Math�matiques, suites r�currentes, logarithme, bac septembre 2021. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. .. .. . . .. .. ...... ... Suites r�currentes. 5 points On consid�re les suites (un) et (vn) d�finies par : u0 = 16 ; v0 =5 ; et pour tout entier naturel n : un+1=(3un +2vn) / 5. vn+1 =(un +vn) / 2. 1. Calculer u1 et v1. u1=(3u0 +2v0) / 5 =(48+10) / 5 =11,6. v1 =(u0 +v0) / 2 =21 / 2 = 10,5. 2. On consid�re la suite (wn) d�finie pour tout entier naturel n par : wn = un −vn. a. D�montrer que la suite (wn) est g�om�trique de raison 0,1. En d�duire, pour tout entier naturel n, l’expression de wn en fonction de n. wn+1 = un+1 −vn+1. wn+1 =(3un +2vn) / 5 - (un +vn) / 2. wn+1 =(6un +4vn-5un -5vn) / 10 = (un −vn) / 10 = wn /10. wn =w0 0,1n=16 x0,1n. b. Pr�ciser le signe de la suite (wn) et la limite de cette suite. wn >0 . -1 < 0,1 < 1, alors 0,1n tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini. La limite de la suite (wn) est �gale � z�ro. 3. a. D�montrer que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 −un = −0,4wn. un+1-un=(3un +2vn) / 5 -5 un / 5 =(-2un +2vn) / 5 = -0,4 wn b. En d�duire que la suite (un) est d�croissante. wn > 0  ; −0,4wn.< 0 ; un+1-un< 0 ; un+1< un. La suite (un) est donc d�croissante.  On peut d�montrer de la m�me mani�re que la suite (vn) est croissante. On admet ce r�sultat, et on remarque qu’on a alors : pour tout entier naturel n, vn >v0 =5. c. D�montrer par r�currence que, pour tout entier naturel n, on a : un >5. En d�duire que la suite (un) est convergente. On appelle ℓ la limite de (un). Initialisation : u0 = 16, la propri�t� est vraie au rang z�ro. H�r�dit� : la propri�t� est suppos�e vraie au rang n soit un > 5. un+1=(3un +2vn) / 5 et un > 5. et vn > 5, alors : (3un +2vn )/ 5 >25 / 5 =5. Donc  un+1 > 5. Conclusion : la propri�t� est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire, elle est vraie pour tout entier n. La suite (un ) est d�croissante et born�e, elle est donc convergente. On peut d�montrer de la m�me mani�re que la suite (vn) est convergente. On admet ce r�sultat, et on appelle ℓ′ la limite de (vn). 4. a. D�montrer que ℓ = ℓ′. wn = un −vn. La limite de la suite (wn) est �gale � z�ro. ℓ - ℓ′=0. b. On consid�re la suite (cn) d�finie pour tout entier naturel n par : cn = 5un +4vn. D�montrer que la suite (cn) est constante, c’est-�-dire que pour tout entier naturel n, on a : cn+1 = cn. En d�duire que, pour tout entier naturel n , cn = 100. cn+1 = 5un+1 +4vn+1 = 3un +2vn+2un +2vn=5un +4vn = Cn. cn =c0 = 5u0 +4v0 =5 x16 + 4 x5 = 100. c. D�terminer la valeur commune des limites ℓ et ℓ′. 100 = 5un +4vn. wn = un −vn. wn tend vers z�ro si n devient grand, donc ℓ = ℓ′. 100 = 5 ℓ +4ℓ′ = 9 ℓ  = 9ℓ′ . ℓ′ = ℓ = 100 / 9. ... .... Logarithme (5 points). Partie 1. Le graphique ci-dessous donne la repr�sentation graphique dans un rep�re orthonorm� de la fonction f d�finie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f (x) =(2ln(x)−1) / x. 1. D�terminer par le calcul l’unique solution α de l’�quation f (x) =0. 2ln(a)−1 = 0 ; ln(a) = 0,5 ; a = e0,5~1,65. On donnera la valeur exacte de α ainsi que la valeur arrondie au centi�me. 2. Pr�ciser, par lecture graphique, le signe de f (x) lorsque x varie dans l’intervalle ]0 ; +∞[. f(x) < 0 sur ] -oo ; a [. f(x) > 0 sur ]  a ; +oo [. Partie II. On consid�re la fonction g d�finie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : g(x) = [ln(x)]2−ln(x). 1. a. D�terminer la limite de la fonction g en 0. g(x) = ln(x) ( ln(x)-1). ln(x) et ln(x)-1 tendent vers moins l'infini quand x tend vers z�ro. g(x) tend vers plus l'infini si x tend vers z�ro. b. D�terminer la limite de la fonction g en +∞. ln(x) et ln(x)-1 tendent vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini. g(x) tend vers plus l'infini si x tend vers plus l'infini. 2. On note g′ la fonction d�riv�e de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[. D�montrer que, pour tout nombre r�el x de ]0 ; +∞[, on a : g′(x) = f (x), o� f d�signe la fonction d�finie dans la partie I. g'(x) = 2 ln(x) / x -1 /x = (2ln(x) -1) / x = f(x). 3. Dresser le tableau de variations de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[. On fera figurer dans ce tableau les limites de la fonction g en 0 et en +∞, ainsi que la valeur du minimum de g sur ]0 ; +∞[. 4. D�montrer que, pour tout nombre r�el m > −0,25, l’�quation g(x) =m admet exactement deux solutions. D'apr�s le tableau de variations ci-dessus, g(x) > -0,25. g(x) est strictement d�croissante sur ]0 ; e0,5[ de +oo � -0,25 et g(x) est strictement croissante sur ] e0,5 : +oo[  de -0,25 � +oo. Pour tout nombre r�el m > −0,25, l’�quation g(x) =m admet donc exactement deux solutions. 5. D�terminer par le calcul les deux solutions de l’�quation g(x) = 0. ln(x) ( ln(x)-1)=0. ln(x) = 0 soit x = 1. ln(x)-1=0 ; ln(x) = 1 soit x = e.

menu