Math�matiques, bac S Antilles 2020.

Exercice 1. 6 points.
Partie A.
Louise se rend au travail avec sa voiture. Sa coll�gue Zo� ne poss�de pas de voiture. Chaque matin, Louise propose � Zo� de l'emmener. Quelle que soit la r�ponse de Zo�, Louise lui propose de la ramener le soir.
La probabilit� que Louise emm�ne Zo� le matin est 0,55.
Si Louise a emmen� Zo� le matin, la probabilit� qu'elle la ram�ne le soir est 0,7.
Si Louise n'a pas emmen� Zo� le matin, la probabilit� qu'elle la ram�ne le soir est 0,24.
On note M et S les �v�nements suivants :
M : "Louise emm�ne Zo� le matin".
S: " Louise ram�ne Zo� le soir".
1. Construire un arbre pond�r� traduisant la situation.

2. Calculer P(M n S) et traduire ce r�sultat par une phrase.
P(M n S) =0,55 x 0,7 =0,385.
La probabilit� que Louise emm�ne Zo� matin et soir est �gale � 0,385.
3. D�montrer que la probabilit� de l'�v�nement S est �gale � 0,493.
Formule des probabilit� totale.
p(S) = 0,385 +0,108 = 0,493
4. On sait que Louise a ramen� Zo� le soir. Quelle est la probabilit� qu'elle ait emmen�e le matin ?
P_S(M) =P(S n M) / P(S) =0,385 / 0,493 =0,781.

Partie B..
Le temps de trajet de Louise, en minute, entre son domicile et son travail, peut �tre mod�lis� par une variable al�atoire X qui suit la loi normale d'esp�rance 28 et d'�cart-type 5.
1. Calculer P(X < 25).
P(X < 25) = 0,274.
2. Calculer la probabilit� que le temps du trajet soit compris entre 18 et 38 minutes.
P(X < 38) = 0,977 ; P(X < 18) = 0,023 ; P(18 < X < 38) = 0,977 -0,023 =0,954.
3. D�terminer la dur�e du trajet, arrondie � la minute, telle que P(X > d)=0,1.
P(X < d) = 0,9. La calculatrice donne d ~ 34

4. Louise a maintenant trouv� un itin�raire plus rapide. Le temps du trajet peut �tre mod�lis� par une variable al�atoire Y qui suit la loi normale d'esp�rance 26 et d'�cart-type s. On sait que P(Y > 30) =0,1. Calculer s.
P(Y < 30) =0,9.
s = 3,12.

Partie C.
L'entreprise de Louise indique que 35 % des salari�s pratiquent le covoiturage. Un sondage effectu� au sein de l'entreprise montre que sur 254 salari�s choisis au hasarsd, 82 pratiquent le covoiturage. Ce sondage remet-il en cause l'information de l'entreprise ?
n = 254 ; p = 0,35 ; [ p(1-p) / n ]^�= (0,35 x0,65 / 254)^� =0,02993.
1,96 x[ p(1-p) / n ]^�=1,96 x0,02993 ~0,05866.
0,35 -0,05866 ~0,291 ; 0,35 +0,05866 ~0,409.
Intervalle de fluctuation asymptotique � 95 % : [0,291 ; 0,409 ].
Fr�quence observ�e 82 / 254 = 0,323.
La fr�quence observ�e appartient � l'intervalle de fluctuation. Au risque de 5 %, nn ne peut pas mettre en doute l'affirmation de l'entreprise.

Exercice 2. 6 points.
Partie A.
La fonction g est d�finie sur [0 ; + oo[ par : g(x) = 1-e^-x.
1. d�terminer la lilite de cette fonction en plus l'infini.
Quand x tend vers plus l'infini e^-x tend vers z�ro et la fonction g tend vers 1.
2. Etudier les variations de la fonction g et dresser son tableau de variations.
g'(x)= e^-x, positive ; g est strictement croissante sur [0 ; + oo[

Partie B.
On consid�re la fonction f d�finie sur R par f(x) =(x-1)e^-kx +1 avec k r�el strictement positif.
On a repr�sent� la courbe C pour une certaine valeur de k.

1.a D�montrer que f '(x) = e^-kx(-kx+k+1).
On pose u = x-1 et v = e^-kx ; u' = 1 ; v' = -ke^-kx.
u'v +v'u = e^-kx-ke^-kx(x-1) =e^-kx(-kx+k+1).
b. D�montrer que l'ordonn�e du point B est �gale � g(k) ou g est la fonction d�finie dans la partie A.
Coefficient directeur de la tangente � la courbe C en A :
f '(1) =e^-k((-k+k+1) = e^-k.
Equation de cette tangente : y = e^-k x+b.
A (1 ; f(1)=1 ) appartient � la tangente.
1 = e^-k +b ; b =1-e^-k.
y = e^-k x +1-e^-k.
B( 0 ; y_B) appartient � cette tangente.
y_B = 1-e^-k= g(k).
2. D�montrer que le point B appartient au segment [OJ].
y_J = 1 ; de plus g(x) est strictement inf�rieur �1.
y_B = g(k) < 1 ; B appartient au segment [OJ].

Partie C.
On consid�re la fonction h d�finie sur R par : h(x) = (x-1)e^-2x+1.
On note C_h la courbe repr�sentative de la fonction h et d la droite d'�quation y = x.
On admet que la droite d est au dessous de C_h sur [0 ; 1 ].
Soit D le domaine du plan d�limit� par la courbe C_h, la droite d et les droites d'�quations x=0 et x = 1. Soit A l'aire de D exprim�e en unit� d'aire
1. Hachurer le domaine D et d�montrer que

Aire hachur�e = aire du domaine comprise entre la courbe C_h, l'axe des abscisses et les droites d'�quations x=0 et x=1, diminiu�e de l'aire du triangle OAI soit 0,5.

2.a. D�montrer que pour tout x r�el, h(x)-x=(1-x)(1-e^-2x).
(x-1)e^-2x+1-x=(1-x) ( 1-e^-2x).
b. On admet que, pour tout r�el x, e^-2x > 1-2x.
D�montrer que, pour tout r�el x de [0 ; 1 ], h(x)-x < 2x-2x².
-e^-2x < 2x -1 ;1 -e^-2x < 2x ;
(1-x) ( 1-e^-2x) < 2x(1-x) ; (1-x) ( 1-e^-2x) < 2x-2x².
c. En d�duire que A < 1 /3.

3. Soit H la fonction d�finie sur [0 ; 1] par H(x) = 0,25(1-2x)e^-2x+x.
On admet que H est une primitive de h sur [0 ; 1 ]. D�terminer la valeur exacte de A.
A =H(1)-H(0) -0,5.
H(1)=0,25 (-e^-2)+ 1 ; H(0)= 0,25 ;
A = -0,25 e^-2+ 1-0,25 - 0,5 = -0,25e^-2+0,25.