Math�matiques,
fonctions, suite, g�om�trie, bac Centres �trangers 2021.
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Exercice 1, QCM ( 5 points).
Question 1.
Soit la fonction f d�finie sur R par : f(x) = x e-2x.
Quel que soit le r�el x, f ''(x) est �gale � :
(1-2x)e-2x ; 4(x-1)e-2x vrai ; 4 e-2x ; (x+2)e-2x.
Calcul de f '(x) en posant u = x ; v = e-2x ; u' = 1 ; v' = -2e-2x.
u'v+v'u = e-2x -2xe-2x = e-2x(1-2x).
Calcul de f ''(x) en posant u = 1-2x ; v = e-2x ; u' = -2 ; v' = -2e-2x.
u'v+v'u = -2e-2x -2(1-2x) e-2x = e-2x(-4+4x) =4(x-1)e-2x.
Question 2.
Un �l�ve choisit trois sp�cialit�s parmi les 12 propos�es. Le nombre de combinaisons possibles est :
1728 ; 1320 ; 220 vrai ; 33.
12 x 11 x10 /(1 x2 x3 ) =220.
Question 3.
On
donne la repr�sentation graphique de f ' fonction d�riv�e d'une
fonction f d�finie ur [0 ; 7]. Le tableau de variation de f est :
Question 4.
Une entreprise fabrique des cartes � puces Chaque puce peut pr�senter deux d�fauts not�s A et B.
2,8 % des puces ont le d�faut A, 2,2 % ont le d�faut B et 95,4 % des puces n'ont aucun d�faut.
La probabilit� qu'une puce pr�lev�e au hasard ait les deux d�fauts est :
0,05 ; 0,004 vrai ; 0,046 ; on ne peut pas le savoir.
Question 5.
On se donne une fonction f, suppos�e d�rivable sur R et on note f ' sa d�riv�e. On donne le tableau de variation de f.
f ' est positive sur R.
f ' est positive sur ]-oo ; -1]. Vrai ( f est croissante).
f ' est n�gative sur R.
f ' est positive sur [-1 ; +oo[.
Exercice 2. 5 points.
Les
utilisateurs r�guliers de transport en commun repr�sentent 17 %
de la population fran�aise. Parmi eux, 32 % sont des jeunes �g�s de 18
� 24 ans.
Partie A.
On interroge une personne au hasard et on note :
- l'�v�nement R : la personne interrog�e utilise r�guli�rement ces transports ;
- l'�v�nement J : la paersonne est �g�e de 18 � 24 ans.
1. Repr�senter la situation � l'aide d'un arbre pond�r�.
2. Calculer P(R n J).
0,17 x0,32 =0,0544.
3. Les jeunes de
18 � 24 ans repr�sentent 11 % de la population fran�aise. Montrer que
la probabilit� que la personne interrog�e soit un jeune de 18 � 24 ans
n'utilisant pas r�guli�rement les transports en commun est 0,056.
0,11 -0,054 = 0,056.
4. En d�duire la proportion de jeunes de 18 � 24 ans parmi les utilisateurs non r�guliers des transports en commun.
Pnon R (J) = p( non R n J) / P(non R) =0,056 / 0,83=0,0674.
Partie B.
Un recenseur interroge au hasard 50 personnes en une journ�e sur leur
pratique des transports en commun. Ce recensement est assimil� � un
tirage avec remise.
Soit X la variable al�atoire d�nombrant les personnes utilisant
r�guli�rement les transports en commun parmi les 50 personnes
interrog�es.
1. D�terminer en justifiant la loi de X et pr�ciser ses param�tres.
On choisit 50 personnes de mani�re ind�pendante. Deux issues sont possibles " la personne prend ces transports " ou" la personne ne prend pas ces transports".
On r�p�te 50 fois une �preuve de Bernoulli.
X suit une loi binomiale de param�tre n =50 ; p = 0,17.
2. Calculer P(X=5) et interpr�ter.
P(X=5) =0,0687.
Parmi 50 personnes interrog�es, la probabilit� que 5 personnes prennent les transports en commun est 0,0687.
3.
Le recenseur indique qu'il y a plus de 95 % de chance pour que parmi
les 50 personnes interrog�es, moins de 13 d'entre elles utilisent
r�guli�rement les transports en commun. Cette affirmation est-elle
vraie ? Justifier.
P(X < 13) = 0,964.
Cette valeur �tant sup�rieure � 0,95,l'affirmation est vraie.
4. Quel est le nombre moyen de personnes utilisant r�guli�rement les transports en commun parmi les 50 personnes interrog�es ?
E(X) = n p = 50 x 0,17 =8,5. ( ~ 9 personnes).
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Exercice 3. (5 points)
Une
entreprise de 5000 personnes propose le t�l�travail. En mai 2020, seuls
200 d'entre eux ont choisi le t�l�travail. Chaque moins, depuis la mise
en place de cette mesure, 85 % des personnes qui avaient choisi le
t�l�travail le mois pr�c�dent d�cident de continuer. Chaque mois 450
personnes suppl�mentaires choisissent le t�l�travail.
On mod�lise le nombre de personnes en t�l�travail par la suite (an). Ainsi a0 = 200.
Partie A.
1. Calculer a1.
a1 = 0,85 a0 +450 = 0,85 x200 +450 =620.
2. Justifier que an+1 = 0,85 an+450.
85
% des personnes qui avaient choisi le t�l�travail le mois pr�c�dent
d�cident de continuer, c'est � dire 0,85 an.
. De plus chaque mois 450 personnes suppl�mentaires
choisissent le t�l�travail.
3. On consid�re la suite (vn) d�finie par : vn = an-3000.
a. Montrer qu'il s'agit d'une suite g�om�trique de raison0,85.
vn+1 = an+1 -3000.
an+1 = 0,85 an+450.
vn+1 =0,85 an+450-3000 = 0,85 an -2550 =0,85(an-3000) = 0,85 vn.
b. Exprimer vn en fonction de n.
vn = v0 0,85n.
v0 = a0-3000 = 200-3000 = -2800.
vn = -2800 x 0,85n
c En d�duire que an = -2800 x 0,85n +3000.
an =vn+3000 =-2800 x 0,85n +3000.
4. D�terminer le nombre de mois au bout duquel le nombre de t�l�travailleurs sera strictement sup�rieur � 2500.
-2800 x 0,85n +3000 > 2500.
2800 x 0,85n < 500.
0,85n < 5 /28 ; n ln(0,85) < ln(5 /28) ;
-0,1625 n < -1,723 ; n > 10,6 ( soit 11 mois).
Partie B.
Le nombre de personnes satisfaites par ce dispositif est mod�lis� par la suite (un) telle que : u0 = 1 et un+1=(5un+4) / (un+2)
un : nombre de milliers de personnes satisfaites de cette mesure au bout de n mois.
1. D�montrer que la fonction f d�finie sur [0 ; +oo[ par f(x) = (5x+4) /(x+2) est strictement croissante.
Calcul de f '(x) en posant u = 5x+4 et v = x+2 ; u' = 5 ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 =( (5(x+2)-(5x+4)) / (x+2)2=6 / (x+2)2.
f '(x) �tant strictement positive, f(x) est strictement croissante.
2.a. D�montrer par r�currence que 0 < un < un+1 < 4.
Initialisation : 0 < 1 < u1 < 3 est vraie.
H�r�dit� : la propri�t� est suppos�e vraie au rang n, c'est � dire : 0 < un < un+1 < 4.
La fonction f �tant strictement croissante et positive sur [0 ; +oo[ et de plus la fonction tend vers f(4) = 5 quand x tend vers plus l'infini.
f(0) < f(un )< f(un+1 )< f(5).
f(0) < un+1 < un+2 < f(5).
2 < un+1 < un+2 < 4.
0 < un+1 < un+2 < 4.
La propri�t� est donc vraie au rang n+1.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire, elle est vraie pour tout entier naturel n.
b. Justifier que cette suite converge.
La suite est croissante et major�e, donc elle converge.
3. On admet que 0 < 4-un < 3 x0,5n.
En d�duire la limite de (un) et interpr�ter.
Quand n tend vers plus l'infini, 0,5n tend vers 0.
0 < 4-un < 0.
D'apr�s le th�or�me des gendarmes, un tend vers 4.
Au bout d'un temps suffisamment long, 4000 personnes sont satisfaites.
Exercice 4.
Dans un rep�re orthonorm� de l'espace, on consid�re les points :
A(2 ; -1 ; 0) ; B(3 ; -1 ; 2) ; C(0 ; 4 ; 1) et S(0 ; 1 ; 4).
1. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
AB2 = (3-2)2 +(-1+1)2 +(2-0)2) = 5.
AC2 =(0-2)2 +(4+1)2 +(1-0)2) = 30.
BC2 =(0-3)2 +(4+1)2 +(1-2)2) = 35.
BC2 = AB2 + AC2.
D'apr�s la r�ciproque du th�or�me de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
2.a. Montrer que le vecteur de coordonn�es (2 ; 1 ; -1) est orthogonal au plan (ABC).
b. En d�duire une �quation cart�sienne de ce plan.
2x+y-z+d=0.
A appartient � ce plan : 2*2-1+0+d=0 soit d = -3.
2x+y-z-3=0.
c. Montrer que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.
Si S appartient au plan (ABC) : 2xS+yS-zS-3 = 0.
2*0+1-4-3 = -6, diff�rent de z�ro.
Donc S n'appartient pas au plan (ABC).
3. Soit (d) la droite orthogonale au plan(ABC) passant par S. Elle coupe le plan(ABC) en H.
a. D�terminer une repr�sentation param�trique de cette droite (d).
Le vecteur de coordonn�es (2 ; 1 ; -1) est un vecteur directeur de (d) et de plus S appartient � cette droite :
x =2t+xS ; y = t+yS ; z = -t+zS avec t r�el.
x = 2t ; y =t+1 ; z = -t+4.
b. Montrer que les coordonn�es du point H sont H(2 ; 2 ; 3).
H appartient au plan (ABC) : 2xH+yH-zH-3=0.
H appartient � la droite (d) : xH = 2t ; yH =t+1 ; zH = -t+4.
4t+t+1+t-4-3 = 0 ; t = 1.
H(2 ; 2 ; 3).
4. Calculer le volume du t�tra�dre SABC.
Aire du triangle ABC : AB x AC / 2 = (5 x30)� / 2 = 2,5 x 6�.
Hauteur du t�tra�dre SH =((2-0)2+(2-1)2+(3-4)2)� =6�.
Volume du t�tra�dre SABC ; aire de base x hauteur / 3 =2,5 x 6�x6�/3 = 5 unit�s de volume.
5.a Calculer SA.
SA2 =(2-0)2+(-1-1)2 +(0-4)2 =24 ; SA = 2 x 6�.
b. On indique que SB = 17 �.
En d�duire une mesure de l'angle ASB approch�e au dixi�me de degr�.
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