Math�matiques, suites, g�om�trie dans l'espace, bac S M�tropole- La R�union 2020. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. .. .. . . .. .. ...... ... G�om�trie dans l'espace. L'espace est rapport� � un rep�re orthonorm�. On consid�re les points A( 1 ; 1 ; 4) ; B(4 ; 2 ; 5) ; C(3 ; 0 ; -2)  et J (1 ; 4 ; 2). On note P le plan passant par les points A, B et C et D la droite passant par le point J et de vecteur directeur de coordonn�es (1 ; 1 ; 3). 1. Position relative de P et D. a. Montrer que le vecteur de coordonn�es (1 ; -4 ; 1) est normal  au plan P. b. D�terminer une �quation cart�sienne du plan P. x -4y +z +d = 0. A appartient � P ; les coordonn�es de A v�rifient : 1*1 -4*1+4+d = 0 ; d = -1. x -4y +z -1 = 0. c. Montrer que D est parall�le � P. Un vecteur au normal au plan P est perpendiculaire � la droite D. Le plan P et la droite D sont donc parall�les. On rappelle que, un point I et un nombre r�el strictement positif r �tant donn�s, la sph�re de  centre I et de  rayon r est l'ensemble des points M de l'espace v�rifiant IM = r. On consid�re le point I(1 ; 9 ; 0) et on appelle S la sph�re de centre I et de rayon 6. 2. Position relative de P et S. a. Montrer que la droite D passant par I et orthogonale au plan P coupe ce plan au point H(3 ; 1 ; 2). Equations param�triques de cette droite : x = t+xI soit x = t +1 avec t r�el. y = -4t+yI =-4t+9. z = t+zI = t. Les coordonn�es de H v�rifient � la fois l'�quation du plan P et l'�quation de la droite D : xH -4yH +zH -1 = 0. xH = t+1 ; yH = -4t+9 ; zH = t. t+1-4(-4t+9)+t-1=0 ; 18 t =36 ; t=2. xH = 2+1=3 ; yH = -4*2+9=1 ; zH = 2. Ou bien : Le point H appartient donc � D. De plus les coordonn�es de H v�rifient l'�quation du plan P. La droite D coupe donc le plan P en H. b. Calculer la distance IH. IH2 = (3-1)2 +(1-9)2+(2-0)2=4+64+4=72=9*8=32*22*2 ; IH = 72� =6*2�. On admet que pour tout point M du plan P on a IM > IH. c. Le plan P coupe t-il la sph�re S ? Justifier.  IM > IH > 6. Le plan P ne coupe donc pas la sph�re S. 3. Position relative de D et S. a. D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite D. x = t+xJ soit x = t +1 avec t r�el. y = 1t+yJ = t+4. z = 3t+zJ = 3t+2. b. Montrer qu'un point M(x, y, z) appartient � la sph�re S si et seulement si : (x-1)2 +(y-9)2 +z2 = 36. I(1 ; 9 ; 0)  centre de la sph�re de rayon IM = 6. IM2 =36. (x-1)2 +(y-9)2 +z2 = 36. c. Montrer que la droite D coupe la sph�re en deux points distincts. On ne cherchera pas � d�terminer les coordonn�es de ces points. Les coordonn�es des points d'intersection de la sph�re S et de la droite D v�rifient : (x-1)2 +(y-9)2 +z2 = 36. avec x = 1+t ; y = t+4 et z = 3t+2 ( t r�el). (1+t-1)2 +(t+4-9)2 +(3t+2)2 = 36. t2+t2+25-10t+9t2+4+12t=36. 11t2+2t-7=0. Discriminant D = 22-4*(-7)*11=312. Le discriminant �tant positif, l'�quation admet deux solutions r�elles. Il existe donc deux points d'intersections distincts. ... .... Suites. On consid�re la suite (un) d�finie, pour tout entier n non nul  par : un = n(n+2) / (n+1)2. La suite (vn) est d�finie par : v1 = u1 ; v2 = u1 xu2 et pour tout entier naturel n > 3 par vn = u1 x u2 x... xun = vn-1 x un. 1. V�rifier que v2 = 2 /3 puis calculer v3. u1 =3 /22=3 / 4. u2 =2*4/32=8 /9. u3 =3*5/42=15 /16. v1=3 /4 ; v2 =3 / 4 * 8 / 9 =2 / 3. v3 = 3 / 4 * 8 / 9 * 15 / 16 = 5 / 8. 2. Compl�ter l'algorithme suivant afin que, apr�s son ex�cution, la variable V contiennent la valeur de vn ; n est entier non nul d�fini par l'utilisateur. V<--1 Pour i variant de 1 � n U <-- i(i+2) / (i+1)2. V <-- V*U Fin pour. 3.a. Montrer que, pour tout entier n non nul, un = 1 -1 /(n+1)2. 1 -1 /(n+1)2 = [(n+1)2 -1] /(n+1)2 = (n2+2n) / (n+1)2 =n(n+2) / (n+1)2 =un. 3.b. Montrer que pour tout entier n non nul, 0 < un < 1. un, quotient de nombres strictement positifs, est strictement positif. 1 /(n+1)2 est stricterment positif. un =1 -1 /(n+1)2 est strictement inf�rieur � 1. 4.a  Montrer que la suite (vn) est d�croissante. vn = u1 x u2 x... x un , produit de facteurs strictement positifs, est strictement positif. v1 < v2 ( voir question 1). 0 < un < 1, donc 0 < vn-1 x un < vn-1. Or vn = vn-1 x un, donc 0 < vn < vn-1. La suite (vn) est donc d�croissante. 4.b. Justifier que la suite (vn) est convergente. La suite (vn) est d�croissante et minor�e pa z�ro : donc elle est convergente. 5.a. V�rifier que, pour tout entier naturel non nul, vn+1 =vn (n+1)(n+3) / (n+1)2. vn+1 = vn x un+1 = vn x[1 -1 /(n+1)2] =vn [ (n+1)(n+1+2) / (n+1)2]. 5.b. Montrer par r�curence que, pour tout entier naturel non nul, vn = (n+2) / [2(n+1)]. Initialisation : v1 = (1+2) / [2(1+1)] =3 /4 est vrai. H�r�dit� : vp = (p+2) / [2(p+1)] est suppos� vrai. vp+1 =vp (p+1)(p+3) / (p+2)2. vp+1 = (p+2) / [2(p+1)] * (p+1)(p+3) / (p+2)2. vp+1 =(p+3) / [2(p+2)]. La propri�t� est vraie au rang p+1. Conclusion : la propri�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire, elle est donc vrai pour tout entier naturel non nul. 5.c. D�terminer la limite de la suite (vn). vn = (n+2) / [2(n+1)]. vn = (1+2 / n) / [2(1+1/n)]. 1 /n et 2 /n tendent vers z�ro quand n tend vers plus l'infini. vn tend vers 0,5. 6. On consid�re la suite (wn) d�finie par : w1 = ln(u1) ; w2 = ln(u2) et pour n > 3 par wn = ln(u1)+ ln(u2) +.... +ln(un). Montrer que w7 = 2 w1. w7 = ln(u1)+ ln(u2) +ln(u3)+ ln(u4)+ ln(u5) +ln(u6)+ln(u7). w7 = ln(u1 * u2 *u3 *u4 *u5 *u6 *u7) ; w1 = ln(u1) =ln(3 /4). un = n(n+2) / (n+1)2. u1= 3/4 ; u2 =8 / 9 ; u3 =15 / 16 ; u4 =24 / 25 ; u5 =35 / 36 ; u6 =48 / 49 ; u7 =63 / 64 ; u1 * u2 *u3 *u4 *u5 *u6 *u7 =(3 x 8 x 15 x 24 x 35 x 48 x 63) / (4 x 9 x 16 x 25 x 36 x 49 x64)=0,5625. w7=ln(0,5625) =ln(0,75)2 = 2 ln (0,75) = 2 ln(w1). .

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