Math�matiques, bac S Nlle Cal�donie 02/12 /2020.

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Exercice 1. ( 5 points ).
1.On consid�re l'�quation (E) z3=4z2-8z+8 ayant pour inconnue le nombre complexe z.
a. D�montrer que, pour tout nombre complexe z :
z3-4z2+8z-8=(z-2)(z2-2z+4).
(z-2)(z2-2z+4)= z3-2z2+4z-2z2+4z-8 = z3-4z2+8z-8.
b. R�soudre (E).
z-2=0 soit z = 2.
z2-2z+4=0 ; discriminant D =(-2)2-4*4 = -12 = 12 i2 =(2i 3�)2.
z1=(2 +2i 3�) / 2 =1+i 3�.
z2=(2 -2i 3�) / 2 =1-i 3�.
c. Ecrire les solutions de (E) sous forme exponentielle.
z = 2 exp(i 2p).
Module de z1 ou de z2 : |z1|= (12+3)� = 2
z1 / |z1| =0,5 +i 3� / 2 = cos (p/3 )+ i sin (p /3 ) ; z1 = 2 exp(i p/3).
z2 / |z2| =0,5 -i 3� / 2 = cos (-p/3) + i sin (-p /3 ) ; z2 = 2 exp(-i p/3).
On muni le plan complexe d'un rep�re orthonorm� direct. Soit A, B, C et D les points d'affixes respectives :
zA = 1+i 3� ; zB = 2 ; zC = 1-i 3� ; zD=1.
Ces quatre points sont reprsent�s dans la figure ci-dessous.

 2. Quelle est la nature du quadrilat�re OABC ? Justifier.
A(1 ; 3�) ; B(2 ; 0) ; C(1 ; -3�).
OA =(1+3)� = 2 ; OC=(1+3)� = 2 ; AB=( 1+(3�)2)� = 2 ; BC=( 1+(-3�)2)� = 2.
Les quatre c�t�s du quadrilat�re OABC sont �gaux.

Le quadrilat�re OABC est un losange.
3. Soit M le point d'affixe zM = 7 / 4 +i 3� / 4.
a. D�montrer que les points A, M et B sont align�s.

b. D�montrer que le triangle DMB est rectangle.


Exercice 2. 5 points.
Le pha�ton est un oiseau des r�gions intertropicales
1. Lorsque le pha�ton � bec rouge vit dans un environnement pollu�, sa dur�e de vie en ann�es, est mod�lis�e par une variable al�atoire X suivant une loi normale d'esp�rance � inconnue et d'�cart type s = 0,95.
a. On consid�re la variable al�atoire Y = (X-�) / 0,95.
Donner sans justification la loi suivie par Y.
Y suit la loi normale centr�e r�duite N(0 ; 1).
b. On sait que P(X > 4) =0,146.
D�montrer que �=3.
P(X-� > 4 -�) = 0,146 ; P((X-�) / 0,95 > (4 -�) / 0,95) = 0,146.
P(Y > (4 -�) / 0,95) = 0,146.
1- P(Y < (4 -�) / 0,95) = 1-0,146 = 0,854.
La calculatrice donne (4 -�) / 0,95 =1,053 ; 4-� =1 ; � = 3.

 2. Lorsque le pha�ton � bec rouge vit dans un environnement sain, sa dur�e de vie, en ann�e, est mod�lis�e par une variable al�atoire Z. Les courbes des fonctions de densit� associ�es aux lois de X et de Z sont repr�sent�es.
a. Quelle est la courbe de la fonction de densit� associ�e � X ? Justifier.
X suit la loi normale d'esp�rance � = 3 : courbe en forme de chloche sym�trique par rapport � la droite verticale d'�quation �=3.
b. Hachurer la zone du plan correspondant � P(Z > 4).

On admettra par la suite que  P(Z > 4) = 0,677.

3. Une �tude statistique portant sur une r�gion donn�e, a permis d'�tablir que 30 % des pha�tons � bec rouge vivent dans un environnement pollu� ; les autres vivent dan un environnement sain.
On choisit au hasard un pha�ton � bec rouge vivant dans la r�gion donn�e. On consid�re les �v�nements suivants :
S : le pha�ton � bec rouge choisi vit dans un environnement sain.
V : le pha�ton � bec rouge choisi a une dur�e de vie d'au moins 4 ans.
a. Compl�ter l'arbre pond�r� suivant.
b. D�terminer P(V).

c. Sachant que le pha�ton � bec rouge a une dur�e de vie d'au moins 4 ans, quelle est la probabilit� qu'il vive dans un environnement sain ?
PV(S) =P(S n V) / P(V) = 0,4739 / 0,512 ~0,926.

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Exercice 3. ( 5 points).

Partie A.

Soit g la fonction d�finie sur l'ensemble des nombres r�els par : g(x) =x2+x+0,25+4 /(1+ex)2.

On admet que la fonction g est d�rivable et on note g' sa d�riv�e.
1. D�terminer les limites de g en +oo et -oo.
En plus l'infini : 4 /(1+ex)2 tend vers z�ro et g(x) tend vers plus l'infini.
En moins l'infini : ex tend vers z�ro ; 4 /(1+ex)2 tend vers 4 et g(x) tend vers plus l'infini.
2. On admet que la fonction g' est strictement croissante sur R et que g'(0)=0.
D�terminer le signe de g'(x) sur R.
Sur ]-oo ; 0 ] ; g'(x) est n�gative ; sur [ 0 ; +oo ] ; g'(x) est positive.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction g et calculer le minimum de la fonction g sur R.


Partie B.
Soit f la fonction d�finie sur R par f(x) = 3-2 /(1+ex). On d�ssigne par C sa courbe repr�sentative repr�sent�e ci-dessous.


Soit A le point de coordonn�es (-0,5 ; 3).
1. D�montrer que le point B (0 ; 2) appartient � C..
f(0) =3-2 / (1+e0) = 3-2 /(1+1) = 2 = yB.
2. Soit x un r�el quelconque. On note M le point de la courbe C de coordonn�es (x ; f(x)). D�montrer que AM2 = g(x).
AM2 =(xM-xA)2+(yM-yA)2=(x+0,5)2+(f(x)-3)2=x2+x+0,25+f(x)2+9-6f(x).
f(x)2 =9+4 /(1+ex)2-12/(1+ex).
AM2 =x2+x+0,25+9+4 /(1+ex)2-12/(1+ex) +9 -18+12 /(1+ex).
AM2 =x2+x+0,25+4 /(1+ex)2 = g(x).
3. On admet que la distance AM est minimale si et seulement si AM2 est minimal.
D�terminer les coordonn�es du point de la courbe C tel que la distance AM est minimale.
AM2 est minimale pour g'(x) = 0 soit x = 0.
f(0) =2 ; M(x ; 2).
4. On admet que la fonction f est d�rivable sur R et on note f ' sa fonction d�riv�e.
a. Calculer f '(x).
On pose u = 1+ex ; u' = ex ; -u'/u2 =ex/(1+ex)2 ; f '(x) = 2ex/(1+ex)2 .
b. Soit T la tangente � la courbe C au point B. D�montrer que l'�quation r�duite de T est y = 0,5x+2.
Coefficient directeur de T : f '(0) =2 /(1+1)2 = 0,5.
y = 0,5 x+b ; B(0 ; 2) appartient � T d'o� 2=b.
5. D�montrer que la droite T est perpendiculaire � la droite (AB).
 


Exercice 4. ( 5 points)
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant.
Affirmation 1. L'�quation (3ln(x)-5)(ex+4)=0 admet exactement deux solutions r�elles. Faux.
ex+4=0 n'a pas de solution r�elle, ex �tant toujours positif.
3ln(x)-5=0 ; ln(x) = 5 /3 ; x = e5/3.

2. On consid�re la suite (un) d�finie par u0=2 et un+1=2un-5n+6.
Affirmation 2. Pour tout entier naturel n, un = 3*2n+5n-1. Vrai.
Initialisation : u1 =2u0-5*0+6=4+6=10 ; 3*2n+5n-1=3*2+5-1=10.
La propri�t� est vraie au rang 1.
H�r�dit� : la propri�t� est suppos�e vraie au rang n. un = 3*2n+5n-1.
un+1=2(3*2n+5n-1)-5n+6=3*2n+1+10n-2-5n+6=3*2n+1+5n+4 = 3*2n+1+5(n+1)-1.
La propri�t� est  vraie au rang n+1.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire, elle est donc vrai pour tout n entier naturel.

3. On consid�re la suite (un) d�finie par un = n2+�. Faux.
Affirmation 3. La suite est g�om�trique.
un+1 = (n+1)2+� =n2+2n+1+� =n2+2n+1,5.
un+1  / un =(n2+2n+1,5) / (n2+� ) diff�re d'une constante.


4. Dans un rep�re de l'espace, soit d la droite passant par le point A(-3 ; 7 ; -12) et de vecteur directeur

Soit d' la droite ayant pour repr�sentation param�trique x=2t-1 ; y = -4t+3 ; z = 10t-2, avec t r�el.
Affirmation 4. les droites d et d' sont confondues. Vrai.
Coordonn�es d'un vecteur directeur de la droite d' ( 2 ; -4 ; 10) soit 2*(1 ; -2 ; 5).
Les deux droites sont parall�les.
Dans l'hypoth�se o� A appartient � d' ?
xA=2t-1= -3 soit t = -1.
 y = -4*(-1)+3 =7 = yA.
z = 10*(-1)-2 = -12 = zA.
L'hypoth�se est vraie.


5. On consid�re un cube ABCDEFGH. L'espace est muni d'un rep�re orthonorm�.

Une repr�sentation param�trique de la droite (AG) est x=t ; y = t ; z=t avec t r�el.
On consid�re un point M de la droite (AG).
Affirmation 5. Il y a exactement deux positions du point M sur la droite (AG) telles que les droites (MB) et (MD) soient orthogonales. Vrai.


  

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