Math�matiques, �quation diff�rentielle, logarithme, bac Asie 2021. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. .. .. . . .. .. ...... ... Equation diff�rentielle, exponentielle. Dans cet exercice, on s’int�resse � la croissance du bambou Moso de taille maximale 20 m�tres. Le mod�le de croissance de Ludwig von Bertalanffy suppose que la vitesse de croissance pour un tel bambou est proportionnelle � l’�cart entre sa taille et la taille maximale. Partie I : mod�le discret Dans cette partie, on observe un bambou de taille initiale 1 m�tre. Pour tout entier naturel n, on note un la taille, en m�tre, du bambou n jours apr�s le d�but de l’observation. On a ainsi u0 = 1. Le mod�le de von Bertalanffy pour la croissance du bambou entre deux jours cons�cutifs se traduit par l’�galit� : un+1 = un +0,05(20−un) pour tout entier naturel n. 1. V�rifier que u1 = 1,95. u1 = u0 +0,05(20-1)=1+0,05 x19 =1,95. 2. a. Montrer que pour tout entier naturel n, un+1 = 0,95un +1. un+1 = un +0,05(20−un). un+1 = un +0,05 x 20−0,05un. un+1 = 0,95un +1. b. On pose pour tout entier naturel n, vn = 20−un. D�montrer que la suite (vn) est une suite g�om�trique dont on pr�cisera le terme initial v0 et la raison. vn+1 = 20−un+1. vn+1 = 20− (0,95un +1). vn+1 = 19− 0,95un . vn+1 = 0,95 x20− 0,95un . vn+1 = 0,95 x(20− un ). vn+1 = 0,95  vn . (vn) est une suite g�om�trique de raison 0,95 et de premier terme v0 =20-u0 = 19. c. En d�duire que, pour tout entier naturel n, un = 20−19�0,95n . vn = 19 x0,95n =20−un. un = 20−19�0,95n . 3. D�terminer la limite de la suite (un). -1 < 0,95 <1, donc 0,95n tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini. un tend vers 20. Partie II : mod�le continu Dans cette partie, on souhaite mod�liser la taille du m�me bambou Moso par une fonction donnant sa taille, enm�tre, en fonction du temps t exprim� en jour. D’apr�s le mod�le de von Bertalanffy, cette fonction est solution de l’�quation diff�rentielle (E) y' = 0,05(20− y) o� y d�signe une fonction de la variable t , d�finie et d�rivable sur [0 ; +∞[ et yœ d�signe sa fonction d�riv�e. Soit la fonction L d�finie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par L(t)= 20−19 e−0,05t . 1. V�rifier que la fonction L est une solution de (E) et qu’on a �galement L(0) = 1. L'(t) =19 x0,05 e−0,05t =0,95 e−0,05t . Repport dans (E) : 0,95 e−0,05t =0,05(20-20−19 e−0,05t ). 0,95 e−0,05t =0,05(20-(20−19 e−0,05t )). 0,95 e−0,05t =0,05 x19e−0,05t est v�rifi� quel que soit t. 2. On prend cette fonction L comme mod�le et on admet que, si on note L’ sa fonction d�riv�e, L’(t) repr�sente la vitesse de croissance du bambou � l’instant t. a. Comparer L'(0) et L'(5). L'(0) =0,95e0 =0,95. L'(5) =0,95e-0,05 x5 ~0,74. L'(0) ~1,3  fois L'(5). b. Calculer la limite de la fonction d�riv�e L' en +∞. L'(t) =0,95 e−0,05t . Le terme en exponentielle tend vers z�ro si le temps tend vers plus l'infini. L '(t) tend vers z�ro quand t tend vers plus l'infini. Ce r�sultat est-il en coh�rence avec la description du mod�le de croissance expos� au d�but de l’exercice ? Oui, quand le bambou atteint sa taille maximale, il ne cro�t plus ( sa vitesse de croissance est donc nulle). ... .... Logarithme. Soit la fonction f d�finie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par f (x)= x −ln(x −1). On consid�re la suite (un) de terme initial u0 = 10 et telle que un+1 = f (un) pour tout entier naturel n. Partie I : La feuille de calcul ci-dessous a permis d’obtenir des valeurs approch�es des premiers termes de la suite (un). 1. Quelle formule a �t� saisie dans la cellule B3 pour permettre de (un) par recopie vers le bas? =B2-ln(B2-1). 2. � l’aide de ces valeurs, conjecturer le sens de variation et la le calcul des valeurs approch�es limite de la suite (un). La suite (un) est d�croissante et tend vers 2,00. Partie II : On rappelle que la fonction f est d�finie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par f (x)= x −ln(x −1). 1. Calculer la limite de f(x) quand x tend vers 1. x-1 tend vers z�ro ; ln(x-1) tend vers moins l'infini. -ln(x-1) tend vers plus l'infini. 1-ln(x-1) tend vers plus l'infini quand x tend vers 1.  On admettra que f(x) tend vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini. 2. a. Soit f ' la fonction d�riv�e de f .Montrer que pour tout x ∈]1 ; +∞[, f '(x) =(x-2) / (x-1). f '(x) = 1-1/(x-1) =(x-1-1) / x-1) =(x-2) / (x-1). b. En d�duire le tableau des variations de f sur l’intervalle ]1 ; +∞[, compl�t� par les limites. c. Justifier que pour tout x ⩾ 2, f (x)⩾ 2. f(2) = 2 et f(x) est strictement croissante sur [2 ; +∞[. D'apr�s le th�or�me de la bijection, f(x) > 2 pour tout x > 2. Partie III : 1. En utilisant les r�sultats de la partie II, d�montrer par r�currence que un ⩾ 2 pour tout entier naturel n. Initialisation : u0 =10 > 2, la propri�t� est vraie au rang z�ro. H�r�dit� : la propri�t� est suppos�e vraie au rang n soit un ⩾ 2. D�montrons que un+1 > 2. un+1 = f(un) . D'apr�s la partie II, f (un) ⩾ 2, donc un+1 > 2. Conclusion : la propri�t� est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire, elle est donc vraie pour tout entier n. 2. Montrer que la suite (un) est d�croissante. un+1-un = f(un)-un =un-ln(un-1) -un = -ln(un-1). Or un-1 > 1, donc ln(un-1) > 0 et ln(un-1) < 0. un+1 < un , la suite est d�croissante. 3. En d�duire que la suite (un) est convergente. On note ℓ sa limite. La suite est d�croissante et minor�e, donc elle converge. 4. On admet que ℓ v�rifie f (ℓ) = ℓ. Donner la valeur de ℓ. l=l-ln(l-1). ln(l-1) = 0. l-1 = 1 soit l=2.

menu