Pr�parer un th�, loi du refroidissement de Newton, bac SI M�tropole 2021.

Etude de l'�volution de la temp�rature de l'eau d'une bouilloire apr�s que le sispositif a coup� l'alimentation de la r�sistance de la bouilloire.
Evolution de la temp�rature de l'eau au cours du temps.

Le syst�me �tudi� est constitu� de la bouilloire et d'un litre d'eau port�, � l'instant choisi comme origine des temps, � la temp�rature T_i = 100�C. Le syst�me est ensuite laiss� en contact avec le milieu ext�rieur consid�r� comme un thermostat � la temp�rature T₀ = 20�C. La temp�rature externe de la bouilloire est suppos�e �gale � chaque instant � la temp�rature de l'eau. On note T(t) la temp�rature du syst�me � l'instant t. On note C la capacit� thermique du syst�me.
On mod�lise les transferts thermiques du syst�me par la loi de Newton.
F = h S( T₀-T(t).
F : flux thermique convectif en W.
h : coefficient d'�change convectif en W m^-2 K^-1.
S : surface lat�rale de la bouilloire.
1. On souhaite effectuer le bilan d'�nergie pour le syst�me �changeant de l'�nergie par un transfert thermique avec l'air ext�rieur entre les instant t et t+dt. On suppose que dt est petit devant la dur�e typique de l'�volution de la temp�rature. Etablir la relation suivante :
C(T(t + dt)-T(t)) = h S( T₀-T(t). dt.
Variation d'�nergie interne du syst�me ( �nergie perdue par le syst�me) en dt seconde :
dQ = C(T(t + dt)-T(t)).
Loi du refroidissement de Newton :
F = h S( T₀-T(t).
Energie correspondante : h S( T₀-T(t). dt.
2. Etablir l'�quation diff�rentielle v�rifi�e par la temp�rature T du syst�me. Montrer qu'on peut l'�crire sous la forme :
dT /dt = a(T₀-T(t)).
Quand dt tend vers 0 : (T(t + dt)-T(t)) tend vers dT.
C dT=h S( T₀-T(t). dt.
dT / dt = hS / C ( T₀-T(t)).
On pose a = hS / C.
3. Expliquer qualitativement comment �volue la valeur absolue de la pente de la courbe repr�sentant la temp�rature du syst�me en fonction du temps lorsque l'eau de la bouilloire se refroidit.
dT / dt soit a ( T₀-T(t)) repr�sente la pente de la tangente.
Or T₀-T(t) diminue, donc la pente de cette tangente diminue au cours du temps.
4. D�terminer graphiquement la dur�e typique 1/ a = t.

5. Indiquer en justifiant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses :
a. La dur�e t sera d'autant plus grande que la quantit� d'eau dans la bouilloire sera faible. Faux.
t =C / (hS) .
C est d'autant plus petit que la masse d'eau est faible.
b. La dur�e t diminue si on place la bouilloire sur le rebord d'une fen�tre en hiver ( 5�C). Vrai.
a est constant ; ( T₀-T(t)) cro�t.
La valeur absolue de la pente de la tangente � l'origine est plus grande.
c. La dur�e t diminue si la bouilloire se trouve dans une pi�ce fortement ventill�e. Vrai.
t =C / (hS) et h augmente du fait de la ventillation.
6. Pour consommer un th�, il est recommand� de d�buter l'infusion avec une eau � 90�C. On fait bouillir un litre d'eau dans une bouilloire ne disposant pas d'un syst�me de r�glage de la temp�rature.
Evaluer la dur�e du refroidissement du syst�me de 100 � 90�C.