Sp�cialit� math�matiques, bac g�n�ral 2021.

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Exercice 1. QCM. 5 points.
Aucune justification n'est demand�e ; une seule r�ponse est vraie.
Dans un centre de traitement du courrier, une machine est �quip�e d'un lecteur optique automatique de reconnaissance de l'adresse postale. Ce syst�me reconnait correctement 97% des adresses. Le reste du courrier est qualifi� d'illisible. Cette machine vient de lire 9 adresses. On note X la variable al�atoire qui donne le nombre d'adresses illisibles parmi ces 9 adresses. X suit la loi binomiale de param�tres n = 9 et p = 0,03.
1. La probabilit� qu'aucune des 9 adresses soit illisible est �gale � : 0 ; 1 ; 0,24 ; 0,76 vrai.
P(X=0) =0,76.
2. La probabilit� qu'exactement 2 des 9 adresses soient illisibles pour la machine est :
p(X=2)=C92 0,032 x0,977. R�ponse C.
3. La probabilit� qu'au moins une des 9 adresses soit illisible est :
P(X > 1) = 1-P(X=0) ; r�ponse d.
Partie II.
Une urne contient 5 boules vertes et 3 boules blanches, indiscernables au toucher. On tire au hasard et sans remise deux boules de l'urne. On consid�re les �v�nements :
V1 : la premi�re boule tir�e est verte.
B1 : la premi�re boule tir�e est blanche.
V2 : la secondee boule tir�e est verte.
B2 : la seconde boule tir�e est blanche.
4. La probabilit� de V2 sachant que V1 est r�alis�e, not�e PV1(V2) est �gale � :
P(V1 n V2) / P(V2) =20 / 56 / ( 35 /56) = 20 / 35 = 4 /7. R�ponse  b.

5. La probabilit� de l'�v�nement V2 est �gale � :35 / 56 = 5 /8. R�ponse  a.


Exercice 2. 6 points.
On consid�re les suites (un) et (vn), strictement positives, d�finies par : u0 = v0 = 1 ; un+1 = un+vn ; vn+1 = 2un +vn.
1.a. Calculer u1 et v1.
u1 = u0+v0 =2 ;  v1 = 2u0 +v0=3.
b. D�montrer que (vn) est strictement croissante puis en d�duire que vn > 1.
vn+1 -vn = 2un >0 ; (vn) est strictement croissante.
De plus v0 = 1 ; donc vn > 1.
c. D�montrer par r�currence que un > n+1.
Initialisation : u0 = 1, la propri�t� est vraie au rang z�ro.
H�r�dit� : un > n+1 est suppos� vrai.
un+1 = un+vn ; or vn > 1 et un > n+1, donc un+1 > n+1+1. La propri�t� est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire, donc elle est vraie pour tout n entier naturel.
 d. En d�duire la limite de la suite (un).
un > n+1 ; quand n tend vers plus l'infini, un tend vers plus l'infini.
2. On pose rn = vn / un et on admet que : r2n = 2 +(-1)n+1 / u2n.
a. D�montrer que : -1 / u2n < (-1)n+1 / u2n < 1 / u2n.
-1 < (-1)n+1 <  1 et  u2n >  0 ; donc -1 / u2n < (-1)n+1 / u2n < 1 / u2n.
b. En d�duire la limite en plus l'infini de (-1)n+1 / u2n.
un > n+1 ; u2n > (n+1)2 ; 1 / u2n < 1 / (n+1)2 ; en plus l'infini la limite de 1 / u2n est z�ro.
-1 / u2n > -1 / (n+1)2 ; en plus l'infini la limite de -1 / u2n est z�ro.
La limite en plus l'infini de (-1)n+1 / u2n est z�ro. ( d'apr�s le th�or�me des gendarmes).
c. D�terminer la limite de la suite r2n et en d�duire que (rn) converge vers 2�.
r2n = 2 +(-1)n+1 / u2n.
En plus l'infini, (-1)n+1 / u2n tend vers z�ro ; r2n tend vers 2 et rn tend vers 2�.
d. D�montrer que pour tout entier n : rn+1 = (2+rn) / (1+rn).
rn+1 = vn+1 / un+1 = ( 2un +vn) / (un+vn).
Diviser par un num�rateur et d�nominateur : 
rn+1 =(2+rn) / (1+rn).
e. On consid�re le programme �crit en langae Python :
def seuil()
n=0
r=1
while abs (r-sqrt(2)) > 10**(-4) :
r = (2+r) / (1+r)
n=n+1
return n
(abs d�signe la valeur absollue, sqrt la racine carr�e et 10**-4 repr�sente 10-4).
 La valeur n renvoy�e est 5. A quoi correspond-elle ?
La diff�rence entre r4 et racine carr�e (2) est sup�rieure � 10-4.
La diff�rence entre r5 et racine carr�e (2) est inf�rieure � 10-4.

Exercice 3 QCM. 4 points.
On consid�re les points A(2 ; 0 ; 0 ), B(0 ; 3 ; 0) et C(0 ; 0 ; 1).

L'objectif est le calcul de l'aire du triangle ABC.
1. a. Montrer que le vecteur n de coordonn�es (3 ; 2 ; 6) est normal au olan ( ABC).

1.b. En d�duire qu'une �quation cart�sienne de ce plan est :3x+2y+6z-6=0.
Equation de ce plan : 3x +2y+6z+d = 0.
A appartient � ce plan : 3*2 +2*0 +6*0+d=0 soit d = -6.
 2. On note d la droite pasant par O et orthogonale au plan (ABC).
a. D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite d.
x =3t+xO =3t ; y =2t+yO =2t ; z = 6t+zO = 6 t avec t r�el.
b. Montrer que la droite d coupe le plan au point H ( 18 /49 ; 12 /49 ; 36 /49).
H appartient � la droite d et au plan (ABC) :
3*3t +2*2t +6*6t-6=0 ; t = 6 /49.
xH =3*6 /49 = 18 / 49 ; yH = 2*6 /49 = 12 / 49 ; zH = 6*6/49 = 36 /49.
c. calculer la distance OH.
OH2 = (182 +122 +362) /492 =1764 /492 ; OH =42 /49.
3. En calculant de deux fa�ons diff�rentes le volume de la pyramide OABC, d�terminer l'aire du triangle ABC.
V = aire du triangle OAB x hauteur OC / 3 = 2 x3 /2 x1 / 3 =1 cm3.
 V = aire du triangle ABC x hauteur OH / 3  =1 cm3.
Aire du triangle ABC = 3/OH =3 x49 /42 =49 /14 =7/2 =3,5 cm2.

4. A. Au choix. 5 points.
Le graphique ci-dessous repr�sente les courbes Cf et Cg des fonctions f et g d�finies par : f(x) = x2e-x et g(x) = e-x.


1.a D�terminer les coordonn�es des points d'intersections des deux courbes.
x2e-x = e-x ; x2=1 ; x = �1.
g(1)=e-1 et g(-1) =e.
b. Etudier la position relative des deux courbes.
f(x)-g(x) = e-x(x2-1).
f(x)-g(x) > 0 si x appartient � ]-oo ; -1[ union ]-1 ; +oo[ : Cf au dessus de Cg.
f(x)-g(x) < 0 si x appartient � ]-1 : Cg au dessus de Cf.
2. On note d(x) la distance MN. On admet que d(x) = e-x(1-x2), x appartenant � [-1 ; 1].
a. Montrer que d'(x) = e-x(x2-2x-1).
On pose u = e-x et v = 1-x2 ; u'=-e-x ; v'= -2x.
u'v+v'u= -e-x(1-x2)-2xe-x=e-x(x2-2x-1).
b. En d�duire les variations de d(x).
e-x �tant positif, le signe de d'(x) est celui de x2-2x-1.
Solutions de x2-2x-1=0 ; discriinant D =(-2)2+4=8 =(2*2�)2.
Solution retenenue :(2-2*2�) / 2 =1-2�.
Si x = 1-2�, d'(x) est nulle ( d(x) est minimum ).
Si x appartient � [-1 ; 1-2�[, d'(x) > 0 ; si x appartient � ] 1-2� ; 1 [, d'(x) < 0.
c. D�terminer l'abscisse commune x0 des points M0 et N0 permettant d'obtenir une distance d minimale, et donner une valeur approch�e � 0,1 pr�s de cette distance.
d0= exp(2�-1) (1-(1-2�)2)=exp(2�-1) (-2+2*2�) ~1,3.
3. Soit D la droite d'�quation y = x+2. On consid�re la fonction h(x) d�finie sur R par h(x) = e-x-x-2.
D�terminer le nombre de points d'intersection de la droite D et de la courbe Cg.
h'(x) = -e-x-1 < 0 et h(x) est strictement d�croissante de +oo � -oo.
La droite D et de la courbe Cg ont un seul point commun.

Exercice B au choix.
Partie 1. Etude d'une fonction auxiliaire.
Soit la fonction g(x) d�finie sur ]0 ; +oo[ par g(x) =ln(x)+2x-2.
1. D�terminer les limites de g en 0 et +oo.
Quand x tend vers z�ro, g(x) tend vers moins l'infini.
Quand x tend vers plus l'infini, g(x) tend vers plus l'infini.
2. D�terminer le sens de variation de g.
g'(x) = 1 /x+2 =(1+2x) / x.
 g'(x) > 0 et g(x) strictement croissante.

3. D�montrer que l'�quation g(x) = 0 admet une seule solution a sur ]0 ; +oo[.
D'apr�s le tableau de variation ci-dessus, g(x) = 0 admet une seule solution a sur ]0 ; +oo[.
4. Calculer g(1) puis d�terminer le signe de g(x) sur ]0 ; +oo[.
g(1) = ln(1) +2-2 = 0.
Si x appartient � ]0 ; 1[ g(x) < 0 ; si x appartient � ]1 ; +oo[, g(x) > 0.

Partie 2. Etude de la fonction f d�finie sur ]0 ; +oo[ par f(x) =(2-1 /x)( ln(x)-1).
1.a. D�montrer que f '(x) = g(x) / x2.
On pose u = 2-1 /x et v = ln(x) -1 ; u' = 1 /x2 ; v' = 1 /x.
u'v+v'u=(ln(x)-1) / x2 +(2-1 /x) / x = (ln(x) -1 +2x-1) / x2 = g(x) / x2.
b. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

2. R�soudre l'�quation f(x) = 0 puis dresser le tableau de signes de f.
(2-1 /x)( ln(x)-1) = 0
2-1 /x = 0 soit x =0,5 ; ln(x) -1 = 0 soit x = e.

Partie III. Etude d'une fonction F admettant pour d�riv�e la fonction f.
1. Etudier les variations de F sur ]0 ; +oo[.

2. La courbe CF repr�sentative de F admet-elle des tangentes parall�les � l'axe des abscisses ? Justifier.
F '(x) = f(x) s'annule pour x = 0,5 et x = e.
CF admet donc deux tangentes parall�les � l'axe des abscisses aux points d'abscisse x = 0,5 et x = e..

  

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