Math�matiques
: QCM, probabilit�s, fonction, suite, g�om�trie, bac M�tropole 2021.
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Exercice
1. QCM. 4 points.
Soit la fonction f d�finie sur [0 ; +oo[ par : f(x) = e2x /
x.
On donne la d�riv�e seconde f "(x) =2e2x(2x2-2x+1)
/x3.
1. La fonction f ',
d�riv�e de f est d�finie par :
2e2x ; e2x(x-1) /x2 ; e2x(2x-1)
/x2 vrai ; e2x(2x+1)
/x2 .
On pose u = e2x ; v = x ; u' = 2 e2x ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 =(2x e2x -e2x) / x2
=e2x(2x-1)
/x2 .
2. La fonction f :
est d�croissante ;
est monotone ;
admet un minimum en 0,5 ; vrai
admet un maximum en
0,5.
Etude du signe de la d�riv�e : e2x /x2 >0.
Le signe de la d�riv�e est celui de 2x-1.
f '(x) = 0 si x = 0,5.
f '(x) > si x > 0,5 ; f (x) croissante.
f '(x) < 0 si x < 0,5 et f(x) d�croissante.
3. La fonction f
admet pour limite en plus l'infini.
+oo vrai ; 0 ; 1 ; e2x.
Par croissance compar�e e2x / x tend vers plus l'infini
quand x tend vers plus l'infini.
4. La fonction f est :
concave
sur ]0 ; +oo[ ;
convexe sur ]0 ; +oo[ ; vrai.
concave sur ]0 ;
0,5[ ;
est repr�sent�e par une courbe pr�sentant un point d'inflexion.
f
"(x) =2e2x(2x2-2x+1) /x3 .
Etude du signe de la d�riv�e seconde.
2e2x/x3 positif sur ]0
; +oo[ ;
Etude du signe de 2x2-2x+1 :
Discriminant D =
(-2)2-4*2 = -4, aucune racine r�elles.
2x2-2x+1 >0.
La d�riv�e seconde �tant positive, la fonction f(x) est convexe.
Exercice 2. ( 5
points).
Une cha�ne de fabrication produit des pi�ces m�caniques. On estime que
5 % des pi�ces sont d�fectueuses.
Un test mis au point a deux r�sultats possibles : positif ou bien
n�gatif.
On applique ce test � une pi�ce choisie au hasard dans la production.
On note les �v�nements suivants :
D : pi�ce d�fectueuse.
T : test positif.
La probabilit� qu'une pi�ce pr�sente un test positif sachant qu'elle
est d�fectueuse est 0,98.
La
probabilit� qu'une pi�ce pr�sente un test n�gatif sachant qu'elle n'est
pas d�fectueuse est 0,97.
Partie1.
1. Traduire la
situation � l'aide d'un arbre pond�r�.
2.a D�terminer la
probabilit� qu'une pi�ce choisie au hasard soit d�fectueuse et pr�sente
un test positif.
b. D�montrer que
P(T) = 0,0775.
3.
On appelle valeur pr�dictive positive du test la probabilit� qu'une
pi�ce soit d�fectueuse sachant que le test est positif. Pour �tre
efficace un test doit avoir une valeur pr�dictive positive sup�rieure �
0,95.
Calculer cette valeur pr�dictive positive. Le test est-il efficace ?
PT(D) =P(T n D) / P(T) = 0,049 / 0,0775 ~0,63 < 0,95.
Le test n'est pas efficace.
Partie
II.
On choisit un �chantillon de 20 pi�ces. On note X la
variable
al�atoire qui donne le nombre de pi�ces d�fectueuses de cet
�chantillon. On rappelle que p(D) = 0,05).
1. Justifier que X
suit une loi binomiale et d�terminer les param�tres de cette loi.
On
choisit 20 pi�ces de mani�re ind�pendante. Deux issues sont possibles "
la pi�ce est bonne " ou" la pi�ce est d�fectueuse".
On
r�p�te 20 fois une �preuve de Bernoulli.
X
suit une loi binomiale de param�tre n =20 ; p = 0,05.
2. Calculer la probabilit� que cet
�chantillon contienne au moins une pi�ce d�fectueuse.
P (X > 1)
=1-P(X=0) = 1-0,358 =0,642.
3. Calculer
l'esp�rance de la variable X et interpr�ter.
E = np = 20 x0,05 = 1.
En moyenne, chaque �chantillon contient une pi�ce d�fectueuse.
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Exercice 3. (6 points).
C�cile sort les g�teaux du congelateur � -19�C et les apporte sur la
terrasse o� la temp�rature est 25�C.
Au bout de 10 minutes la temp�rature des g�teaux est1,3 �C.
I. Premier mod�le.
On suppose que la vitesse de d�congelation des g�teaux est constante,
c'est � dire que l'augmentation de la temp�rature est lam�me minute
apr�s minute.
Selon ce mod�le, d�terminer la temp�rature des g�teaux 25 minutes apr�s
la sortie du congelateur. Ce mod�le est-il pertinent ?
En 10 minutes, la temp�rature des g�teaux augmente de 20,3 �C, soit
2,03 �C par minute.
Selon ce mod�le, la temp�rature des g�teaux serait de -19 +2,03 x25 =
-19 +50,75 =31,75 �C.
Impossible, la temp�rature finale des g�teaux ne peut pas d�passer la
temp�rature ambiante 25�C.
Second mod�le.
On note Tn la temp�rature des g�teaux au bout de n minutes
apr�s leur sortie du cong�lateur. T0 = -19�C.
L'�volution de la temp�rature est donn�e par : Tn+1- Tn
= -0,06 (Tn-25).
1. Justifier
que Tn+1 = 0,94 Tn +1,5.
Tn+1= Tn
-0,06 Tn+0,06 x25.
Tn+1 = 0,94 Tn
+1,5.
2. Calculer T1
et T2.
T1 = 0,94 T0+1,5 = -0,94 x 19 +1,5 =-16,36 ~-16,4
�C.
T2 = 0,94 T1+1,5
= -0,94 x 16,36 +1,5 =-13,88 ~-13,9 �C.
3. D�montrer par r�currence que Tn
< 25.
Initialisation
: T1 = -16,4, la propri�t� est vraie au rang 1.
H�r�dit� :
la propri�t� est suppos�e vraie au rang n.
Tn < 25.
Tn+1 = 0,94 Tn
+1,5.
Tn+1 < 25.
Conclusion
: la propri�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire, elle est vraie pour
tout entier n.
Cette situation est pr�visible, la temp�rature des g�teaux ne peut pas
d�passer la temp�rature ambiante.
4.
Etudier le sens de variation de cette suite.
Tn+1- Tn
= -0,06 (Tn-25) avec Tn < 25.
-0,06 (Tn-25) est
donc positif ou nul.
Tn+1- Tn
> 0,la
suite est croissante.
5. D�montrer
que cette suite est convergente.
Cette suite est croissante et born�e par 25, donc elle converge.
6. On pose pour tout entier n, Un
= Tn-25.
a. Montrer que (Un) est
une suite g�om�trique dont on pr�cisera la raison et le premier terme.
Un+1 = Tn+1-25.
Tn+1 = 0,94 Tn
+1,5.
Un+1 =0,94 Tn
+1,5 -25.
Un+1 =0,94 Tn
-23,5.
Un+1 = 0,94(Tn-25) = 0,94 Un.
(Un) est une
suite g�om�trique de raison 0,94 et de premier terme :
U0 = T0-25 = -19-25 = -44.
b. En d�duire que Tn =
-44 x0,94n+25.
Un = -44 x0,94n.
Un = Tn-25.
Tn = Un+25.
Tn = -44 x0,94n+25.
c. En d�duire la limite de (Tn).
-1 < 0,94 < 1, donc 0,94n
tend vers z�ro quand n tend vers plus l'inifini.
(Tn) tend vers 25, la temp�rature ambiante.
7.a Le fabricant
conseille de consommer les g�teaux au bout d'une demi-heure �
temp�rature ambiante apr�s leur sortie du congelateur. Quelle est alors
la temp�rature des g�teaux ?
n = 30 ; T30 =-44 x0,9430 +25 ~18�C.
b. C�cile aime
d�guster ces g�teaux � la temp�rature de 10�C. Donner un encadrement
entre deux entiers cons�cutifs du temps en minutes apr�s lequel C�cile
doit d�guster son g�teau.
-44
x0,94n+25 = 10 ;
15 = 44 x0,94n ; 0,94n
= 15 /44 ;
n = ln(15/44) / ln(0,94) ~17,4 minutes. [17 ; 18 min].
c. Le programme suivant renvoye la
polus petite valeur de l'entier n pour laquelle Tn > 10. Le compl�ter.
defseuil()
n=0
T = -19
while T <=10 :
T = -44*0,94^n+25
n = n+1
return n
Exercice A (
G�om�trie dans l'espace).
1. D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite d.
x = t ; y = t ; z = 0 avec t r�el.
2. Soit t un nombre r�el et M un point de la droite d ayant pour cooordonn�es (t ; t ; 0).
a. On note AM la distance entre les points A et M. D�montrer que : AM2 = 2t2-8t+14.
Coordonn�es de AM ( t-1 ; t-1 ; 0).
AM2 = (t-1)2 +(t-3)2 +22=t2-2t+1 +t2-6t+9 +4=2t2-8t+14.
b. D�montrer que le point M0 de coordonn�es (2 ; 2 ; 0) est le point de la droite d pour lequel la distance AM est minimale.
AM est minimale quand AM2 est minimale.
On d�rive 2t2-8t+14 et on cherche la valeur de t qui annule cette d�riv�e : 4t-8 = 0
Soit t = 2.
Si t < 2, 4t-8 est n�gatif ; si t > 2, 4t-8 est positif.
AM est minimal pour t = 2 et M0(2 ; 2 ; 0).
3. D�montrer que les droite (AM0) et d sont orthogonales.
AM0 est minimal : M0 est le projet� orthogonal de A sur la droite d.
4. On appelle A' (1 ; 3 ; 0) le projet� orthogonal du point A sur le plan d'�quation cart�sienne z = 0.
D�montrer que M0 est le point du plan (AA'M0) le plus proche du point O.
5. Calculer le volume de la pyramide OM0AA'.
B=Aire de base = aire du triangle rectangle OM0A' = OM0 x A'M0 / 2.
OM0 = (22+22)� =8� ;
A'M0 =( (12+12)� =2� ;
B =8� x2� / 2 = 4 /2 = 2 unit�s d'aire.
Hauteur de la pyramide AA' = 2.
Volume de la pyramide : B x AA' / 3 = 2 x2 / 3 = 4 /3.
Exercice B ( �quation diff�rentielle, fonction exponentielle
On consid�re l'�quation diff�rentielle (E) : y' =y +2xex.
1. D�montrer que u(x) = x2ex est une solution particuli�re de (E).
Calcul de la d�riv�e en posant w = x2 et v = ex.
w'(x)=2x ; v'=ex ; w' v+ w v'= u ' = 2xex+ x2ex.
Repport dans (E) :
2xex+ x2ex = x2ex+2xexest v�rifi� quelque soit x.
u(x) = x2ex est donc une solution particuli�re de (E).
2. Soit f une fonction d�finie et d�rivable sur R. On note g la fonction d�finie sur R par :
g(x) = f(x) -u(x).
a. D�montrer que si f est solution de (E) alors g est solution de l'�quation diff�rentielle y' = y.
g '(x) = f '(x) -u '(x).
f(x) est solution de (E) : f '(x) = f(x) +2xex.
u ' (x)= 2xex+ x2ex.
g '(x) =f '(x) -u '(x) =f(x)-x2ex = f(x) -u(x) = g(x) .
On admet que la r�ciproque de cette propri�t� est vraie.
b. R�soudre (E).
Solution g�n�rale de y' = y : g(x).
Solution particuli�re de (E) : u(x).
Solution g�n�rale de (E) : g(x) + u(x).
3. Etude de la fonction u.
a. Etudier le signe de u'(x) sur R.
b. Dresser le tableau de variation de la fonction u sur R ( les limites ne sont pas demand�es).
u ' (x)= 2xex+ x2ex = ex(x+2)x.
c. D�terminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction u est concave.
u'(x) = ex(x2+2x).
Calcul de la d�riv�e seconde en posant w = ex ; v =x2+2x.
w' = ex ; v' = 2x+2.
w" = ex(x2+2x) +2(x+1)ex =ex( x2+4x+2) .
ex >0, le signe de u"(x) est celui de x2+4x+2.
Racines de x2+4x+2=0
D =42-8 = 8.
x1 = (-4+8�) / 2 ~ -0,59 et x2 =x1 = (-4-8�) / 2 ~ -3,4.
La d�riv�e seconde �tant n�gative sur ] (-4-8�) / 2 ; (-4+8�) / 2 [, la fonction u est concave sur cet intervalle.
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