Math�matiques, fonctions, suite, g�om�trie, bac Centres �trangers 2021.

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Exercice 1, QCM ( 5 points).
Question 1.
Soit la fonction g d�finie sur ] 0 ; +oo[ par : g(x) = x2+2x-3 / x.
Une �quation de la tangente � la courbe  repr�sentative de g au point d'abscisse 1 est :
y = 7(x-1) vrai.; y = x-1 ; y =7x+7 ; y = x+1.
D�riv�e g'(x) = 2x+2+3/x2.
Coefficient directeur de la tangente : g'(1) =7.
Le point de coordonn�e (1 ; g(1) =0 appartient � la tangente.
Equation cherch�e : y = 7x+b ;
0 = 7 +b ; b = -7.

Question 2.
On consid�re la suite (vn) par vn = 3n /(n+2). La limite de cette suite en plus l'infini est :
1 ; 3 vrai ; 1,5 ; on ne peut pas la d�terminer.
Mettre n en facteur commun au d�nominateur et au num�rateur.
3n / (n(1+2 / n).
Simplifier par n : 3 /(1+2 / n).
2 / n tend vers z�ro quand n tend vers plus l'infini et vn tend vers 3.

Question 3.
Une urne contient 6 boules noires et 4 boules rouges. On effectue successivement 10 tirages al�atoires avec remise. Quelle est la probabilit� d'avoir 4 boules noires et 6 boules rouges ?
0,1662 : 0,4 ; 0,1115 vrai ; 0,8886.
Soit l'�v�nement " on tire une boule rouge", de probabilit� 0,4.
Soit X la variable al�atoire associ�e au nombre de boules rouges tir�es.
X suit la loi binomiale de param�tres n = 10 ; p = 0,4.
P(X = 6) = 0,1115.

Question 4. On consid�re la fonction f  d�finie sur R par f(x) = 3ex-x.

La limite de f en plus l'infini est :
3 ; +oo vrai ; -oo ; on ne peut pas d�terminer cette limite.
f(x) = ex(1-x / ex).
Par croissance compar�e, x / ex tend vers z�ro si x tend vers plus l'infini.

Question 5.
Un code inconnu est constitu� de 8 signes. Chaque signe peut �tre une lettre ou un chifftre. Il y a donc 36 signes utilisables pour chacune des positions. Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde.
En combien de temps maximum ce logiciel peut-il d�couvrir ce code ?
0,3 s ; 8 heures vrai ; environ 3 heures ; environ 470 heures.
368  / 108 =2,8 104 s soit environ 8 heures.

Exercice 2. 5 points.
Au premier janvier 2020, la centrale solaire Big Sun poss�dait 10560 pannneaux solaires. On observe chaque ann�e, que 2 % des panneaux se sont d�t�rior�s et n�cessitent d'�tre retir�s tandis que 250 nouveaux panneaux solaires sont install�s.
On mod�lise l'�volution du nombre de panneaux solaires par la suite (un) d�finie par u0 = 10560 et un+1 =0,98 un +250.
1.a. Expliquer en quoi cette mod�lisation correspond � la situation �tudi�e.

Chaque ann�e, 2 % des panneaux sont retir�s: sur 100 panneaux, il en reste 98.
On installe de plus 250 nouveaux panneaux par an.
b. On souhaite savoir au bout de combien d'ann�es le nombre de panneaux solaires sera strictement sup�rieur � 12 000. Donner la r�ponse � ce probl�me � l'aide de la calulatrice.
La calculatrice donne n = 68. ( 1er janvier 2088 ).
c. Recopier et compl�ter le programme en Python ci-dessous de sorte que la valeur  cherch�e � la question pr�c�dente soit stock�e dans la variable n � l'issue de l'ex�cution de ce dernier.
u = 10560
n=0
while u < 12000 :
u = u*0,98 +250
n = n+1.
2. D�montrer par r�currence que un < 12500.
Initialisation : u0 = 10560 ; la propri�t� est vraie au rang z�ro.
H�r�dit� : la propri�t� est suppos�e vraie au rang n : un < 12500.
un+1 =
0,98 un +250.
un+1 < 0,98 *12500 +250 ; un+1 < 12500.
La propri�t� est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire, elle est donc vraie pour tout n.
3. D�montrer que cette suite est croissante.
un+1 -un=0,98 un +250 -un =250 -0,02 un.
un < 12500 ; 0,02 un < 12500 x0,02 ; un < 250
250 -0,02 un > 0.
un+1 -un>0 , la suite est croissante.
4.
En d�duire que cette suite converge, sans calculer sa limite.
La suite est croissante et major�e, donc elle converge.
5. On d�finit la suite (vn) par vn = un -12500.
a. D�montrer que (vn) est g�om�trique de raison 0,98 dont on d�terminera le premier terme.
vn+1 = un+1 -12500.
un+1 =0,98 un +250.
vn+1 = 0,98 un-12500 +250 = 0,98 un -12250.
vn+1 =0,98 (un-12500) =0,98 vn.
v0 = u0-12500 =10 560-12 500= -1940.
b. Exprimer vn en fonction de n.
vn = -1940 x 0,98n.
c. En d�duire un en fonction de n.
un = vn +12500 =12500-1940 x0,98n.
d. D�terminer la limite de la suite (un) et interpr�ter.
-1 < 0,98 < 1, donc 0,98n tend vers z�ro quand n tend vers plus l'infini.
La suite (un)
tend vers 12500.
Au bout d'un temps suffisamment long, le nombre de panneaux sera �gal � 12500.

Mod�lisation � l'aide d'une fonction.
Le nombre de panneaux solaires peut �tre estim� par la fonction  f d�finie sur [0 ; +oo[ par  f(x) = 12500-500e-0,02x+1,4 o� x repr�sente le nombre d'ann�es �coul�es depuis le 1er janvier 2020.
1. Etudier le sens de variation de cette fonction.
f '(x) = -500 x(-0,02)
e-0,02x+1,4 = 10e-0,02x+1,4 .
f '(x) est strictement positive ; la fonction f(x) est strictement
croissante.
2. D�terminer la limite de la fonction f en plus l'infini.
Le terme en exponentielle tend vers z�ro et f(x) tend vers 12500.
3. Avec ce mod�le, au bout de combien d'ann�es le nombre de panneaux solaires d�passera 12000.
12500-500e-0,02x+1,4 =12 000.
500 = 500
e-0,02x+1,4  ; 1 = e-0,02x+1,4  ; ln(1 ) =-0,02x+1,4.
0 = -0,02x+1,4 : x = 1,4 / 0,02 =70.

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Exercice 3. (5 points)

Partie A. Dans cette partie a = 2 /3.
1. Donner les coordonn�es des points F, I et J.

F(1 ; 0 ; 1) ;
I est le centre de la face ADHE : I(0 ; 0,5 : 0,5).
J( 1 ; 1 ; a) soit (1 ; 1 ; 2/3)

2. D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite  (d).
Coordonn�es du vecteur FJ : ( 0 ; 1 ; a-1) soit (0 ; 1 ; -1/3).
Repr�sentation param�trique de la droite (d) :
x = xI =0 : y = t+yI = t+ 0,5 : z = -t/3+zI = -t/3+0,5 avec t r�el.
3.a Montrer que les coordonn�es du point K sont (0 ; 0 ; 2/3).
K appartient � (AE); K( 0 ; 0 ; zK).
K appartient � (d) : xK=0 ; yK=0=t+0,5 soit t = -0,5 : zK = 1/ 6 +1 /2 = 4 /6 = 2 /3.
b. D�terminer les coordonn�es du point L.
Coordonn�es du vecteur DH : ( 0 ; 0 ; 1).
Repr�sentation param�trique de la droite (DH) :
x = xD =0 : y = yD = 1 ; z = t'+zD = t' avec t r�el.
L appartient � DH : xL =0 ; yL = 1 ; zL = t'.
L appartient � (d) : 1=t+0,5 soit t = 0,5 ; zL = -1/6+1/2=1/3.
L( 0 ; 1 ; 1/3).
4.a D�montrer que le quadrilat�re FJLK est un parall�logramme.
FJ =(12 +(-1/3)2) =(10/9) = 10 / 3.
KL =(12 +(-1/3)2) =(10/9) = 10 / 3.
KF =(12 +(1/3)2) =(10/9) = 10 / 3.
LJ =(12 +(-1/3)2) =(10/9) = 10 / 3.
Les c�t�s oppos�s ayant m�me mesure,
le quadrilat�re FJLK est un parall�logramme.
b. D�montrer que le quadrilat�re FJLK est un losange.
Les 4 c�t�s ayant m�me mesure, le quadrilat�re FJLK est un losange.
c. Le quadrilat�re FJLK est-il un carr� ?
Coordonn�es du vecteur KL : ( 0 ; 1 ; -1/3).
Coordonn�es du vecteur LJ : ( 1 ; 0 ; 1/3).
Le produit scalaire de ces deux vecteurs n'�tant pas nul, l
e quadrilat�re FJLK n'est pas un carr�.

Partie B. Cas g�n�ral.
On admet :K(0 ; 0 ; 1-0,5a) ; L(0 ; 1 ; 0,5a).
1. D�terminer les coordonn�es de J en fonction de a.
J(1 ; 1 ; a). F(1 ; 0 ; 1) ;
2. D�montrer que le quadrilat�re FJLK est un parall�logramme.
FJ =(12 +(a-1)2) =(a2-2a+2) .
KL =(12 +(1-a)2) =(a2-2a+2).
KF =(12 +(0,5a)2) =(1+0,25a2) .
LJ =(12 +(0,5a)2) =(1+0,25a2) .
Les c�t�s oppos�s ayant m�me mesure,
le quadrilat�re FJLK est un parall�logramme.
3. Existe-t-il des valeurs de a telles que le quadrilat�re FJLK soit un losange ? Justifier.
Deux c�t�s cons�cutifs de ce parall�logramme doivent avoir m�me mesure.
a2-2a+2 = 1+0,25a2.
0,75 a2-2a+1 = 0.
Discriminant D =(-2)2 -4*0,75 = 1
Solutions : a =(2-1)/ 1,5 = 2 /3.
a = (2+1) / 1,5 =2, impossible a est compris entre 0 et 1.
4. Existe-t-il des valeurs de a telles que le quadrilat�re FJLK soit un carr� ? Justifier.
D'apr�s la question 4. c de la partie A, la r�ponse est non.



  
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