Math�matiques, concours audioproth�siste Toulouse 2019.

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QCM 1. Dans un rep�re rapport� � un rep�re orthonorm�, on donne les points :
A(1 ; 1 ; -2) ; B ( 3 ; 1 ; 0) ; C(4 ; 1 ; 1) ; D (6 ; 6 ; 2).
Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.

QCM 2. Soit r un nombre r�l donn�. On consid�re les deux suites suivantes :
un = rn ; Sn = 1 +r +r2 +r3 +...+rn pour n > 0.
Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.
A. Lorsque |r| < 1, la suite (un) converge vers z�ro. Vrai.
par exemple si r = -0,1 et n =9 ; un = -10-9 ;   ; un+1 =10-10.
B. Lorsque |r| = 1, la suite (un) converge vers 1. Faux.
Si r = 1, un = 1 ; si r = -1 et n pair, un = 1 mais un+1 = -1.
C. Pour r = 0,5, S3 = 2. Faux.
r0 = 1 ; r1 = 0,5 ; r2=0,52=0,25 ; r3=0,53=0,125 ; S3 = 1,875.
D. Pour r = 0,5 la suite vn = n rn tend vers plus l'infini quand n tend vers plus l'infini. Faux.
0,5n tend vers z�ro et vn tend vers z�ro.
E. Pour r = 3, la suite Sn tend vers plus l'infini quand n tens vers plus l'infini. Vrai.

 QCM.3. Le plan complexe est muni d'un rep�re orthonorm� direct.
On consid�re les points A, B et C d'affixes respectives :
a = 2 + 2 i 3� ; b = 2 -2 i 3� ; c = 4i.
Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.
A. Le module de a vaut 16. Faux.
(22 +(2x3�)2)� = (4 +12)� = 16� = 4.
B. Les trois points sont situ�s sur un m�me cercle de centre O. Vrai.
OA = 4 ; |b|=(22 +(-2x3�)2)� = (4 +12)� = 16� = 4 ; OC = |c| = 4.
C. Un argument de a vaut p/3. Vrai.
a / |a| = 0,5 + 0,5 i 3� = cos (p/3 )+ i sin (p/3 ).
D. Le point B' d'affixe b' = b exp(i p/3) se situe sur l'axe vertical. Faux.
b = 4 (cos (-p/3 )+ i sin (-p/3 ) = 4 exp(-i p/3).
b' = 4 exp(i(- p/3 + p /3)) = 4.
E. Le milieu du segment [AB] se situe sur l'axe horizontal. Vrai.
(2+2) / 2 = 2 ; (2 i 3� -2 i 3� ) / 2 = 0.

QCM 4. Soient les nombres complexes suivants : z1 = 1-i ; z2 = 4+3i.
Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses..
 A. Un argument de z1 est p / 4. Faux.
|z1| = (12 +(-1)2))� = 2�.
z1 / |z1| = 1 / 2� - i / 2� = cos(-p/4) + i sin(-p/4).
B. L'une des racines cubiques de z1 s'�crit z =21/6 exp(i 7 p / 12). Vrai.
z1 =2�exp ( - i p / 4).
L'une des racines cubiques de z1 est :: 21/6 exp(-i  p / 12).
Mais aussi : 21/6 exp(-i  (p / 12 +2p/3) ) et 21/6 exp(-i  (p / 12 +4p/3) ).
C. Le nombre complexe conjugu� de z2 est : -4-3i. Faux.
Conjugu� de z2 : 4-3i
D. La partie r�elle de z1 / z2 vaut -7 / 25. Faux.
z1 / z2  = (1-i)(4-3i) / [(4+3i)(4-3i)] = (4+3i2-7i) / (16 +9) = (1-7i) / 25.
E. La partie imaginaire de z1 / z2 vaut -7 / 25. Vrai.

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QCM 5. On consid�re les deux fonctions suivantes : f(x) = sin(2x) et g(x) = cos(x) f(x) pout tout x r�el..
Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.
A. L'ensemble des z�ros de f est exactement l'ensemble { kp, k  appartenant � Z }. Faux.
f(x) = 0 = sin (2x).
2x = 0 + 2kp ; x = kp ;
et 2x = p + 2kp ; x = �p + kp.
B. L'ensemble des z�ro de g est le m�me que l'ensemble des z�ro de  f. Vrai.
cos(x) = 0 ; x = �p/2 + 2kp.
C. g est une fonction paire. Faux.
cos(x) est une fonction paire ; sin(2x) est impaire.
D. g'(x) = -sin(x) sin(2x) +cos(x) cos(2x). Vrai.
On pose u = sin(2x) et v = cos(x).
u' = 2 cos(2x) ; v' = -sin(x) ; u'v +v'u = 2 cos(2x) cos(x) -sin(x) sin(2x).
E. La fonction f(x) / g(x) est d�finie pour tout x r�el. Faux.
f(x) / g(x) =1 / cos(x). Le d�nominateur ne doit pas �tre nul.
 
 QCM 6. Soient deux fonctions f(x) = x2-4x+3 et g(x) = ln(f(x)).
Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.
A. f(x) admet deux racines r�elles distinctes. Vrai.
Discriminant D = (-4)2 -4 x1 x3 = 4.
x1 =(4-2) / 2 = 1 et x2 = (4+2) / 2 = 3.
B. La fonction f est de signe constant sur R. Faux.
f '(x) = 2x-4 ; f '(x) = 0 si x =2.
f(2) = -1.
Sur ]-oo ; 2 [, f(x) d�croit de +oo � -1 et sur [2 ; +oo[, f(x) cro�t de - 1 � + oo.
C. La fonction g est paire. Faux.
g(x) =ln(x2-4x+3) ; g(-x) = ln(x2 +4x +3) ; g(x) diff�re de g(-x).
D Le domaine de d�finition de g est exactement l'ensemble ]-oo ; -3[ union ]-3 ; +oo[. Faux.
f(x) doit �tre strictement positive.
x doit appartenie � ]-oo ; 1[ union ]3 ; +oo[.
E. La d�riv�e g' de la fonction g v�rifie la relation g'(x) f(x) = 2(x-2). Vrai.
g '(x) = f '(x) / f (x) ; g '(x) f(x) = f '(x) = 2x-4.

QCM 7. Soit la fonction f(x) = x2-x pour x > 0 et soit la suite (un)  d�finie par u0 r�el et un+1 = f(un) pour tout n > 0.
Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.
A. La fonction f s'annule en exactement deux points sur l'intervalle [0 ; +oo[. Vrai.
f(x) = x( x-1) ; f(x) s'annule pour x = 0 et x = 1.
B. La fonction f a un unique point fixe sur l'intervalle  [0 ;  +oo[.
C.  Lorsque u0 = 2, la suite (un) est strictement croissante. Faux.
u1 =f(2) =2 ; u2 = f(2). La suite est constante.
D. La fonction g(x) = f(x) -x est strictement positive sur [3 ; +oo[. Vrai.
g(x) = x2-2x.
g '(x) = 2x-2 ; g'(x) = 0 si x =1.
g'(x) >0 sur [1 ; + oo[ ; g(x) est strictement croissante sur [3 ; +oo[.
E. Lorsque u0 = 3, la suite (un) est strictement croissante. Vrai.
u1 = f(3) = 9-3 = 6 ; u2 =f(6) = 36-6 = 30. La propri�t� est vraie au rang 1.
On suppose la propri�t� vraie au rang n : un+1 = f(un) =un2 -un ; un+1-un =g(un).
Or g(x) = f(x) -x est strictement positive sur [3 ; +oo[.
La propri�t� est vraie au rang un et h�r�ditaire ; elle est vraie pour tout n.
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 QCM 8.
Soit la fonction f(x) = x e-x pour x >0.
Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.
A. La fonction f est d�croissante sur [1 ; +oo[. Vrai.
On pose u =x et v = e-x ; u' = 1 et v' = -e-x ; u'v +v'u = e-x -x e-x = e-x(1-x).
La d�riv�e est n�gative ou nulle sur [1 ; +oo[.
f(x) est d�croissante sur cet intervalle.
B. Quand x tend vers plus l'infini, f(x) tend vers l'infini. Faux.
Quand x tend vers plus l'infini, e-x tend vers z�ro.
C. Pour tout x appartenant � [0 ; +oo[, on a : f(x) < 1 /e. Vrai.
f(1) = 1 /e.
f(x) cro�t de z�ro � 1 /e puis d�cro�t de 1 /e � z�ro.
D. La fonction g(x) = ex[ f(x) + f '(x) ] tend vers 1 quand x tend vers plus l'infini. Vrai.
g(x) = ex[ x e-x +  e-x(1-x) ] =e0=1
E. Une primitive de f  est h(x) =-(x+1)e-x. Vrai.
On d�rive h(x) en posant u = x+1 et v = - e-x ; u' = 1 ; v' = e-x ;
u'v + v'  u = -e-x +e-x(x+1) =f(x).


 QCM 9.
 Soit la foncttion f(x) = 5(x-3)(x-4) / [(x+1)(x+2)].
Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.
A. La limite de f(x) en plus l'infini est �gale � la limite de f(x) en moins l'infini. Vrai.

La droite y = 5 est asymptote.
B. Le graphe de la fonction f admet une asymptote horizontale. Vrai.
C. La droite x=-1 est une asymptote pour le graphe de f. Vrai.
D. Le graphe de la fonction f admet 4 asymptotes verticales qui sont les droites x =3 ; x = 4 ; x =-1 et x = -2. Faux.
Deux asymptotes verticales d'�quation x = -1 et x = -2.
E. La fonction f est positive sur l'intervalle ]3 ; 4 [. Faux.
(x-3) est positif , (x-4) est n�gatif ; (x+1) est positif ; (x+2) est positif ; f est n�gative sur cet intervalle.

QCM 10. Indiquer si les propositions suivantyes sont vraies ou fausses.
 


QCM 11. Dans une �tude on �value un nouvel examen clinique permettant de diagnostiquer une surdit�. On note ::
S l'�v�nement " avoir r�ellement une surdit�".
non S l'�v�nement " n'avoir aucune surdit� en r�alit�".
E l'�v�nement " avoir un examen clinique en faveur d'une surdit�"
non E l'�v�nement " avoir un examen clinique en faveur de l'absence de surdit�".
Les r�sultats de l'�tude sont les suivants, ils indiquent notamment que l'examen clinique ne permet pas, avec certitude, de faire une distinction entre les personnes ayant vraiment une surdit� et les personnes indemnes.
50 % de la population d'�tude avait r�ellement une surdit� P(S) = 0,50 ;
la probabilit� d'avoir un examen clinique en faveur d'une surdit� (E) chez les personnes r�ellement sourdes (S) �tait PS(E) = 0,70 ;
la probabilit� d'avoir un examen clinique en faveur de l'absence de surdit� ( non E) chez les personnes r�ellement indemnes ( non S) �tait Pnon S ( non E) = 0,80.
Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.
A. La probabilit� de n'avoir aucune surdit� en r�alit� est P(non S) = 0,50. Vrai.
B.  La probabilit� d'avoir un examen clinique en faveur d'une surdit�, sachant que la personne est r�ellement indemne de surdit� est P non S(E) = 0,30. Faux.
C. La probabilit� d'avoir � la fois une surdit� r�elle et un examen clinique en faveur d'une surdit� est P(S n E) = 0,35. Vrai.
C. La probabilit� d'avoir un examen clinique en faveur d'une surdit� est P(S n E) = 0,35. Vrai.
D. La probabilit� d'avoir un examen clinique en faveur d'une surdit� est P(E) = 0,55. Faux.
E. La probabilit� d'avoir r�ellement une surdit� sachant que l'examen clinique est en faveur d'une surdit� est PE(S) = 0,35 / 0,45. Vrai.


QCM 12. On s'int�resse � une population de patients atteints de surdit�, compos�e d'hommes et de femmes. La surdit� peut �tre d'origine traumatique ou non traumatique. Dans cette population :
la probabilit� d'�tre un homme est P(H) = 0,20 ;
la probabilit� d'avoir une surdit� d'origine traumatique est P(T) = 0,25 ;
la probabilit� �tre un homme et d'avoir une surdit� d'origine traumatique est P(H n T) = 0,05.
Indiquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.
A. La probabilit� d'�tre un homme ou d'avoir une surdit� d'origine traumatique est P(H u T) = 0,45. Faux.
P(H) + P(T) -P(H nT) = 0,2 +0,25 -0,05 = 0,40.
B. Les �v�nements  " �tre un homme" et "avoir une surdit� d'origine traumatique" sont ind�pendants. Vrai.
P(H n T ) = 0,05 ; P(H) xP(T) =0,2 x0,25 =0,05.
C. la probabilit� d'avoir une surdit� d'origine traumatique chez les hommes est PH(T) = 0,20. Faux.
D. La probabilit� de ne pas avoir de surdit� d'origine traumatique chez les hommes est PH(non T) = 0,75. Vrai.
E. Les �v�nements " ne pas �tre un homme" et " ne pas avoir de surdit� d'origine traumatique" sont incompatibles. Faux.


  

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