Math�matiques : QCM, probabilit�s, fonction, suite, g�om�trie, bac M�tropole 2021.

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Exercice 1. QCM. 4 points.
Soit la fonction f d�finie sur [0 ; +oo[ par : f(x) = e2x / x.
On donne la d�riv�e seconde f "(x) =2e2x(2x2-2x+1) /x3.
1. La fonction f ', d�riv�e de f est d�finie par :
2e2x ; e2x(x-1) /x2 ;
e2x(2x-1) /x2 vrai ; e2x(2x+1) /x2 .
On pose u = e2x ; v = x ; u' = 2 e2x ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 =(2x e2x -e2x) / x2 =
e2x(2x-1) /x2 .
2.  La fonction f :
est d�croissante ;
est monotone ;
admet un minimum en 0,5 ;
vrai
admet un maximum en 0,5.
Etude du signe de la d�riv�e :
e2x /x2 >0.
Le signe de la d�riv�e est celui de 2x-1.
f '(x) = 0 si x = 0,5.
 f '(x) > si x > 0,5 ; f (x) croissante.
 f '(x) < 0 si x < 0,5 et f(x) d�croissante.


3. La fonction f admet pour limite en plus l'infini.
+oo vrai ; 0 ; 1 ; e2x.
Par croissance compar�e e2x / x tend vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini.

4. La fonction f est :
concave sur ]0 ; +oo[ ;
convexe sur ]0 ; +oo[ ; vrai.
concave sur ]0 ; 0,5[ ;
est repr�sent�e par une courbe pr�sentant un point d'inflexion.
f "(x) =2e2x(2x2-2x+1) /x3 .
Etude du signe de la d�riv�e seconde.
2e2x/x3 positif sur ]0 ; +oo[ ;
Etude du signe de
2x2-2x+1 :
Discriminant D = (-2)2-4*2 = -4, aucune racine r�elles.
2x2-2x+1 >0.
La d�riv�e seconde �tant positive, la fonction f(x) est convexe.

Exercice 2. ( 5 points).
Une cha�ne de fabrication produit des pi�ces m�caniques. On estime que 5 % des pi�ces sont d�fectueuses.
Un test mis au point a deux r�sultats possibles : positif ou bien n�gatif.
On applique ce test � une pi�ce choisie au hasard dans la production.
On note les �v�nements suivants :
D : pi�ce d�fectueuse.
T : test positif.
La probabilit� qu'une pi�ce pr�sente un test positif sachant qu'elle est d�fectueuse est 0,98.
La probabilit� qu'une pi�ce pr�sente un test n�gatif sachant qu'elle n'est pas d�fectueuse est 0,97.

Partie1.
1. Traduire la situation � l'aide d'un arbre pond�r�.

2.a D�terminer la probabilit� qu'une pi�ce choisie au hasard soit d�fectueuse et pr�sente un test positif.

b. D�montrer que P(T) = 0,0775.
3. On appelle valeur pr�dictive positive du test la probabilit� qu'une pi�ce soit d�fectueuse sachant  que le test est positif. Pour �tre efficace un test doit avoir une valeur pr�dictive positive sup�rieure � 0,95.
Calculer cette valeur pr�dictive positive. Le test est-il efficace ?
PT(D) =P(T n D) / P(T) = 0,049 / 0,0775 ~0,63 < 0,95.
Le test n'est pas efficace.
Partie II. 
On choisit un �chantillon de 20 pi�ces. On note X la variable al�atoire qui donne le nombre de pi�ces d�fectueuses de cet �chantillon. On rappelle que p(D) = 0,05).
1. Justifier que X suit une loi binomiale et d�terminer les param�tres de cette loi.
On choisit 20 pi�ces de mani�re ind�pendante. Deux issues sont possibles " la pi�ce est bonne " ou" la pi�ce est d�fectueuse".
On r�p�te 20 fois une �preuve de Bernoulli.
X suit une loi binomiale de param�tre n =20 ; p = 0,05.
2. Calculer la probabilit� que cet �chantillon contienne au moins une pi�ce d�fectueuse.
P (X > 1) =1-P(X=0) = 1-0,358 =0,642.
3. Calculer l'esp�rance de la variable X et interpr�ter.
E = np = 20 x0,05 = 1.
En moyenne, chaque �chantillon contient une pi�ce d�fectueuse.


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Exercice 3. (6 points).
C�cile sort les g�teaux du congelateur � -19�C et les apporte sur la terrasse o� la temp�rature est 25�C.
Au bout de 10 minutes la temp�rature des g�teaux est1,3 �C.
I. Premier mod�le.
On suppose que la vitesse de d�congelation des g�teaux est constante, c'est � dire que l'augmentation de la temp�rature est lam�me minute apr�s minute.
Selon ce mod�le, d�terminer la temp�rature des g�teaux 25 minutes apr�s la sortie du congelateur. Ce mod�le est-il pertinent ?
En 10 minutes, la temp�rature des g�teaux augmente de 20,3 �C, soit 2,03 �C par minute.
Selon ce mod�le, la temp�rature des g�teaux serait de -19 +2,03 x25 = -19 +50,75 =31,75 �C.
Impossible, la temp�rature finale des g�teaux ne peut pas d�passer la temp�rature ambiante 25�C.
Second mod�le.
On note Tn la temp�rature des g�teaux au bout de n minutes apr�s leur sortie du cong�lateur. T0 = -19�C.
L'�volution de la temp�rature est donn�e par : Tn+1- Tn = -0,06 (Tn-25).
1.  Justifier que Tn+1 = 0,94 Tn +1,5.
Tn+1= Tn  -0,06 Tn+0,06 x25.
Tn+1 = 0,94 Tn +1,5.
2. Calculer T1 et T2.
T1 = 0,94 T0+1,5 = -0,94 x 19 +1,5 =-16,36 ~-16,4 �C.
T2 = 0,94 T1+1,5 = -0,94 x 16,36 +1,5 =-13,88 ~-13,9 �C.
3. D�montrer par r�currence que Tn < 25.
Initialisation : T1 = -16,4, la propri�t� est vraie au rang 1.
H�r�dit� : la propri�t� est suppos�e vraie au rang n.
Tn < 25.
Tn+1 = 0,94 Tn +1,5.
Tn+1 < 25.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire, elle est vraie pour tout entier n.
Cette situation est pr�visible, la temp�rature des g�teaux ne peut pas d�passer la temp�rature ambiante.
4. Etudier le sens de variation de cette suite.
Tn+1- Tn = -0,06 (Tn-25) avec Tn < 25.
-0,06 (Tn-25) est donc positif ou nul.
Tn+1- Tn > 0,la suite est croissante.
5. D�montrer que cette suite est convergente.
Cette suite est croissante et born�e par 25, donc elle converge.
6. On pose pour tout entier n, Un = Tn-25.
a. Montrer que (Un) est une suite g�om�trique dont on pr�cisera la raison et le premier terme.
Un+1 = Tn+1-25.
Tn+1 = 0,94 Tn +1,5.
Un+1 =0,94 Tn +1,5 -25.
Un+1 =0,94 Tn -23,5.
Un+1 = 0,94(Tn-25) = 0,94 Un.
(Un) est une suite g�om�trique de raison 0,94 et de premier terme :
U0 = T0-25 = -19-25 = -44.
b. En d�duire que Tn = -44 x0,94n+25.
Un = -44 x0,94n.
Un = Tn-25.
Tn = Un+25.
Tn =
-44 x0,94n+25.
c. En d�duire la limite de (Tn).
-1 < 0,94 < 1, donc 0,94n tend vers z�ro quand n tend vers plus l'inifini.
(Tn) tend vers 25, la temp�rature ambiante.
7.a Le fabricant conseille de consommer les g�teaux au bout d'une demi-heure � temp�rature ambiante apr�s leur sortie du congelateur. Quelle est alors la temp�rature des g�teaux ?
n = 30 ; T30 =-44 x0,9430 +25 ~18�C.
b. C�cile aime d�guster ces g�teaux � la temp�rature de 10�C. Donner un encadrement entre deux entiers cons�cutifs du temps en minutes apr�s lequel C�cile doit d�guster son g�teau.
-44 x0,94n+25 = 10 ;
15 =
44 x0,94n ; 0,94n  = 15 /44 ;
n = ln(15/44) / ln(0,94) ~17,4 minutes. [17 ; 18 min].
c. Le programme suivant renvoye la polus petite valeur de l'entier n pour laquelle Tn > 10. Le compl�ter.
defseuil()
n=0
T = -19
while T <=10 :
T = -44*0,94^n+25
n = n+1
return n

Exercice A ( G�om�trie dans l'espace).

1. D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite d.
x = t ; y = t ; z = 0 avec t r�el.
2. Soit t un nombre r�el et M un point de la droite d ayant pour cooordonn�es (t ; t ; 0).
a. On note AM la distance entre les points A et M. D�montrer que :
AM2 = 2t2-8t+14.
Coordonn�es de AM ( t-1 ; t-1 ; 0).
AM2 = (t-1)2 +(t-3)2 +22=t2-2t+1 +t2-6t+9 +4=
2t2-8t+14.
b. 
D�montrer que le point M0 de coordonn�es (2 ; 2 ; 0) est le point de la droite d pour lequel la distance AM est minimale.
AM est minimale quand AM2 est minimale.
On d�rive
2t2-8t+14 et on cherche la valeur de t qui annule cette d�riv�e : 4t-8 = 0
Soit t = 2.
Si t < 2, 4t-8 est n�gatif ; si t > 2, 4t-8 est positif.
AM est minimal pour t = 2 et M0(2 ; 2 ; 0).
3. D�montrer que les droite (AM0) et d sont orthogonales.
AM0 est minimal : M0 est le projet� orthogonal de A sur la droite d.
4. On appelle A' (1 ; 3 ; 0) le projet� orthogonal du point A sur le plan d'�quation cart�sienne z = 0.
D�montrer que M0 est le point du plan (AA'M0) le plus proche du point O.

5. Calculer le volume de la pyramide OM0AA'.
B=Aire de base = aire du triangle rectangle OM0A' = OM0 x A'M0 / 2.
OM0 = (22+22) =8 ;
  A'M0 =(
(12+12) =2 ;
B =
8 x2 / 2 = 4 /2 = 2 unit�s d'aire.
Hauteur de la pyramide AA' = 2.
Volume de la pyramide : B x AA' / 3 = 2 x2 / 3 = 4 /3.

Exercice B ( �quation diff�rentielle, fonction exponentielle
On consid�re l'�quation diff�rentielle (E) : y' =y +2xex.
1. D�montrer que u(x) =
x2ex est une solution particuli�re de (E).
 Calcul de la d�riv�e en posant w = x2 et v = ex.
w'(x)=2x ; v'=ex ; w' v+ w v'= u ' =
2xex+ x2ex.
Repport dans (E) :

2xex+
x2ex = x2ex+2xexest v�rifi� quelque soit x.
u(x) = x2ex est donc une solution particuli�re de (E).
2. Soit f une fonction d�finie et d�rivable sur R. On note g la fonction d�finie sur R par :
g(x) = f(x) -u(x).
a. D�montrer que si f est solution de (E) alors  g est solution  de l'�quation diff�rentielle y' = y.
g '(x) = f '(x) -u '(x).
f(x) est solution de (E) : f '(x) = f(x) +
2xex.
u ' (x)= 2xex+ x2ex.
g '(x) =f '(x) -u '(x) =f(x)-x2ex = f(x) -u(x) = g(x) .
On admet que la r�ciproque de cette propri�t� est vraie.
b. R�soudre (E).
Solution g�n�rale de y' = y : g(x).
Solution particuli�re de (E) : u(x).
Solution g�n�rale de (E) : g(x) + u(x).
3. Etude de la fonction u.
a. Etudier le signe de u'(x) sur R.

b. Dresser le tableau de variation de la fonction u sur R ( les limites ne sont pas demand�es).
u ' (x)= 2xex+ x2ex = ex(x+2)x.

c. D�terminer le plus grand intervalle sur lequel  la fonction u est concave.
u'(x) = ex(x2+2x).
Calcul de la d�riv�e seconde en posant w = ex ; v =x2+2x.
w' = ex ; v' = 2x+2.
w" = ex(x2+2x) +2(x+1)ex =ex(
x2+4x+2) .
ex >0, le signe de u"(x) est celui de
x2+4x+2.
Racines de
x2+4x+2=0
D =42-8 = 8.
x1 = (-4+8) / 2 ~ -0,59 et x2 =
x1 = (-4-8) / 2 ~ -3,4.
La d�riv�e seconde �tant n�gative sur ] (-4-8) / 2 ; (-4+8) / 2 [, la fonction u est concave sur cet intervalle.



  
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