Sp�cialit�
math�matiques,
bac g�n�ral 2021.
En
poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation
de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres
d’int�r�ts.
..
..
|
|
Exercice 1. 5 points.
Dans une �cole, apr�s �tude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux fa�ons :
10 % des candidats sont s�lectionner sur dossier. Ils doivent ensuite
passer un oral � l'issue duquel 60 % sont finalement admis.
Les autres candidats passent une �preuve �crite � l'issue de laquelle 20 % d'entre eux sont admis � l'�cole.
Partie 1.
On choisit au hasard un candidat � ce concours de recrutement. On note les �v�nements :
D: candidat s�lectionn� sur dossier ;
A : candidat admis � l'�cole.
1. Traduire la situation sur un arbre pond�r�.
2. Calculer la probabilit� que le candidat soit s�lectionn� sur dossier et admis.
3. Montrer que P(A) = 0,24.
4. On choisit au hasard un candidat admis � l'�cole. Quelle est la probabilit� que son dossier n'ait pas �t� s�lectionn� ?
P A non D =P(A n non D) / P(A) = 0,18 / 0,24 =0,75.
Partie 2.
1. on
admet que la probabilit� pour un candidat d'�tre admis � l'�cole est
�gale � 0,24. On consid�re un �chantillon de 7 candidats choisis au
hasard, en assimilant ce choix � un tirage au sort avec remise. On
d�signe par X la variable al�atoire d�nombrant les candidats admis �
l'�cole parmi les 7 tir�s au sort.
a. On admet que X suit une loi binomiale. Quels sont les param�tres de cette loi ?
n = 7 ; p = 0,24.
b. Calculer la probabilit� qu'un seul des sept candidats tir�s au sort soit admis � l'�cole.
P(X = 1) =0,32.
c. Calculer la probabilit� qu'au moins deux des sept candidats tir�s au sort soient admis � cette �cole.
P(X > 2) = 1-P(X=0) -P(X=1) = 1-0,146-0,324 ~0,53.
2. Un lyc�e pr�sente n candidats au recrutement dans cette �cole, o� n est un entier non nul.
a. Donner l'expression, en fonction de n, de la probabilit� qu'aucun candidat issu de ce lyc�e ne soit admis � l'acole.
P(X=0)= Cn0 p0 qn avec C200 = 1 ; P(X=0)= (1-0,24)n =0,76n.
b.
A partir de quelle valeur de l'entier n la probabilit� qu'au moins un
�l�ve de ce lyc�e soit admis � l'�cole est-elle sup�rieure ou �gale �
0,99 ?
P(X >1)=1-P(X=0) =0,99 ; 1-0,76n = 0,99 ; 0,01 =0,76n ; ln(0,01) = n ln(0,76) ; n = ln(0,01) / ln(0,76) ~17.
Exercice 2. 5 points.
Soit f la fonction d�finie sur ]0 ; +oo[ par f(x) = ex / x. On note C la courbe repr�sentative de f.
1.a. Pr�ciser la limite de f en +oo.
Par croissance compar�e f(x) tend vers +oo quand x tend vers +oo.
b. Justifier que l'axe des ordonn�es est asymptote � la courbe C.
Quand x tend vers z�ro f(x) tend vers plus l'infini ; l'axe des ordonn�es est asymptote � la courbe C.
2. Montrer que f '(x) =ex(x-1) / x2.
on pose u = ex et v = x ; u' = ex et v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 =(xex-ex) / x2 = ex(x-1) /x2.
3. D�terminer les variations de la fonction f.
ex et x2 �tant positifs, f '(x) a le signe de x-1.
Si x < 1, f '(x) < 0 et f(x) est d�croissante.
Si x > 1, f '(x) >0 et f (x) est croissante.
Si x = 1 f '(x) =0 et f(x) pr�sente un minimum �gal � e.
4. Soit m un nombre r�el. Pr�ciser, en fonction des valeurs de m, le nombre de solutions de l'�quation f(x) = m.
Si m < e, aucune solution.
Si m = e, une solution unique.
Si m > e, deux solutions.
5.
On note D la droite d'�quation y = -x. On note A un �ventuel point de C
d'abscisse a en lequel la tangente � la courbe C est parall�le � la
droite D.
a. Montrer que a est solution de l'�quation ex(x-1)+x2=0.
Coefficient directeur de la tangente � C au point A : -1 = f '(a) =ea(a-1) / a2.
ea(a-1) = -a2 ; ea(a-1) +a2 =0.
On note g la fonction d�finie sur ]0 ; +oo[ par g (x) = ex(x-1)+x2.
b. Calculer g'(x) puis dresser le tableau de variations de g.
On pose u = ex et v = x+1 ; u' = ex ; v' = 1 ; u'v+v'u =ex(x-1)+ex=xex.
g'(x) = xex+2x = x(ex+2) strictement positive sur ]0 ; +oo[.
c. Montrer que le point A est unique.
La courbe repr�sentative de g(x) coupe l'axe des abscisses en un seul point. L'�quation ex(x-1)+x2=0 admet une seule solution.
Exercice 3 QCM. 5 points.
Aucune justification n'est demand�e ; une seule r�ponse est vraie.
SABCD
est une pyramide � base carr�e ABCD dont toutes les ar�tes ont la m�me
longueur. I est le centre du carr� ABCD. IC=IB=IS=1. Les points K, L et
M sont les milieux des ar�tes respectives [SD], [SC] et [SB].
1. Les droites suivantes ne sont pas coplanaires :
(DK et (SK) faux, elles ont le point K en commun.
(AS) et (IC) faux, elles ont le point A en commun.
(AC) et (SB). Vrai. Les points A, C et B appartiennent au plan (ABC) et S est en dehors de ce plan.
(LM) et (AD), faux, elles sont parall�les et appartiennent au plan ADLM.
On donne les coordonn�es des points I(0 ; 0 ; 0) ; A(-1 ; 0 ; 0) ; B(0 ; 1 ; 0) ; C(1 ; 0 ; 0) ; D(0 ; -1 ; 0) ; S(0 ; 0 ; 1).
2. Les coordonn�es du milieu N de [KL] sont :
K milieu de [SD] ; K(0 ; -0,5 ; 0,5) ; L milieu de [SC] ; L(0,5 ; 0 ; 0,5) ;
N( 0,25 ; -0,25 ; 0,5) ; r�ponse B.
3. Les coordonn�es du vecteur  sont :
xS-xA =1 ; yS-yA =0 ; zS-zA =1 ; r�ponse B.
4. Une repr�sentation param�trique de la droite (AS) est :
x = t+xS ; y = yS et z = t+zS avec t r�el ;
x = t ; y = 0 ; z = t+1 ; r�ponse C.
5. Une �quation cart�ienne du plan (SCB) est :
ax+by+cz+d=0
S appartient � ce plan : c+d = 0 ;
C appartient � ce plan : a+d = 0 ; soit a = c = -d ;
B appartient � ce plan : b+d = 0 ; b = -d.
Par suite : a = b = c = -d ; �quation de ce plan : x+y+z-1=0 ; r�ponse B.
|
|
4. A. Au choix. 5 points.
La suite (un) est d�finie par u0 = 1 et pour tout entier n, un+1 = 0,75 un +0,25n+1.
1. Calculer en d�taillant u1 et u2.
u1 =0,75 +0,25 x0+1 = 1,75 = 7 /4.
u2 =3 /4 x 7 / 4 +0,25 x1+1 = 21 / 16 +1 / 4 +1 =(21+4+16) / 16 =41 / 16.
Le tableau suivant est extrait d'une feuille de calcul
|
A
|
B
|
1
|
n
|
un
|
2
|
0
|
1
|
3
|
1
|
1,75
|
4
|
2
|
2,5625
|
5
|
3
|
3,421 875
|
6
|
4
|
4,316 406 25
|
2.a Quelle formule, �tir�e ensuite vers le bas, peut-on �crire en B3 pour obtenir les termes successifs de (un) ?
=0,75*B2+0,25*A2+1
b. Conjecturer du sens de variation de la suite.
La suite est croissante.
3.a D�montrer par r�curence : n < un < n+1.
Initialisation : 0 < u0 < 1 est vraie.
H�r�dit� : n < un < n+1 est suppos�e vraie.
0,75 n < 0,75 un < 0,75(n+1).
0,75 n+0,25 n < 0,75 un +0,25n < 0,75(n+1)+0,25 n ; n < 0,75 un +0,25n < n+0,75 ;
n+1 < 0,75 un +0,25n +1< n+0,75 +1 ; n+1 < un+1 < n+1,75.
n+1 < un+1 < n+2. La propri�t� est vraie au rang n+1.
La propri�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire, elle est vraie pour tout entier naturelle n.
b. En d�duire en justifiant le sens de variation et la limite de cette suite.
un+1 -un = 0,75 un -un+0,25n+1 = -0,25 un +0,25 n+1 ;
0,25un < 0,25n+0,25 ; 0,25un < 0,25n+1 ; un+1 -un >0, la suite est croissante. La suite (un) tend vers plus l'infini.
c. D�montrer que la limite en plus l'infini de un / n = 1.
n < un < n+1 ; 1 < un / n < 1+1 / n ; la limite en plus l'infini de un / n = 1.
4. On d�signe par (vn) la suite d�finie sur N par vn = un-n.
a. D�montrer que la suite (vn) est g�om�trique de raison 0,75.
vn+1 = un+1 -(n+1)=0,75 un +0,25n+1-n-1 =0,75 un-0,75 n = 0,75(un-n) = 0,75 vn.
Suite g�om�trique de raison 0,75 et de premier terme v0 =u0=1.
b. En d�duire que un = 0,75n+n.
vn = 0,75n =un-n ; un = 0,75n+n.
Exercice B. Au choix.
On consid�re la fonction f d�finie sur ]0 ; +oo[ par f(x) =x+4-4ln(x)-3 /x. On note C sa courbe repr�sentative.
1. D�terminer la limite de f en plus l'infini.
f(x / x =1+4/ x-4ln(x) / x -3 /x2. 4 / x tend vers z�ro ; 4ln(x) / x tend vers z�ro ; 3 /x2 tend vers z�ro ; f(x / x tend vers 1 ; f(x) tend vers plus l'infini.
2. Montrer que f '(x) =(x2-4x+3) / x2.
f '(x) =1-4 /x+3 /x2 =(x2-4x+3) / x2.
3. a. Donner le tableau de variation de f.
f '(x) a le signe de x2-4x+3.
On cherche les solutions de x2-4x+3 = 0 ; discriminant D =42-3*4 = 4 = 22.
x1 = (4+2) / 2 = 3 ; x2 = (4-2) / 2=1.
x2-4x+3 < 0 sur ]1 ; 3[ et la fonction est strictement d�croissante.
b. Par simple lecture du tableau de variations, pr�ciser le nombre de solutions de l'�quation f(x) = 5 /3.
6-4ln(3) ~1,605 ; 5 / 3 ~1,66; doncf(x) = 5 /3 admet 3 solutions.
4. Etudier la
convexit� de la fonction f. Justifier que la courbe C admet un unique
point d'inflexion dont on pr�cisera les coordonn�es.
f '(x) =(x2-4x+3) / x2.
Calcul de la d�riv�e seconde f "(x) en posant :
u = x2-4x+3 , v = x2. u' = 2x-4 ; v' = 2x.
(u'v-v'u) / v2 =((2x-4)x2 -2x(x2-4x+3)) / x4 = (4x2-6x) / x4 =2x(2x-3) /x4 .
Sur ]0 ; +oo[, f "(x) s'annule et change de signe pour x = 1,5 ; f(1,5) =3,5 - 4 ln(1,5) ~1,88.
f "(x) >0 pour x > 1,5, f(x) convexe.
f "(x) < 0 pour x < 1,5, f(x) concave.
|
|
