Mesurer
la profondeur de l'eau, bac S M�tropole 2020.
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1. Sondage � main par un marin situ� sur un bateau.
Un lest ( objet massif) est attach� � l'extr�mit� d'une corde gradu�e ;
il est ensuite jet� par dessus bord. La mesure de la profondeur de
l'eau est obtenue en estimant la longueur de corde lorsque le marin
sent que le lest touche le fondde l'eau.
Pour illustrer ce principe, une exp�rience est r�alis�e en laboratoire.
Un lest de masse m = 100 g est attach� � une corde peu extensible de
longueur L et de masse n�gligeable. Un capteur mesure la tension T
qu'exerce la corde sur le lest. Lorsdque la corde n'est pas tendue, la
tension est nulle.
Une s�rie de mesures avec des cordes de plus en plus longues est
r�alis�e. Pour les premi�res mesures, le lest est hors de l'eau.
Pour quelques points ( longueur de corde en cm ; tension de la corde en mN) sont donn�es entre parenth�ses.
1.1. Etude du syst�me en dehors de l'eau.
Le lest n'est pas plong� l'eau et la corde est tendue.
1.1.1. Effectuer le bilan des forces qui s'exercent sur le lest.
Le lest est soumis � son poids , vertical, vers le bas, valeur P = mg, et � la tension de la corde, verticale vers le haut.
1.1.2. D�terminer la norme de la tension de la corde. Indiquer si la valeur mesur�e par le capteur est coh�rente avec ce r�sultat.
D'apr�s la premi�re loi de Newton, � l'�quilibre, le pois du lest et la tension de la corde sont oppos�es.
T = mg = 0,100 * 9,81 = 0,981 N = 981 mN.
Ecart relatif (1000-981)/ 1000 = 0,019 ( 1,9 %). Les r�sultats sont coh�rents.
1.1.3. Exploiter les r�sultats pour estimer la longueur de la corde pour laquelle le lest touche l'eau.
Tant que le lest ne touche pas l'eau, la tension de la corde est constante, voisine de 980 mN.
Longueur cherch�e : L = 53,3 cm.
1.2 Etude du syst�me dans l'eau.
Le lest est int�gralement plac� sous la surface de l'eau sans reposer au fond.
1.2.1 Indiquer � quelle nouvelle force le lest est maintenant soumis.
Pous�e d'Archim�de, verticale, vers le haut, valeur : reau g Volume lest.
1.2.2. Exploiter
les r�sultats pour d�terminer la valeur de cette nouvelle force.
D�terminer la valeur du volume du lest et en d�duire si le lest est
enti�rement constitu� de plomb ou non.
Masse volumique du plomb : 11,4 g cm-3.
Valeur de la pouss�e : 980 -856 ~124 mN = 0,124 N.
Volume lest = 0,124 / (9,81 * 1000) =1,26 10-5 m3 =12,6 cm3.
Masse volumique du lest : 100 / 12,6 ~ 7,9 g cm-3.
Le lest n'est pas constitu� enti�rement en plomb, mais plut�t en acier.
1.2.3 Quelle situation rep�sente le point P ?
La tension de la corde �tant nulle, le lest repose sur le fond.
1.2.4 Estimer la profondeur h de l'eau.
h = 64 -54 = 10 cm.
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2. Sondage avec un sonar.
Pour sonder le fond marin, on utilise un sonar compos� d'un �metteur � ultrasons E, situ� � �gale distance de deux r�cepteurs R1 et R2. Ce sonar est inclin� d'un angle a
par rapport � la verticale. L'�metteur �met des salves ultrasonores qui
se propagent vers le fond marin qui les renvoie dans toutes les
directions.
C�l�rit� des ondes ultrasonores dans l'eau v = 1,53 km / s.
On repr�sente ci-dessous, sans aucun souci d'�chelle, la simulation des signaux re�us au cours du temps par les r�cepteurs R1 et R2.
2.1 Associer une simulation � chacun des points A, B, C du fond marin. Justifier.
B : simulation 1 ; le point B �tant � �gale distance des r�cepteurs,
les signaux re�us pr�sentent le m�me retard par rapport au signal �mis.
A : simulation 2 ; le point A �tant plus proche de R1 que de R2, R1 re�oit un signal avec un retard plus faible par rapport au signal �mis.
C : simulation 3 ; le point C �tant plus proche de R2 que de R1, R2 re�oit un signal avec un retard plus faible par rapport au signal �mis.
Le sonar mesure pr�cis�ment la valeur de la dur�e qui s�pare l'�mission
des ultrasons et la r�ception des �chos issus du point B : Dts = 27,7 ms. On donne a = 30�.
2.2. En d�duire la profondeur h du fond.
Les distances EB, BR1 et BR2 sont consid�r�es comme �gales.
EB + BR1 = v Dts ; EB = v Dts / 2 = 27,7 10-3 x 1,53 103 /2 = 21,19 m.
h = EB sin 30 = 21,19 x 0,5~ 10,6 m.
3. Sondage avec LIDAR.
Le DIDAR fonctionne avec le m�me principe que le sonar en employant des
ondes �lectromagn�tiques. Une br�ve onde �lectromagn�tique est �mise
par le LIDAR en direction d'un obstacle et l'appareil mesure la dur�e Dt au bout de laquelle l'�cho lui revient.
Un LIDAR est plac� dans un avion qui survole la zone � �tudie, il �met
des signaux �lectromagn�tique, une partie de ces signaux est r�fl�chie
par la surface de l'eau, une autre partie est r�fl�chie par le
fond marin.
3.1 Etude des ondes �lectromagn�tiques employ�es.
Le LIDAR est �quip� d'un laser qui �met des ondes �lectromagn�tiques dont la longueur d'onde dans le vide est l = 1,064 �m.
3.1.1 Dans quel domaine du spectre �lectromagn�tique ces ondes sont-elles situ�es ? Justifier.
Les longueurs d'onde du spectre visible sont comprises entre 0,400 et 0,800 �m.
1,064 �m appartient au proche infrarouge.
Tous les rayonnements ne se propagent pas de la m�me mani�re dans
l'eau. L'absorption par cm d'eau d'une onde �lectromagn�tique indique
la proportion de l'intensit� lumineuse absorb�e par cm parcouru dans
l'eau par cette onde.
3.1.2. D�terminer si le rayonnement �lectromagn�tique produit par le laser est appropri� pour d�tecter le fond marin. Justifier.
Un rayonnement de longueur d'onde dans le vide voisine de 1 �m est absorb� d'environ 30 % par cm d'eau.
Le rayonnement �lectromagn�tique produit par le laser n'est pas appropri� pour d�tecter le fond marin.
3.1.3 Des
dispositifs permettent soit de doubler soit de tripler la fr�quence des
ondes �lectromagn�tiques. D�terminer s'il est plus appropri� de doubler
ou de tripler la fr�quence du rayonnement �mis par le laser pour
d�tecter le fond marin. Justifier.
En doublant la fr�quence, on divise par 2 la longueur d'onde :
1,064 / 2 =0,532 �m. L'absorption d'un tel rayonnement par cm d'eau est
proche de z�ro.
En triplant la fr�quence, on divise par 3 la longueur d'onde : 1,064 / 3
=0,355 �m. L'absorption d'un tel rayonnement par cm d'eau est proche de 0,2 % ( soit 20 % par m�tre d'eau).
Il vaut mieux doubler la fr�quence des ondes �lectromagn�tiques.
La c�l�rit� d'une onde �lectromagn�tique dans l'eau � 20 �C vaut 2,26 108 m /s pour le domaine de longueur d'onde utilis�.
Au cours d'un vol au dessus de l'eau, le capteur LIDAR plac� dans
l'avion �met un signal dont il capte deux �chos apr�s des dur�es Dt1 = 2,67 �s et Dt2 = 3,04 �s.
D�terminer les valeurs de l'altitude de la hauteur de vol au dessus de l'eau et de la profondeur de l'eau survol�e.
On note h l'altitude de vol au dessus de l'eau :
2 h = c Dt1 ; h =0,5 c Dt1 =0,5 *3,00 108 *2,67 10-6 =400,5 m ~ 400 m.
On note p la profondeur de l'eau survol�e : 2 p = v (Dt2 -Dt1 ) ;
p = 0,5 *2,26 108 *(3,04-2,67) 10-6 =41,81 ~41,8 m.
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