Math�matiques,
bac S Nlle Cal�donie 02 /2020.
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Exercice 1. ( 6 points ). Partie A.
On consid�re la fonction f d�finie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par
f (x) = (ax +b)e-0,5x.
o� a et b d�signent deux nombres r�els. On admet que cette fonction est
d�rivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction d�riv�e.
Sa courbe repr�sentative Cf est trac�e ci-dessous.
Elle coupe l’axe des ordonn�es au point d’ordonn�e 1 et admet une tangente horizontale au point d’abscisse 1.
1. Donner les valeurs de f (0) et f ′(1).
f(0) = b=1 ; f ' (1) = 0, tangente horizontale.
2. D�montrer que, pour tout r�el positif x, f ′(x) =(-0,5ax-0,5b+a)e-0,5x.
On pose u = ax+b et v = e-0,5x.
u' = a ; v' = -0,5e-0,5x.
u'v +v'u = a e-0,5x-0,5(ax+b)e-0,5x=(-0,5ax-0,5b+a)e-0,5x.
3. D�terminer les valeurs de a et b.
f(0) = b=1 ; f '(1) =0 =(-0,5a-0,5b+a)e-0,5.
0 =(0,5a-0,5)e-0,5 ; a =1.
Partie B.
Pour la suite de l’exercice, on admet que la fonction f est d�finie sur [0 ; +∞[ par :
f (x) = (x +1)e-0,5x.
1. a. Justifier que, pour tout r�el x positif, f (x) = 2 (0,5x /e0,5x )+e-0,5x.
f(x) = x e-0,5x +e-0,5x = x / e0,5x +e-0,5x =2 (0,5x /e0,5x )+e-0,5x.
b. Calculer la limite de la fonction f en +∞.
En plus l'infini : e-0,5x tend vers z�ro. 0,5x /e0,5x tend �galement vers z�ro.
f(x) tend vers z�ro.
2. �tudier les variations de la fonction f sur [0 ; +∞[ et construire son tableau de variations.
f '(x) = (-0,5x+0,5)e-0,5x.
Le signe de f '(x) est celui de -0,5x+1, le terme en exponentielle �tant positif.
La d�riv�e s'annule pour x=1. f '(x) > 0 pour x <1 ( f(x) est croissante).
f '(x) < 0 pour x > 1 ( f(x) d�croissante).
3. D�montrer que l’�quation f (x) = 0,07 admet une unique solution α sur l’intervalle [0 ; +∞[.
Sur l’intervalle [0 ; 1[, f(x) est strictement croissante de 1 � 2e-0,5 ~1,213 . 0,07 n'appartient pas � [1 ; 2e-0,5 ].
Sur l’intervalle [1 ; +∞[, f(x) est strictement d�croissante de 2e-0,5 ~1,213 � 0.
0,07 n'appartient pas � [ 2e-0,5; 0 ].
4. Donner l’arrondi de α � l’unit�.
La calculatrice donne a ~ 10.
Partie C -Mod�lisation d’un tas de sable.
Dans cette partie, on consid�re que la courbe de la fonction f mod�lise le profil d’un tas de sable.
La longueur x et la hauteur f (x) sont exprim�es en m�tres.
Ainsi, le fait que f (0) = 1 signifie qu’� son extr�mit� gauche, la hauteur du tas de sable est de 1 m�tre.
On souhaite que le tas de sable soit limit� par deux murs comme indiqu� sur le sch�ma ci-dessous.
Le mur de gauche co�ncide avec l’axe des ordonn�es et le mur de droite est plac� de telle sorte
que la hauteur de sable � cet endroit est de 7 cm.
1. Pourquoi le mur de droite doit-il �tre plac� � environ 10 m�tres du mur de gauche?
7 cm = 0,07 m et f(10) ~0,07.
2. V�rifier que la fonction G d�finie sur [0; 10] par G(x) = (−2x −4)e-0,5x est une primitive de la fonction g d�finie sur [0; 10] par g (x)= x e-0,5x.
On d�rive G(x) en posant u = -2x-4 et v = e-0,5x.
u' = -2 ; v' = -0,5e-0,5x.
u'v+v'u = -2 e-0,5x-0,5(-2x-4)e-0,5x=x e-0,5x =g(x).
3. En d�duire une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0; 10].
f (x) = x e-0,5x+ e-0,5x = g(x) +e-0,5x.
Primitive de f(x) : F(x) = G(x) -2e-0,5x=(−2x −4)e-0,5x -2e-0,5x=(−2x −6)e-0,5x .
4. Pour
pouvoir cr�er un terrain de sport sur sable, on d�cide de niveler le
tas de sable, c’est �-dire de l’�taler � une m�me hauteur entre les
deux murs.
Quelle sera la hauteur du tas de sable une fois le nivellement r�alis�?
Expliquer le raisonnement et arrondir le r�sultat au centim�tre.
Surface du tas de sable : F(10)-F(0) =(−26)e-5 -(-6)= 6-26 e-5 ~5,82 m2.
Puis diviser par 10, distance des murs.
Hauteur du sable : 0,58 m.
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Exercice 2. ( 5 points)
Les probabilit�s seront arrondies si n�cessaire au milli�me.
Partie A.
Une antenne relais charg�e d’acheminer des communications est exploit�e par trois op�rateurs :
l’op�rateur A, l’op�rateur B et l’op�rateur C.
Par ailleurs, cette antenne utilise deux types de canal : le canal vocal (pour les communications t�l�phoniques) et le canal internet (pour les communications par texto ou par mail).
On dispose des donn�es suivantes :
• 40% des communications passent par l’op�rateur A;
25% des communications passent par l’op�rateur B;
• 10% des communications passant par l’op�rateur A utilisent le canal vocal ;
• 20% des communications passant par l’op�rateur B utilisent le canal vocal ;
• 20% de l’ensemble des communications utilisent le canal vocal.
On choisit une communication au hasard et on consid�re les �v�nements :
• A : � la communication passe par l’op�rateur A � ;
B : � la communication passe par l’op�rateur B � ;
• C : � la communication passe par l’op�rateur C � ;
• V : � la communication utilise le canal vocal �.
1. � l’aide des valeurs de l’�nonc�, compl�ter les branches de l’arbre pond�r�.
2. Calculer la probabilit� que la communication passe par l’op�rateur A et utilise le canal vocal.
P(A n V) =0,1 x 0,4 =0,04.
3. La communication passe par l’op�rateur C. Quelle est la probabilit� qu’elle soit achemin�e par le canal vocal ?
0,2-0,04-0,05 = 0,11.
PC(V) = 0,11 / 0,35 ~0,314.
Partie B.
Cette antenne relais couvre une zone g�ographique bien d�finie appel�e cellule. Dans cette cellule, les ressources radio sont limit�es � 350 appels simultan�s. Cela signifie qu’au-del� de 350 appels, l’antenne relais est satur�e.
Dans cette cellule, 1 600 personnes poss�dent chacune un t�l�phone mobile.
� un instant donn�, on choisit au hasard une personne parmi les 1 600 personnes de la cellule.
On admet que la probabilit� que cette personne passe un appel t�l�phonique est �gale � 0,2.
On admet en outre que les 1 600 personnes de la cellule agissent ind�pendamment les unes des autres.
On note X la variable al�atoire �gale au nombre de personnes passant un appel � un instant donn� dans cette cellule.
1. Quelle est la loi de probabilit� suivie par la variable al�atoire X ? On pr�cisera ses param�tres.
Cette exp�rience al�atoire admet deux issues : la personne t�l�phone ( probabilit� p = 0,8) ou bien elle ne t�l�phone pas.
Chaque exp�rience est r�alis�e dans les m�mes conditions.
X suit une loi binomiale de param�tres n = 1600 et p = 0,2.
2. Calculer l’esp�rance de la variable al�atoire X et interpr�ter le r�sultat.
E(X) = n p = 1600 x0,2 = 320.
En moyenne, 320 personnes passent un coup de t�l�phone.
3. Calculer la probabilit� que l’antenne ne soit pas satur�e.
Au del� de 350 appels, l'antenne est satur�e.
La probabilit� que l'antenne ne soit pas satur�e est P(X < 350) ~0,971.
Partie C.
On consid�re une autre cellule dans laquelle le nombre de personnes passant un appel t�l�phonique au m�me moment est mod�lis� par une variable al�atoire Y suivant une loi normale d’esp�rance μ = 335 et d’�cart-type σ inconnu,
1. On a constat� que, dans cette cellule, la probabilit� que l’antenne soit satur�e est 0,001 5.
On rappelle que l’antenne est satur�e lorsque le nombre de personnes passant un appel t�l�phonique au m�me moment est sup�rieur � 350.
a. On a r�alis� un croquis donnant l’allure de la courbe de la fonction densit� de la variable al�atoire Y .
Hachurer sur cette annexe le domaine correspondant � la probabilit� que l’antenne soit satur�e.
b. Justifier que la valeur de σ, arrondie � l’unit�, vaut 5.
P(Y >350) = 0,0015 ; P(Y < 350) =1-0,0015 = 0,9985.
On pose Z = (Y-335) / s.
Z suit la loi normale centr�e r�duite.
Y < 350 �quivaut � Z < 15 /s.
P (Z < 15 /s) =0,9985.
La calculatrice donne 15 /s ~2,9678 ; s ~5.
2. L’antenne dispose d’un mode � �conomie d’�nergie � qui s’active lorsque moins de 330 personnes passent un appel t�l�phonique au m�me moment. Calculer la probabilit� que l’antenne soit en mode � �conomie d’�nergie �.
P(Y < 330) ~0,159.
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Exercice3. ( 4 points)
PARTIE A
On consid�re l’�quation suivante :
ayant pour inconnue le nombre complexe z.
1. D�montrer que, pour tout nombre complexe z,
2. R�soudre dans C l’�quation (E) en donnant ses solutions sous forme alg�brique.
3. �crire toutes les solutions de l’�quation (E) sous forme exponentielle.
z-2=0 soit z1 = 2 ;z1 =2 exp(0).
PARTIE B.
Dans cette partie, on cherche � d�terminer les valeurs exactes de cos (3p/8) et sin ( 3p/8).
On munit le plan complexe d’un rep�re orthonorm� direct.
On consid�re les points A et B du plan complexe d’affixes respectives zA = 2 et zB = 2exp (i 3p/4) et I le milieu du segment [AB] d’affixe zI.
1. D�montrer que le triangle OAB est un triangle isoc�le.
OA = |zA|=2.
zB = 2exp (i 3p/4)=2 ( cos3p/4) + i sin(3p/4))= -2� +2� i.
OB = |zB|=2.
OA = OB, le triangle OAB est isoc�le.
2. D�montrer qu’une mesure de l’angle (u ; OI) est 3p/8.
3. D�terminer la forme alg�brique de l’affixe zI puis le module de zI.
I est le milieu de AB. zI = (zA+zB) / 2 =(2-2� +2� i) / 2=(1-2� / 2) + i 2� / 2.
|zI|2=(1-2� / 2)2+(2� / 2)2=2-2�.
|zI|= [2-2�]�.
4. En d�duire les valeurs exactes de de cos (3p/8) et sin ( 3p/8).
zI =|zI| exp(i3p/8)=[2-2�]� ( cos(3p/8) + i sin(3p/8) )
On identifie : cos(3p/8) =(1-2� / 2) /[2-2�]�.
sin(3p/8) =(2� / 2) /[2-2�]�.
Exercice 4 ( 5 points).
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la r�ponse.
1. On consid�re la suite (un) d�finie par
u0 = 6 et pour tout entier naturel n, un+1 =0,75un +1.
Affirmation 1 : Pour tout entier naturel n, un = 2 x 0,75n +4. Vrai.
Initialisation : u1 =0,75 u0 +1 =0,75 x 6 +1 =5,5=2x0,751+4 ; la propri�t� est vraie au rang 1.
H�r�dit� : la propri�t� est suppos�e vraie au rang p.
up = 2 x 0,75p +4.
up+1=0,75up +1 =0,75(2 x 0,75p +4) +1 =2 x0,75p+1+3+1.
Conclusion: la propri�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire ; elle est vraie pour tout entier n.
2. Soit (tn) une suite g�om�trique de premier terme t0 = 2 et de raison 0,25.
On appelle Sn la somme des n+1 premiers termes de la suite (tn) , soit Sn = t0+t1+. . .+tn.
Affirmation 2 : La suite (Sn) a pour limite +∞. Faux.
tn = t0 x0,25n=2 x 0,25n ; Sn =t0(1-qn) / (1-q) =2(1-0,25n) / (1-0,25)=8(1-0,25n) /3.
Quand n tend vers plus l'infini, 0,25n tend vers z�ro et Sn tend vers 8 /3.
3. On d�finit la suite (cn), pour tout entier naturel n non nul, par
cn = 1+cos(n) / n.
Affirmation 3 : La suite (cn) est convergente. Vrai.
-1 < cos(n) < 1 ; -1 / n < cos(n)/ n < 1/ n ; 1-1 / n < 1+cos(n)/ n < 1+1/ n ;
1-1 / n < cn < 1+1/ n ;
Quand n tend vers plus l'infini, 1 /n tend vers z�ro.
D'apr�s le th�or�me des gendarmes on peur dire que la suite cn converge vers 1.
4. Dans un rep�re orthonorm� de l’espace, on consid�re les points A(1; 2; 0) , B(3; 0; 6) , C(6 ; −1 ; 9) et D(−4 ; 4 ; −6).
Affirmation 4 : Les droites (AB) et (CD) sont s�cantes. Vrai.
Coordonn�es du vecteur AB :(3-1 ; 0-2 ; 6-0) soit (2 ; -2 ; 6).
Coordonn�es du vecteur CD :(-4-6 ; 4+1 ; -6-9) soit (-10 ; 5 ; -15).
Repr�sentation param�trique de la droite (AB) :
x = 2t+1 ; y = -2t+2 ; z = 6t avec t r�el.
Repr�sentation param�trique de la droite (CD) :
x = -10k+6 ; y =5k-1 ; z = -15k+9 avec k r�el.
Si les droites sont s�cantes : 2t+1= -10k+6 (1) ; -2t+2 = 5k-1 (2) et 6t = -15k+9 soit t = -2,5k +1,5.
Repport dans (1) : 2(-2,5k +1,5)+1= -10k+6 ; 5k = 2 soit k = 0,4 et t =0,5
Repport dans (2) : -1+2=5 x0,4 -1 =2 ; c'est vrai.
Coordonn�es du point d'intersection : 2 ; 1 ; 3.
5. L’espace est muni du rep�re orthonorm� . Soit P le plan passant par A(1; 2; 0)et de vecteur normal n (6 ; 4 ; −1).
Soit D la droite de repr�sentation param�trique
x = t +1 ; y = −t −1 ; z = 2t +3 , , t ∈ R.
Affirmation 5 : Le plan P et la droite D ne poss�dent aucun point commun. Vrai.
Equation cart�sienne du plan P : 6x+4y-z+d = 0.
A appartient � ce plan : 6+8-0+d = 0 soit d = -14.
6x+4y-z-14 = 0.
Hypoth�se : la droite et le plan se coupent :
6(t+1) +4(-t-1)-(2t+3)-14=0.
6t+6-4t-4-2t-3-14=0.
0 t-15 =0, imposible.
L'hypoth�se est fausse.
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