Saut � l'�lastique, bac M�tropole 2021.

Le saut se d�roule en trois phases.
Phase 1 : chute libre, �lastique non tendu.
Phase 2 : l'�lastique se tend, le sauteur ralentit. Il s'arr�te quand l'�lastique est compl�tement �tir�.
Phase 3 : l'�lastique se contracte, le sauteur remonte en reprenant de la vitesse puis en ralentissant � nouveau.
Ces trois phases se r�p�tent jusqu'� ce que le sauteur soit immobile. La dur�e du saut est de l'ordre d'une minute.
La saut est �ffectu� � partir d'un pont situ� � une hauteur H = 50 m au dessus du sol.
Longueur de l'�lastique non �tir� : L₀ = 8,0 m.
Phase 1. On suppose que le mouvement est vertical. Vitesse initiale du sauteur v₀.
Le r�f�rentiel d'�tude est le r�f�rentiel terrestre. L'axe Oz est vertical, dirig� vers le haut, l'origine est au sol.
1. D�terminer les coordonn�es du vecteur acc�l�ration.
La chute est libre : a = -g.
2 Etablir que l'�quation horaire du mouvement est z = -�gt² -v₀t +H.
Le vecteur vitesse est une primitive du vecteur acc�l�ration et la vitesse initiale est v₀, verticale orient�e vers le bas.
v = -gt -v₀.
La position est une primitive du vecteur vitesse et la position initiale est H.
z = -�gt² -v₀t +H.
3. Apr�s traitement de la vid�o d'un saut, on obtient l'�quation horaire suivante :
z = -4,9 t²-1,10 t +49,8.
Cette mod�lisation est'elle coh�rente avec l'expression pr�c�dente ?
Oui : -4,9 correspond � -�g ;
La hauteur du pont 50 m est proche de 49,8 m ;
La vitesse initiale est faible et orient�e vers le bas.
4. Calculer la date � laquelle l'�lastique commence � se tendre.
z =49,8- 8,0 =41,8 m.
41,8 = -4,9 t² -1,10 t+49,8.
4,9 t² +1,10 t-8=0.
Discriminant D =1,1² +4*8*4,9 =158,01 ~12,57².
Racine positive retenue : (-1,10+12,57) / 9,8 =1,17 ~1,2 s..
5. En d�duire la vitesse � cet instant.
|v| =| -9,8x1,2 -1,1| =12,6 ~13 m /s.
6. Lors du saut, les diff�rentes �nergies sont repr�sent�es ci-dessous. L'�nergie potentielle de pesanteur est prise �gale � z�ro au sol. Pour une de ces �nergies, les calculs n'ont pu �tre effectu�s que sur la premi�re phase du saut ( courbe A).

6.1. Identifier chaque courbe en justifiant.
A : au cours d'une chute libre l'�nergie m�canique se conserve.
B : l'�nergie potentielle de pesanteur diminue jusqu'� ce que l'�lastique soit compl�tement �tir�, puis augmente ensuite.
C. L'�nergie cin�tique cro�t, puis diminue quand l'�lastique commence � se tendre. Elle s'annule quand l'�lastique est compl�tement �tir�.
6.2. Identifier l'(les) informations manquante(s) sur le syst�me physique �tudi� n�cessaire au trac� de la suite de la courbe A.
La raideur de l'�lastique.
6.3 Pour des raisons de s�curit�, l'�lastique est choisi tel que son �tirement DL soit inf�rieur ou �gal � 4 L₀. Calculer la distance maximale parcourue par le sauteur. Conclure.
Etirement maximal : 4 x8 = 32 m.
Distance maximale parcourue : 32 +8 = 40 m.
Cette valeur �tant inf�rieure � 50 m, le sauteur ne s'�crase pas au sol.