La
congelation de l'eau, bac Centres �trangers 2021.
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On
souhaite estimer la duur�e n�cessaire pour que toute l'eau d'un bac �
gla�on plac� dans un congelateur soit transform�e en glace. L'eau est
initialement � temp�rature ambiante.
On distingue deux phases :
refroidissement de l'eau de la temp�rature ambiante Ta � celle de solidification Ts ;
phase a : changement d'�tat de l'eau � la temp�rature Ts= 0�C.
phase b : le syst�me �tudi� est l'eau plac�e danns le bac � gla�ons.
Masse de l'eau m = 0,150 kg ; Ta = 23,0�C. Ceau = 4185 J kg-1 K-1.
1.
Pr�ciser dans quel sens se font les transferts thermiques entre
l'eau et l'air du congelateur. En d�duire le signe de l'�nergie
�chang�e lors du transfert thermique Q entre le syst�me et l'air du
congelateur.
L'eau, le corps chaud, c�de de l'�nergie au corps froid, l'air du congelateur : Q < 0.
2. Indiquer si le changement d'�tat de l'eau est endothermique ou exothermique ( phase b).
La solidification de l'eau est exothermique, l'eau c�de de l'�nergie � l'air du congelateur.
3. Donner l'expression de la variation de l'�nergie interne de l'eau lors de la phase a.
DU = Q = m Ceau( Ts-Ta).
Premi�re estimation de la dur�e de congelation � l'aide de la puissance du dispositif de refroidissement du congelateur.
L'�nergie pr�lev�e par unit� de temps � l'eau est �gale � la puissance
du dispositif de refroidissement du cong�lateur soit 40 W.
4. Montrer que Q = -14,4 kJ.
Q = 0,150x 4185( 0-23) = -1,44 104 J = -14,4 kJ.
5. Estimer la dur�e n�cessaire pour que cette �nergie soit pr�lev�e par le dispositif de refroidissement.
Dt = |Q| / P = 1,44 104 / 40=361 s ~ 6 minutes.
La dur�e n�cessaire pour que toute l'eau soit transform�e en glace est d'environ 21 minutes.
Or la r�alisation de l'exp�rience fait appara�tre une dur�e n�cessaire
pour la congelation compl�te de l'eau de l'ordre d'une heure. Pour
expliquer cet �cart, on envisage un autre mod�le.
Loi de ph�nom�nologique de Newton.
L'int�rieur du congelateur joue le r�le de thermostat, sa temp�rature Tth reste constante.
Loi liant le flux thermique �chang� F ( en W) � l'�cart de temp�rature entre l'air ( Tth) et le syst�me (T) et � la surface d'�change S.
F = -hS(T-Tth).
Durant la phase a, T n'est pas constante. Il convient de mod�liser son �volution temporelle.
Tth = -18�C ; hS = 0,92 W K-1.
6. La loi de Newton permet d'estimer les valeurs du flux thermique entre l'eau et l'air au d�but ( T=Ta) et � la fin ( T = TS de la phase de refroidissement.
F(Ta) = -38 W ; F(Ts) = -17 W.
Comparer ces valeurs � la puissance du syst�me de refroidissement.
Discuter ce qu'apporte ce mod�le par rapport � celui utilis� lors de la premi�re estimation.
La loi de refroidissement de Newton indique que le flux thermique
est proportionnel � la diff�rence de temp�rature entre
l'eau et l'air du congelateur. Ce flux thermique diminue au cours du
refroidissement.
7. Donner l'expression reliant l'�nergie �chang�e sous forme de transfert thermique Q entre l'air et l'eau pendant une dur�e Dt tr�s petite, le flux thermique F suppos�e constant durant cette dur�e, et la dur�e Dt.
Q = F Dt.
8. A l'aide du premier principe de la thermodynamique et de la loi de Newton, dans le cas o� Dt tend vers z�ro, montrer que l'�volution temporelle de la temp�rature de l'eau est r�gie par :
dT / dt = -r (T-Tth)
Exprimer r en fonction de h, S, m et Ceau, pr�ciser sa valeur et son unit�.
Premier principe : la variation de l'�nergie interne de l'eau est �gale � l'�nergie c�d�e � l'air.
dU = dQ = m Ceau dT.
Flux thermique correspondant :
dQ = m Ceau dT / dt.
Loi de refroidissement de newton : F = -hS(T-Tth).
m CeaudT /dt = -hS(T-Tth).
dT /dt = -hS / (mCeau)(T-Tth).
r = hS / (mCeau).
r = 0,92 /(0,15 x4185)~1,46 10-3 s-1.
La solution de cette �quation diff�rentielle est : T(t) = (Ta-Tth)e-rt + Tth.
9. D�duire de
ce mod�le, une estimation de la dur�e n�cessaire pour refroidir
l'eau liquide lors de la phase a. Conclure.
0 = (23-(-18))exp(-1,46 10-3 t) -18.
0=41 exp(-1,46 10-3 t) -18.
18 / 41 = exp(-1,46 10-3 t).
ln(18/41) = -1,46 10-3 t.
t ~564 s soit environ 9,4 minutes.
Dur�e totale de la congelation de l'eau : 30 minutes, on est encore loin de la valeur exp�rimentale.
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