Math�matiques, QCM, g�om�trie, probabilit�s, bac Asie 2021.
En
poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation
de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres
d’int�r�ts.
..
..
|
.
.
|
..
..
......
...
|
QCM. Pas de justification, une seule proposition exacte.
1. On consid�re la fonction f d�finie sur R par
f (x) = (x2 −2x −1)ex .
A. La fonction d�riv�e de f est la fonction d�finie par f œ'(x) = (2x −2)ex . Faux.
u = x2-2x-1 ; v = ex ; u' = 2x-2 ; v' = ex.
u'v+v'u = (2x-2)ex+‰(x2 −2x −1Ž)ex =‰(x2 −3Ž)ex .
B. La fonction f est d�croissante sur l’intervalle ]−∞; 2]. Faux.
f '(x) > sur ]-oo ; -3�] ; f(x) est croissante sur cet intervalle ]-oo ; -3�] .
C. f(x) tend vers z�ro si x tend vers moins l'infini. Vrai.
ex tend vers z�ro si x tend vers moins l'infini.
2. On consid�re la fonction f d�finie sur R par f (x) =3 / (5+ex).
Sa courbe repr�sentative dans un rep�re admet :
A. une seule asymptote horizontale ; faux.
Quand x tend vers moins l'infini ex tend vers z�ro et f(x) tend vers 3 /5. La droite d'�quation y = 3 / 5 est asymptote � la courbe.
Quand x tend vers plus l'infini ex
tend vers plus l'infini et f(x) tend vers z�ro. La droite d'�quation y = 0
est asymptote � la courbe.
B. une asymptote horizontale et une asymptote verticale ; faux.
C. deux asymptotes horizontales. Vrai.
3. On donne
ci-dessous la courbe Cf œœ repr�sentant la fonction d�riv�e seconde f
œœ d’une fonction f d�finie et deux fois d�rivable sur l’intervalle
[−3,5 ; 6].
A. La fonction f est convexe sur l’intervalle [−3 ; 3]. Faux.
La d�riv�e seconde est positive sur [-3 ; 2] et sur [5 ; +oo[. La fonction est convexe sur ces deux intervalles.
B. La fonction f admet trois points d’inflexion. Vrai.
La d�riv�e seconde s'annule et change de signe pour x = -3 ; 2 ; 5.
C. La fonction d�riv�e f ' de f est d�croissante sur l’intervalle [0; 2]. Faux.
Sur l’intervalle [0; 2], f " est posive et f ' est croissante.
4. On consid�re la suite (un) d�finie pour tout entier naturel n par un = n2 −17n +20.
A. La suite (un) est minor�e. Vrai.
B. La suite (un) est d�croissante. Faux.
C. L’un des termes de la suite (un) est �gal � 2 021. Faux.
n2 −17n +20 = 2021.
n2-17n-2001=0.
Discriminant D = (-17)2 +4*2001=8293.
Pas de solutions appartenant � N.
5. On consid�re la suite (un) d�finie par u0 = 2 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,75un +5.
On consid�re la fonction � seuil � suivante �crite en Python :
def seuil :
u = 2
n = 0
while u < 45 :
u = 0,75*u + 5
n = n+1
return n
Cette fonction renvoie :
A. la plus petite valeur de n telle que un ⩾ 45 ; vrai.
B. la plus petite valeur de n telle que un < 45 ;
C. la plus grande valeur de n telle que un ⩾ 45.
G�om�trie.
On consid�re un pav� droit ABCDEFGH tel que AB = AD = 1 et AE = 2, repr�sent� ci- dessous.
Le point I est le milieu du segment [AE]. Le point K est le milieu du segment [DC].
N est le projet� orthogonal du point D sur le plan (AKL).
On admet que le point L a pour coordonn�es (0 ; 1 ; 1,5).
1. D�terminer les coordonn�es des vecteurs suivants.
K( 0,5 ; 1 ; 0) ; I ( 0 ; 0 ; 1).
2. a. D�montrer que le vecteur n de coordonn�es (6 ; −3 ; 2) est un vecteur normal au plan (AKL).
b. En d�duire une �quation cart�sienne du plan (AKL).
6x-3y+2z +d = 0.
A (0 : 0 : 0) appartient � ce plan, donc d = 0.
6x-3y+2z = 0.
c. D�terminer un syst�me d’�quations param�triques de la droite D passant par D et perpendiculaire au plan (AKL).
Le vecteur n (6 ; -3 ; 2) est un vecteur directeur de la droite D et D(0 ; 1 ; 0 ) appartient � cette droite.
x =6t+xD ; y = -3t +yD ; z = 2t+zD avec t r�el.
x =6t ; y = -3t +1 ; z = 2t.
d. En d�duire que
le point N de coordonn�es (18 /49 ; 40 / 49 : 6 / 49 ) est le
projet� orthogonal du point D sur le plan (AKL).
N(x ; y ; z ) appartient au plan (AKL) : 6x-3y+2z = 0.
N appartient � la droite D : x =6t ; y = -3t +1 ; z = 2t.
36t-3(-3t+1)+4t=0
49 t = 3 ; t = 3 / 49.
Par suite x = 18 / 49 ; y = -9 / 49 +1 = (-9+49) / 49 = 40 / 49 ; z = 6 / 49.
3. a. Calculer le volume du t�tra�dre ADKL en utilisant le triangle ADK comme base.
Aire du triangle AKD : AD x DK / 2 = 1 x0,5 /2 = 0,25 unit� d'aire.
Hauteur DL = 1,5.
Volume du t�tra�dre ADKL : aire du triangle AKD x DL / 3 = 0,25 x1,5 / 3 =0,125 unit�s de volume.
b. Calculer la distance du point D au plan (AKL).
DN2 = (18 / 49)2 +(40 / 49 -1)2 +(6 / 49)2 = (182 +(-9)2 +62) / 492 =(21 / 49)2.
DN = 21 / 49 = 3 / 7.
c. D�duire des questions pr�c�dentes l’aire du triangle AKL.
Volume du t�tra�dre ADKL = aire du triangle AKL x DN / 3.
Aire du triangle AKL = 3 x 0,125 x 7 / 3 = 0,875 unit� d'aire.
|
...
|
....
|
Probabilit�s.
Une soci�t� de jeu en ligne propose une nouvelle application pour smartphone nomm�e � Tickets coeurs! �.
Chaque
participant g�n�re sur son smartphone un ticket comportant une grille
de taille 3�3 sur laquelle sont plac�s trois coeurs r�partis au hasard,
comme par exemple ci-dessous.
Le ticket est gagnant si les trois coeurs sont positionn�s c�te � c�te
sur une m�me ligne, sur une m�me colonne ou sur une m�me diagonale.
1. Justifier qu’il y a exactement 84 fa�ons diff�rentes de positionner les trois coeurs sur une grille.
C93 = 9 x 8 x7 / (3 x2) =84.
2. Montrer que la probabilit� qu’un ticket soit gagnant est �gale � 2 / 21.
Nombre de cas favorables : 3 lignes + 3 colonnes + 2 diagonales soit 8.
Probabilit� d'un ticket gagnant : 8 / 84 = 2 / 21.
3. Lorsqu’un joueur g�n�re un ticket, la soci�t� pr�l�ve 1 € sur son compte en banque.
Si le ticket est gagnant, la soci�t� verse alors au joueur 5 €. Le jeu est-il favorable au joueur ?
On note G la variable al�atoire �gale au gain alg�brique d’un joueur
(c’est-�-dire la somme remport�e � laquelle on soustrait la somme
pay�e).
Loi de probabilit� de G.
G
|
5-1 = 4 (on gagne)
|
-1 ( on perd)
|
probabilit�
|
2 / 21
|
19 / 21
|
Moyenne : 8 / 21 -19 / 21 = -11 / 21.
Le jeu est d�favorable au joueur.
4.
Un joueur d�cide de g�n�rer 20 tickets sur cette application. On
suppose que les g�n�rations des tickets sont ind�pendantes entre elles.
a. Donner la loi de probabilit� de la variable al�atoire X qui compte le nombre de tickets gagnants parmi les 20 tickets g�n�r�s.
Chaque g�n�ration de ticket est ind�pendant des autresg�n�rations et deux issues sont
possibles : on gagne ou on perd.
X suit la loi binomiale de param�tres n = 20 et p = 2 / 21.
b. Calculer la probabilit�, arrondie � 10−3, de l’�v�nement (X = 5).
P(X = 5) = 0,0270.
c. Calculer la probabilit�, arrondie � 10−3, de l’�v�nement (X ⩾ 1) et interpr�ter le r�sultat dans le contexte de l’exercice.
P(X > 1) = 1-P(X=0) = 1-0,1251 = 0,865.
Sur 20 tickets, la probabilit� de gagner au moins une fois est 0,865.
|
|
