescope  de diam�tre 2,0 m. Le faisceau r�fl�chi fait un c�ne de demi-angle au sommet a = 4,0 10-7 rad.
D�terminer la puissance re�ue par le t�lescope.
Rayon de la tache sur la terre : 4 10-7 x3,84 108 =153,6 m.
Surface de cette tache : 3,14 x153,62 =7,4 104 m2.
Surface du t�lescope : 3,14 x22 /4=3,14 m2.
Puissance recue par le t�lescope : 3,2 102 x3,14 / (7,4 104) =1,36 10-2 W.
6. Evaluer l'ordre de grandeur du nombre de photons re�us par impulsion par le t�lescope. Ciomparer au nombre de photons de  d�part.
Energie re�ue : 1,36 10-2 x50 10-9 =6,8 10-10 J.
Nombre de photons re�us : 6,8 10-10 /(4,18 10-19) =1,6 109.
1,6 109 / (3,6 1022) ~4,5 10-14.
7. Quelles propri�t�s du laser ont �t� mises � profit ?
Faisceau tr�s directif ; puissance �lev�e par unit� de surface.


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Rotation d'une fronde.
Un caillou de masse m = 250 g, suppos� ponctuel, est accroch� � l'extr�mit� d'une fronde de longueur L = 1,00 m. On lui fait d�crire un cercle de centre O, immobile,  � une vitesse constante de 4 tours par seconde. La position du caillou est rep�r�e par l'angle q que fait le fil avec l'horizontale ( q(t=0) = 0).
1. Calculer la vitesse angulaire de la fronde.
4 tours par seconde soit w =4 x2 x3,14 = 25,1 rad /s.
2. Calculer la vitesse du caillou.
v = w L = 25,1 m /s.
3. D�terminer les caract�ristiques du vecteur vitesse du caillou par rapport � la terre � un instant t en coordonn�es cart�siennes et dans le rep�re de Frenet.

Coordonn�es du point M : cos q ; sin q avec q = wt.
Coordonn�es cart�siennes du vecteur vitesse :
D�riv�e du vecteur position par rapport au temps :  -w sin q ; w cos q.
Dans la base de Frenet, coordonn�es du vecteur vitesse :
Le vecteur vitesse est � chaque instant tangent � la trajectoire ;  suivant l'axe t : V ; suivant l'axe n : 0.
4.  D�terminer dans les m�mes syst�mes de coordonn�es, les caract�ristiques du vecteur acc�l�ration du caillou.
D�river le vecteur vitesse par rapport au temps :
en coordonn�es cart�siennes : -w2 cos q ; - w2 sin q.
Dans la base de Frenet, acc�l�ration centrip�te :
suivant l'axe n : an=V2 / OM = V2 ; suivant l'axe t : 0.
5. En d�duire l'intensit� de la force exerc�e par la fronde sur le caillou.
F =m an =mV2 =0,25 x25,12 =157,5 ~1,6 102 N.
On n�glireant le poids du caillou, la pouss�e d'Archim�de et les frottements.

Le caillou est alors lanc� avec une vitesse de valeur v0. Le vecteur vitesse fait un angle a avec l'horizontale. On n�glige les frottements et la pouss�e d'Archim�de. Le point O de d�part se situe au niveau du sol horizontal. L'origine des temps est l'instant de d�part du caillou.
6. Apr�s avoir �tabli les �quations horaires du mouvement, d�terminer la distance maximale atteinte par le caillou en fonction de a.

Au sol y = 0.
-0,5 g x /( v02 cos a) + sin a = 0.
x = 2 v02 cos a sin a / g = v02 sin (2a) / g.
7. Montrer qu'il existe un angle de tir pour lequel cette distance est maximale, et d�terminer la valeur de cet angle. Calculer la distance maximale atteinte.
La distance est maximale lorsque sin ( 2a) = 1 soit a = 45�.
xmax = v02 / g = 25,12 / 9,81 =64,2 m.
8. Pour cette valeur particuli�re de a, quelle est l'altitude maximale atteinte ?
A cette altitude la composante verticale de la vitesse est nulle.
t = v0 sin 45 / g =25,1 sin 45 / 9,81 =1,81 s.
ymax = -0,5 x9,81 x1,812 +25,1 sin 45 x1,81 ~ 16,1 m.
9. Quelle sera alors la vitesse du caillou ?
v0 cos 45 =25,1  cos 45 ~17,7 m /s.
10. Avec cette valeur particuli�re de a, le caillou atteindra-t-il le front d'un adversaire de grande taille ( entre 2,0 et 2,20 m) se trouvant � 62 m du lanceur ?
x = v0 cos a t ; t = 62 / (25,1 cos 45) =3,493 s.
y = -0,5 x9,81 x3,4932 +25,1 x sin 45 x3,493 = -59,86 +62,0 ~2,14 m.
Le front est atteint.
 


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