Sp�cialit� math�matiques, bac g�n�ral 2021.

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Exercice 1. QCM ( 5 points ).
Une seule des 4 r�ponses propos�es est exacte.
1. On consid�re les suites (un) et (vn) telles que, pour tout entier naturel n :
un = 1-0,25n ; vn = 1+0,25n.
On consid�re de plus une suite (wn) qui, pour tout entier naturel n v�rifie un < wn < vn.
On peut affirmer que :
a. Les suites (un) et (vn) sont g�om�triques. Faux.
b. La suite (wn) converge vers 1. Vrai.
0,25n tend vers z�ro quand n tend vers l'infini et vn, ainsi que un tendent vers 1.
c. La suite (un) est minor�e par 1. Faux.
La suite (un) est major�e par 1.
d. La suite (wn) est croissante. Faux.

 2. On consid�re la fonction f d�finie sur R par f(x) = x exp(x2).
a. f '(x) =2x exp(x2).
On pose u = x et v = exp(x2) ; u' = 1 ; v' = 2x exp(x2).
u'v +v'u =exp(x2) +2x2 exp(x2)= (2x2 +1)exp(x2).
b. f '(x) =(1+2x)exp(x2).
c. f '(x) =(1+2x2)exp(x2). Vrai.
d. f '(x) =(2+x2)exp(x2).

3. Que vaut la limite de (x2-1) / (2x2 -2x+1) quand x tend vers plus l'infini ?
-1 ; 0 ; 0,5 vrai ; +oo.
Mettre x2 en facteur commun au num�rateur et au d�nominateur.
x2 (1-1 /x2) / (x2(2-2 /x +1/x2)).
Simplifier : (1-1 /x2) / (2-2 /x +1/x2).
1 / x et 1 /x2 tendent vers z�ron si x tend vers plus l'infini.

4. On consid�re une fonction h continue sur l'intervalle [-1 ; 1 ] telle que :
h(-1) =0 ; h(0) = 2 ; h(1) = 0.
On peut affirmer que :
a. La fonction h est croissante sur l'intervalle [-1 ; 0].
b. La fonction h est positive sur l'intervalle [-1 ; 1].
c. Il existe au moins un nombre r�el a dans l'intervalle [0 ; 1] telle que h(a) = 1. Vrai.
d. L'�quation h(x) =1 admet exactement 2 solutions dans l'intervalle [-1 ; 1].

5. On suppose que g est une fonction d�rivable sur l'intervalle [-4 : 4 ]. On donne ci-dessous la repr�sentation graphique de sa fonction d�riv�e g'(x).

On peut affirmer que :
a. g admet un maximum en -2. Faux, g'(x) n'est pas nulle en x = -2.
b. g est croissante sur l'intervalle [1 ; 2]. Faux, g'(x) est n�gative sur cet intervalle.
c. g est convexe sur l'intervalle [1 ; 2]. Vrai ; g'(x) est croissante sur [1 ; 2]
d. g admet un minimum en z�ro. Faux; g'(0)=0 ; g'(x) >0 , g(x) croissante sur [-4 ; 0] et g'(x)n�gative donc g(x) d�croissante sur  [0 ; 2].
Il s'agit donc d'un maximum.
Exercice 2. 5 points.
On consid�re le cube ABCDEFGH de c�t� 1, le milieu I de (EF] et J le sym�trique de E par rapport � F.

1.a. Par lecture graphique, donner les coordonn�es des points I et J.
I(0,5 ; 0 ; 1) ; J(2 ; 0 ; 1).
b. En d�duire les coordonn�es des vecteurs .

c. Montrer que est un vecteur normal au plan(BGI).

d. Montrer qu'une �quation cart�sienne du plan (BGI) est 2x-y+z-2=0.
 est un vecteur normal au plan(BGI) : 2x -y+z+d=0.
B(1 ; 0 ; 0) appartient � ce plan : 2*1-0+0+d=0 ; d = -2.
 2. On note d la droite passant par F (1 ; 0 ; 1) et orthogonale au plan (BGI).
a. D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite d.
 est un vecteur directeur de la droite d.
Equation param�trique de la droite d : x = 2t+xF =2t +1.
y = -t+yF = -t.
z = t+zF = t+1 avec t r�el.
 b. On consid�re le point L de coordonn�es (2 /3 ; 1 /6 ; 5 /6).
Montrer que L est le point d'intersection de la droite d et du plan (BGI).
Hypoth�se : L appartient � la droite d : 2t+1 =2 /3 ; t = -1 / 6.
yL = -(-1/6) = 1 /6 ; zL = -1 /6 +1 = 5 /6. L'hypoth�se est vraie.
Si L appartient au plan (BGI) :
2xL-yL+zL-2=0 ; 4 /3 -1 /6 +5 /6-2 =(8-1+5-12) / 6 =0 est bien v�rifi�.
Donc L est le point d'intersection de la droite d et du plan (BGI).
3.a Calculer le volume de la pyramide FBGI. ( V = B h / 3 avec B aire de base et h sa hauteur).
Base : triangle BFG d'aire FG *Fb / 2 = 1 *1 / 2 = 0,5.
Hauteur : FI =0,5.
Volume de cette pyramide : 0,5 *0,5 / 3 = 0,25 / 3 = 1 /12.
b. En d�duire l'aire du triangle BGI.
Base de la pyramide : triangle BGI ; hauteur  FL.
FL2 =(2 /3-1)2 +(1 / 6-0)2 +(5/6-1)2=1 / 9 +1 /36 +1/ 36=6 /36 = 1 /6.
FL = 1 /6�.
Aire du triangle BGI = 3 Volume de la pyramide FBGI / FL =1 /4 *6� =6� / 4.



Exercice 3. ( 5 points).
Pour pr�parer l'examen du permis de conduire on distingue deux types de formation :
- Formation avec conduite accompagn�e.
- Formation traditionnelle.
On consid�re un groupe de 300 personnes venant de r�ussir cet examen. Dans ce groupe :
- 75 personnes ont suivi une formation avec conduite accompagn�e ; parmi elles, 50 ont r�ussi l'examen � leur premi�re pr�sentation et les autres � leur seconde pr�sentation.
- 225 personnes ont suivi une formation traditionnelle ; parmi elles, 100 ont r�ussi l'examen � leur premi�re pr�sentation, 75 � leur seconde pr�sentation et 50 � la troisi�me pr�sentation. On interroge au hasard une personne de ce groupe. On consid�re les �v�nements :
A : la personne a suivi la formation avec conduite accompagn�e.
R1 : r�ussite � la premi�re pr�sentation.
R2 : r�ussite � la seconde pr�sentation.
R3 : r�ussite � la troisi�me pr�sentation.
1. Mod�liser la situation par un arbre pond�r�.


2.a Calculer la probabilit� que la personne interrog�e ait suivi une formation avec conduite accompagn�e et r�ussi l'examen � sa deuxi�me pr�sentation. 1 /12  ( voir ci-dessus).
2.b. Montrer que la probabilit� que la personne interrog�e ait r�ussi l'examen � sa deuxi�me pr�sentation est �gale �  1 /3. ( Voir ci-dessus).
2.c. La personne interrog�e a r�ussi l'examen � sa seconde pr�sentation. Quelle est la probabilit� qu'elle ait suivi une formation avec conduite accompagn�e ?
PR2(A) =P(A n R2 ) / P(R2) =1 / 12 / (1 /3) = 3 /12 = 1/ 4 =0,25.

3. On note X la variable al�atoire qui, � toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois o� elle s'est pr�sent�e � l'examen jusqu'� sa r�ussite.
a. D�terminer la loi de probabilit� de X.

X
 1
 2
 3
Probabilit�
 1 /6 + 1 /3 = 0,5
 1 / 3
 1 / 6

Soit A le point de coordonn�es (-0,5 ; 3).

b. Calculer l'esp�rance de cette variable et interpr�ter.
E =0,5 +2 /3 +3 / 6 =3 /6 +4 /6 +3/6 =10 /6 = 5 / 3~1,67.
En moyenne, les candidats se pr�sentent 1,67 fois � l'examen avant de r�ussir.
4. On choisit, successivement et de fa�on ind�pendante, n personnes parmi les 300 du groupe, o� n est un entier naturel non nul. On assimile ce choix � un tirage avec remise de n personnes parmi les 300. On admet que la probabilit� de l'�v�nement R3 est 1 / 6.
a. Pr�ciser un �v�nement dont la probabilit� est �gale � 1-(5 /6)n.
Probabilit� qu'une personne r�ussisse l'examen  � la premi�re ou � la deux�me pr�sentation : 5 / 6.
Probabilit� que n personnes r�ussissent l'examen  � la premi�re ou � la deux�me pr�sentation : ( 5 / 6 )n.
Probabilit� qu'au moins une personne parmi n personnes choisies r�ussissent l'examen � la troisi�me pr�sentation : 1-(5 /6)n.

On consid�re la fonction Python seuil ci-dessous, o� p est un nombre r�el appartenant � ]0 ; 1 [.
def seuil(p)
n=1
while 1-(5 / 6)**n <=p
n = n+1
return n
b. Quelle est la valeur renvoy�e par la commande seuil(0,9) ? interpr�ter.
1-(5 /6)n < 0,9 ; (5 /6)n > 0,1 ; n ln(5 /6) > ln(0,1) ; n < 12,6 soit 13.
Il faut interroger 13 personnes pour que la probabilit� qu'au moins l'une d'entre elles ait r�ussi l'examen lors du troisi�me passage soit strictement sup�rieure � 0,9.

Traiter l'exercice A ou l'exercice B.

Exercice A. ( 5 points)
Sur le graphique ci-dessous, on a repr�sent� dans un rep�re orthonorm� :
- la courbe Cf rep�sentative de le fonction f d�finie et d�rivable sur ]0 ; +oo[ ;
- la tangente TA � la courbe Cf au point A de coordonn�es (1 /e ; e) ;
- la tangente TB � la courbe Cf au point B de coordonn�es (1 ; 2).
TA est parall�le � l'axe des abscisses. TB coupe l'axe des abscisses au point de coordonn�es (0 ; 3).

On note f ' la fonction d�riv�e de f.
Partie I.
1. D�terminer graphiquement les valeurs de f '(1 /e) et de f '(1).
f '(1/e) : coefficient directeur de la tangente TA, parall�le � l'axe des abscisses : f '(1/e) = 0.
f '(1) = -3 / 3 = -1 coefficient directeur de la tangente TB.
2. En d�duire une �quation de la tangente TB.
y = -x+b, TB passe au point de coordonn�es (3 ; 0) ; 0 = -3+b  ; b = 3. y = -x+3.

Partie II. On suppose que f(x) = (2+ln(x) / x.
1. Par le calcul, montrer que la courbe Cf passe par les points A et B et qu'elle coupe l'axe des abscisses en un point unique � pr�ciser.
f(1 /e) =(2+ln(1/e) / (1 /e) = e (2-ln(e)) = e (2-1) =e = yA.
f(1) =(2+ln(1) / 1 =(2+0) /1 = 2 =yB.
(2+ln(x) / x =0 ; 2 +ln(x) = 0 ; ln(x) = -2 ; x = e-2.
2. D�terminer la limite de f(x) en 0+ et en plus l'infini.
En plus l'infini 2 / x tend vers z�ro et par croissance compar�e ln(x) / x tend vers z�ro : f(x) tend vers z�ro.
En 0+, ln(x) tend vers moins l'infini et 1 / x tend vers +oo : f(x) tend vers moins l'infini.
3. Montrer que f '(x) = (-1-ln(x)) / x2.
On pose u = 2+ln(x) et v = x ; u' = 1 /x et v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 =(1-(2+ln(x) / x2 =(-1-ln(x)) / x2.
4. Dresser le tableau de variation de f.
f '(x) = 0 si x = 1 /e.
f '(x) n�gative sur ]0 : 1 /e] et f(x) est croissante.
f '(x) positive sur ]1 /e : +oo[ et f(x) est d�croissante.

5. On admet que la d�riv�e seconde de f est f "(x) =(1+2ln(x)) / x3. D�terminer le plus grand intervalle sur lequel f est convexe.
La d�riv�e seconde doit �tre positive.
(1+2ln(x)) / x3 > 0  avec x appartenant � ]0 ; +oo[.
1+2ln(x) > 0 ; ln(x) > -0,5 ; x > e-0,5.
Exercice B.
Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four � 225�C. On s'int�resse � l'�volution de la temp�rature d'une baguette apr�s sa sortie du four.
On peut mod�liser cette �volution � l'aide d'une fonction f d�finie et d�rivable sur [0 ; +oo[. f(t) repr�sente la temp�rature en �C de la baguette au bout de la dur�e t, exprim�e en heure, apr�s la sortie du four. La temp�rature de la boulangerie est 25�C.
 f est solution de l'�quation diff�rentielle y'+6y=150.
1.a Pr�ciser f(0). f(0) =225.
b. R�soudre l'�quation diff�rentielle.
Solution g�n�rale de y' +6y =0 : y =A e-6t avec A une constante.
Solution particuli�re de y'+6y=150 : y = 25�C, temp�rature de la boulangerie.
Solution g�n�rale de y'+6y=150 : f (t) = A e-6t +25.
f(0) = 225 =A +25 ; A = 200.
f(t) = 200 e-6t+25.
2. Par exp�rience, on observe que la temp�rature d'une baguette sortant du four d�cro�t et tend � se stabiliser � temp�rature ambiante.
La fonction f fournit-elle un mod�le en accord avec ces observations.
Quand t tens vers plus l'infini, e-6t tend vers z�ro et f(t) tend vers 25, temp�rature ambiante.
f '(t) =-1200e-6t n�gative, f(t) est strictement d�croissante.
La fonction f est en accord avec ces observations.
3. Montrer que f(t) = 40 admet une unique solution sur [0 ; +oo[.
200e-6t+25=40 ; e-6t = 15 / 200 =0,075 ; 6t = - ln(0,075) ; t = -ln(0,075) / 6 ~0,43 heure ou 26 minutes.
Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur temp�rature soit inf�rieure ou �gale � 40�C. On note T0 le temps d'attente minimal entre la sortie du four et la mise en  rayon.
4. D�terminer graphiquement T0.

5. On s'int�resse �la diminution, minute par minute, de la temp�rature d'une bagette � la sortie du four.
Dn d�signe la diminution de la temp�rature en �C d'une baguette entre la n-i�me et la (n+1)-i�me minute apr�s sa sortie.
Dn= f (n /60) -f((n+1) /60).
a. V�rifier que 19 est une valeur approch�e de D0 et interpr�ter.
D0= f (0) -f(1) /60) = 225-(200e-0,1+25)~19.
Lors de la premi�re minute, la temp�rature de la baguette diminue de 19�C.
b.  V�rifier que Dn = 200e-0,1n(1-e-0,1). En d�duire le sens de variation de la suite puis sa limite.
Dn =200[e-0,1n+25-(e-0,1(n+1)+25))=200 [e-0,1n-e-0,1(n+1)]=200 [e-0,1n-e-0,1n e-0,1]=200e-0,1n(1-e-0,1).
200e-0,1nest positif ; 1- e-0,1>0 ; Dn>0 ; f (n /60) > f((n+1) /60).
La suite est d�croissante.
Quand n tend vers plus l'infini, e-0,1n tend vers z�ro ; la temp�rature de la baguette de varie plus. Celle-ci a la temp�rature ambiante.


  

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