Les
supercondensateurs, bac Centres �trangers 2021.
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1.
Comparer la valeur de la capacit� du supercondensateur �tudi� aux
valeurs usuelles des capacit�s des condensateurs utilis�s au lyc�e ou
en �lectronique.
Capacit� d'un supercondensateur : 400 F.
Capacit� d'un condensateur utilis� en �lectronique : tr�s inf�rieure � 1 F.
La valeur de la capacit� d'un condensateur plan est : C = e S / d.
S : surface des armatures en regard ; d : distance des armatures ; caract�riqtique de l'isolant plac� entre les armatures.
2. Justifier qualitativement le texte suivant.
Si des condensateurs classiques �taient utilis�s � la place des
supercondensateurs, il faudrait des armatures de tr�s grande surface et
tr�s rapproch�es, s�par�es par un excellent di�lectrique.
La capacit� d'un condensateur est proportionnelle � la surface des
armatures et inversement proportionnelle � la distance qui les s�pare.
Etude du mod�le du circuit RC s�rie.
On consid�re le circuit �lectrique sch�matis� ci-dessous compos� d'une
source id�ale de tension E, d'in interrupteur K, d'un conducteur
ohmique de r�sistance R, du supercondensateur de capacit� C et d'un
amp�rem�tre de r�sistance interne n�gligeable. ( la tension aux bornes
de l'amp�rem�tre est consid�r�e comme nulle).
Le supercondensateur esst initialement d�charg�. A l'instant t=0, on ferme l'interrupteur.
3. Donner la
relation entre l'intensit� i(t) et la d�riv�e de la charge q(t)
port�e par l'armature A, puis la relation entre i(t), la capacit� et la
d�riv�e de la tension uC(t) aux bornes du supercondensateur.
i(t) = dq(t) / dt.
q = Cuc(t) ; i(t) = Cduc(t) / dt.
4. Montrer que l'�quation diff�rentielle r�gissant la tension uc(t) est de la forme :
duc(t) / dt + 1 /t uc(t) = E / t.
Exprimer t en fonction de R et C.
Additivit� des tensions :E = Ri(t) + uc(t).
E = RCduc(t) / dt +uc(t).
On pose t = RC.
duc(t) / dt + 1 /t uc(t) = E / t.
5. duc(t) / dt + 1 /t uc(t) = E / t.v�rifier que les solutions de cette �quation sont de la forme :
uc(t) = A e-t / t +E.
Donner l'expression de A.
On d�rive : duc(t) / dt =-A / t e-t / t ; repport dans l'�quation diff�rentielle :
-A / t e-t / t +A / t e-t / t +E = E est v�rifi�e quel que soit t.
A t=0, uc(0) = 0 : 0 = A+E ; A = -E.
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Etude exp�rimentale et d�termination de la valeur de la capacit�.
On utilise le montage pr�c�dent avec E = 2,5 V et R = 2,0 ohms.
On r�alise le suivi temporel de la tension aux bornes du condensateur durant sa charge.
6. D�terminer la capacit� C1 du supercondensateur.
RC1 = 1000 ; C1 = 1000 / R = 1000 / 2,0 = 5,0 102 F.
Apr�s 10 ex�cutions d'un programme python, on obtient pour le temps caract�ristique t, la s�rie de valeurs suivantes exprim�es en ms.
811614 ; 818076 ; 810301 ; 818526 ; 812067 ; 811327 : 813109 ; 817838 ; 819474.
Moyenne de la s�rie : 814,2827 s ; incertitude-type 1,175 s.
7. Ecrire de mani�re appropri�e le r�sultat de la mesure du temps caract�ristique et de son incertitude.
t =( 814 �1) s.
On estime u(R) = 0,1 ohm
u(C) = C ( (uR / R)2 +(u(t) / t)2 )�.
8. D�terminer C ainsi que son incertitude.
C = t / R = 814 / 2,0 =407 ~4,1 102 F.
u(C) = 407 ( (0,1 / 2)2 +(1,175 / 814,28)2 )�.
u(C) = 407 (2,5 10-3 +2,08 10-6)� ~20 F.
C = 4,1 102 � 20 F.
9. Comparer cette valeur avec celle donn�e par le constructeur ( 400 F) et conclure.
Ecart relatif : (410-400 ) / 400 ~0,025 ( 2,5 %).
A 2,5 % pr�s ces deux valeurs sont en accord.
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