Math�matiques, Brevet Am�rique du Nord 2020.

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Exercice 1. 20 points
ABC est un triangle tel que : AC = 10,4 cm, AB =4cm et BC = 9,6 cm.
Les points ALet C sont align�s.
Les points B, K et C sont align�s.
La droite (KL) est parall�le � la droite (AB). CK = 3 cm.
1. Construire la figure en laissant les traits de construction.
2. Prouver que le triangle ABC est rectangle en B.
AC2 =10,42 =108,16.
AB2 + BC2 =42 +9,62 =108,16.
D'apr�s la r�ciproque du th�or�me de Pythagore, le triangle aBC est rectangle en B.
3. Calculer la longueur CL en cm.
AB et CL sont parall�les ; A, L, C sont align�s et B, K, C sont align�s.
Relation de Thal�s : BC / CK = AC / CL ;
9,6 / 3 = 10,4 / CL ; CL = 10,4 *3 / 9,6 =3,25 cm.
4. Calculer une valeur approch�e de l'angle CAB au degr� pr�s.
sin (CAB) = BC / AC =9,6 / 10,4 ~0,923.
L'angle CAB mesure environ 67�.

Exercice 2. QCM. 15 points.
1. Si on multiplie la longueur de chaque ar�te d'un cube par 3, alors le volume du cube sera multipli� par :
3 ; 9 ; 12 ; 27.
Volume du cube = c�t� 3.
En multipliant par 3 le cot�, le volume est multipli� par 33 = 27.
2. Lorsque x = -4, x2+3x+4 est �gal � : 8 ; 0 ; -24 ; -13.
(-4)2 +3*(-4)+4 = 16-12+4=8.
3. 1 / 3 +1 /4 est �gal � :2 /7 ; 0,583 ; 7 /12 ; 1 /7.
4 / 12 +3 /12 = (3+4) / 12 = 7 /12.
4. La notation scientifique de 1 500 000 000 est :
15 10-8 ; 15 108 ; 1,5 10-9 ; 1,5 109.
1 500 000 000 = 1,5 * 1 00 000 000 = 1,5 109.
5. (x-2)*(x+2) est �gal � : x2-4 ; x2+4 ; 2x-4 ; 2x.
(x-2)*(x+2) = x2-22 = x2-4.

Exercice 3. 18 points.
1. On consid�re un carr� ABCD de centre O, partag� en 4 polygones superposables num�rot�s 1, 2, 3 et 4.

a. Quelle est l'image du polygone 1 par la sym�trie de centre O ?
Le polygone 3.
2. Quelle est l'image du polygone 4 par la rotation de centre O qui transforme le polygone 1 en polygone 2.
Rotation de centre O, de 270� ( 3 / 4 de tour) dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.
Ou rotation de centre O, de 90 � ( 1 / 4 tour),  dans le sens des aiguilles d'une montre.
Dans cette rotation l'image du polygone 4 et le polygone 1.
3. La figure ci-dessous est un pavage dont le motif de base est le carr� ABCD. Quelle transformation partant du polygone 1 permet d'obtenir le polygone 5 ?

Translation, vers la droite, de longueur AB.
3. On souhaite faire imprimer ces motifs sur un tissu rectangulaire de longueur 315 cm et de largeur 270 cm. Le tissu doit �tre enti�rement recouvert de carr�s ABCD, sans d�coupe et de sorte que le c�t� du carr� mesure un nombre entier de cm.
a. Montrer qu'on peut choisir des carr�s de 9 cm de c�t�.
315 / 9 =35 ; 270 / 9 =30.
b. Dans ce cas, combien de carr� seront imprim�s sur le tissu ?
Aire du tissu : 315 x 270 =85050 cm2.
Aire d'un carr� : 81 cm2.
Nombre de carr� : 85 050 /81 =1050.
Ou plus simplement : 30 x35 = 1050.

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 Exercice 4. (24 points)
Voici la s�rie  des temps exprim�s en secondes, et  r�alis�s par les nageuses de la finale du 100 m f�minin nage libre lors des championnats d'Europe de natation 2018.
53,23 ; 54,04 ; 53,61 ; 54,52 ; 53,35 ; 52,93 ; 54,56 ; 54,07.
1. La fran�aise C. BONNET est arriv�e troisi�me � cette finale. Quel est le temps de cette nageuse ?
52,93 ; 53,23 ; 53,35 ; 53,61 ; 54,04 ; 54,07 ; 54,52 ; 54,56.
2. Quelle est la vitesse moyenne de la nageuse ayant parcouru le 100 m en 52,93 s ?
100 / 52,93 ~1,9 m /s.
3. Comparer moyenne et m�diane de cette s�rie.
Moyenne = (52,93+ 53,23 + 53,35 + 53,61 + 54,04 + 54,07 + 54,52 + 54,56) / 8 ~53,79.
La m�diane est comprise entre 53,61 et 54,04.
Moyenne et m�diane peuvent �tre identiques.
Sur une feuille de calcul, on a report� le classement des dix premiers pays selon le nombre de m�dailles d'or toutes disciplines confondues.

4. Est-il vrai qu'� elles deux, Grande Bretagne et Italie ont obtenu autant de m�dailles d'or que la Russie ?
13 +8 =21 ; Russie : 23 > 21. C'est donc faux.
5. Est-il vrai que plus de 35 % des m�dailles remport�es par la France sont des m�dailles d'or ?
4 m�dailles d'or sur un total de 12 : 4 / 12 = 1 /3 = 0,33  (33 %). Donc, c'est faux.
6. Quelle formule a t-on pu saisir dans la cellule F2, avant qu'elle ne soit �tir�e vers le bas jusqu'� la cellule F11 ?
= SOMME(C2:E2)

Exercice 5. ( 23 points).
On dispose de deux urnes :
une urne bleue contenant trois boules bleues num�rot�es 2, 3 et 4 ;
une urne rouge contenant 4 boules rouges num�rot�es 2, 3, 4 et 5.
Les boules sont indiscernbles au toucher et ont la m�me probabilit� d'�tre tir�es.
On s'interesse � l'exp�rience al�atoire suivante :
on tire au hasard une boule bleue et on note son num�ro, puis on tire au hasard une boule rouge et on note son num�ro.
On pr�cise que le tirage (3 ; 4) est diff�rent du tirage (4 ; 3).
1. On d�finit les �v�nements suivants :
" on obtient deux nombres premiers " et " la somme des deux nombres est �gale � 12".
a. Pour cahcun des �v�nements pr�c�dents, dire s'il est possible ou impossible.
" on obtient deux nombres premiers " : (2 ; 2) ou (2 ; 3).... c'est possible.
" a somme des deux nombres est �gale � 12" ; c'est impossible ( 4+5= 9 < 12.
b. D�terminer la probabilit� de l'�v�nement " on obtient deux nombres premiers".

2
 3
 4
 5
2
 (2 ; 2) (2 ; 3) (2 ; 4) (2 ; 5)
3
 (3 ; 2) (3 ; 3)
 (3 ; 4) (3 ; 5)
4
 (4 ; 2) (4 ; 3) (4 ; 4)
 (4 ; 5)
6 cas favorables sur 12 cas possibles.
Probabilit� cherch�e : 6 / 12 =0,5.
2. Justifier que la probabilit� d'obtenir un double ( les deux boules portent le m�me num�ro) est 0,25.
3 cas favorables sur 12 cas possibles.
Probabilit� cherch�e : 3 / 12 = 0,25.
3. On souhaite simuler cette exp�rience 1000 fois.
On �crit le programme incomplet suivant :

a. Par quels nombres faut-il remplacer les lettres A, B et C ?
A = 1000 ; B = 4 ; C = 5.
b. Dans le script principal, indiquer o� placer le bloc " Tirer deux boules".
Juste apr�s l'instruction " r�p�ter A fois".
c. Dans le script principal, indiquer o� placer l'�l�ment " mettre Nombre de boules � 0".
Juste avant l'instruction " r�p�ter A fois".
d. On souhaite obtenir la fr�quence d'apparition du nombre de "doubles" obtenus.
parmi les instructions ci-dessous, laquelle faut-il placer � la fin du script principal apr�s la boucle "r�p�ter" ?
dire Nombre de doubles ; dire Nombre de doubles / 1000   vrai ; dire Nombre de doubles / 2.

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