Math�matiques,
fonction, suite r�currente, probabilit�s, bac septembre 2021.
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QCM. 4 points.
Une seule r�ponse exacte.
Aucune justification
n'est demand�e.
Le graphique ci-dessous donne la repr�sentation graphique Cf
dans un rep�re orthogonal d’une fonction f d�finie et d�rivable sur R.
On notera f ′ la fonction d�riv�e de f .
On donne les points A de coordonn�es (0; 5) et B de coordonn�es (1;
20). Le point C est le point de la courbe Cf ayant
pour abscisse −2,5 . La droite (AB) est la tangente � la courbe Cf
au point A.
Les questions 1 � 3 se rapportent � cette m�me fonction f .
1. On peut affirmer que :
a. f ′(−0,5) = 0.
b. si x ∈]−∞;
−0,5[, alors f ′(x) < 0
c. f ′(0) = 15. Vrai.
Le coefficient directeur
de la tangente � la courbe au point A vaut 15.
d. la fonction
d�riv�e f ′ ne change pas de signe sur R.
2. On admet que la
fonction f repr�sent�e ci-dessus est d�finie sur R par f (x) = (ax +b)ex
, o� a et b sont deux nombres r�els et que sa courbe coupe l’axe des
abscisses en son point de coordonn�es (−0,5 ; 0).
On peut affirmer que :
a. a = 10 et b =5. Vrai.
b. a = 2,5 et b =
−0,5
c. a = −1,5 et b =
5.
d. a = 0 et b = 5.
f(-0,5) =(-0,5 a+b)e-0,5
= 0 soit -0,5 a+b = 0 : b = 0,5 a.
3. On admet que la
d�riv�e seconde de la fonction f est d�finie sur par :
f ′′(x) = (10x +25)ex .
On peut affirmer que :
a. La fonction f
est convexe sur R
b. La fonction f
est concave sur R
c. Le point C est
l’unique point d’inflexion de Cf. Vrai.
d. Cf
n’admet pas de point d’inflexion.
ex
< 0 ; 10 x +25 >0 si x > -2,5 et f est convexe sur ]
-2,5 ; + oo[.
10 x +25 <0 si x < -2,5 et f
est concave sur ] -oo ; -2,5[.
f "=0 si x = -2,5, la
d�riv�e seconde s'annule et change de signe.
4. On consid�re deux suites (Un)
et (Vn) d�finies sur N telles que :
• pour tout entier naturel n, Un < Vn ;
La limite de (Vn) est �gale � 2 en plus l'infini.
On peut affirmer que :
a. la suite (Un)
converge
b. pour tout entier
naturel n, Vn <
2
c. la suite (Un)
diverge
d. la suite (Un)
est major�e.
Un < Vn et Vn
< 2 :
donc la suite (Un)
est major�e.
Suite r�currente. 5 points.
Soit f la fonction d�finie sur l’intervalle �] -1 /3 ; +oo[� par :
f (x) =4x / (1+3x)
On consid�re la suite (un) d�finie par : u0 =0,5
et, pour tout entier naturel n, un+1 = f (un).
1. Calculer u1
.
u1
= f (u0)=2 / (1+1,5) = 2 / 2,5 = 0,8.
2. On admet
que la fonction f est croissante sur l’intervalle �] -1 /3 ; +oo[
a. Montrer par
r�currence que, pour tout entier naturel n, on a : 0,5 < un < un+1
< 2.
Initialisation
: u0
=0,5 ; u1 = 0,8, donc 0,5 < u0 < u1
< 2. La
propri�t� est vraie au rang z�ro.
H�r�dit� :
on suppose la propri�t� vraie au rang n soit : 0,5 < un < un+1
< 2.
La fonction f est croissante sur l’intervalle �] -1 /3 ; +oo[, donc f(0,5)
< f(un)
< f(un+1) <
f(2).
0,8 < un+1
< un+2 < f(2) =8 /7.
La propri�t� est donc vraie au rang n+1.
Conclusion
: la propri�t� est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire, elle est
vraie pour tout entier n.
b. En d�duire
que la suite (un) est convergente.
La suite (un) est croissante et major�e, donc elle converge.
c. On appelle ℓ la
limite de la suite (un). D�terminer la valeur de ℓ.
un+1
= f (un) .l
= f(l) ; l =4l / (1+3l)
l+3l2 =4l ; 3l2 =3l ; l =1.
3. a. Recopier et compl�ter la
fonction Python ci-dessous qui, pour tout r�el positif E,
d�termine la plus petite valeur P tel que : 1−uP < E.
def seuil(E) :
u = 0,5
n = 0
while 1-u < E
u = 4*u / (1+3*u)
n=n+1
return n
b. Donner la valeur
renvoy�e par ce programme dans le cas o� E = 10−4.
1-4x /
(1+3x) < 10-4.
1+3x-4x < 10-4(1+3x).
1-x < 10-4 +3 10-4 x.
1-10-4 < (1+3 10-4) x.
x >(1-10-4) / (1+3 10-4).
x
~0,99990.
n
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
u
|
0,5
|
0,8
|
0,94117
|
0,9846
|
0,9961
|
0,9990
|
0,99975
|
0,99994
|
Le programme renvoie 7.
4.
On consid�re la suite (vn) d�finie, pour tout entier naturel
n, par :
vn =un / (1−un)
a. Montrer que la
suite (vn) est g�om�trique de raison 4 .
En
d�duire, pour tout entier naturel n, l’expression de vn en
fonction de n.
vn+1 =un+1 / (1−un+1).
un+1 =4un / (1+3un)
; 1−un+1=(1+3un-4un)
/ (1+3un) =(1-un)
/ (1+3un).
vn+1 =4un /(1-un)= 4 vn.
La suite (vn) est g�om�trique de raison 4.
vn = v0 4n
; v0
=u0 / (1−u0)= 0,5 / (1-0,5) = 1.
b. D�montrer
que, pour tout entier naturel n, on a : un = vn /
(vn +1).
vn
=un / (1−un) ; (1−un)vn
=un ; vn -un vn = un
; un(1+vn) = vn ; un = vn
/ (vn +1).
c. Montrer alors
que, pour tout entier naturel n , on a :
un =1/(1+0,25n).
Retrouver par le calcul la limite de la suite (un).
un = vn / (vn
+1)=4n /(4n+1)= 1 / (1+0,25n).
-1 < 0,25 < 1,alors 0,25n tend vers z�ro si n tend vers
plus l'infini et un tend vers 1.
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Probabilit�s (5 points).
Partie I.
Dans le parc national des Pyr�n�es, un chercheur travaille sur le
d�clin d’une esp�ce prot�g�e dans les lacs de haute-montagne : le �
crapaud accoucheur �.
Les parties I et II peuvent �tre abord�es de fa�on ind�pendante.
Partie I : Effet
de l’introduction d’une nouvelle esp�ce.
Dans certains lacs des Pyr�n�es, des truites ont �t� introduites par
l’homme afin de permettre des activit�s de p�che en montagne. Le chercheur a �tudi� l’impact de
cette introduction sur la population de crapauds accoucheurs d’un lac.
Ses �tudes pr�c�dentes l’am�nent � mod�liser l’�volution de cette
population en fonction du temps par la fonction f suivante :
f (t )= (0,04t 2 −8t +400)et/50 +40 pour t ∈ [0 ; 120]
La variable t repr�sente le temps �coul�, en jour, � partir de
l’introduction � l’instant t = 0 des truites dans le lac, et f (t )mod�lise le nombre de crapauds �
l’instant t .
1. D�terminer le nombre de crapauds pr�sents dans le lac lors de
l’introduction des truites.
f(0) =400 +40 = 440.
2. On admet que la fonction f est d�rivable sur l’intervalle [0; 120]
et on note f ′ sa fonction d�riv�e.
Montrer, en faisant apparaitre les �tapes du calcul, que pour tout
nombre r�el t appartenant � l’intervalle [0; 120] on a :
f ′(t )= t (t −100)et/50 �8�10−4.
3. �tudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0; 120],
puis dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle (on donnera des valeurs
approch�es au centi�me).
On pose u =0,04t 2 −8t +400 et v =et/50 .
u' = 0,08 t-8 ; v' = 0,02 et/50 .
u'v + v'u = 0,08(t-100)et/50 + 0,02(0,04t 2 −8t +400 )et/50.
f '(t) = 0,08et/50(t-100+0,01 t2-2t+100) =0,08et/50(0,01 t2-t)=0,08et/50(0,01 t- 1)t.
4. Selon cette mod�lisation :
a. D�terminer le nombre de jours J n�cessaires afin que le nombre de
crapauds atteigne son minimum. Quel est ce nombre minimum ?
Au bout de 100 jours il y a 40 crapauds.
b. Justifier que, apr�s avoir atteint son minimum, le nombre de crapauds
d�passera un jour 140 individus.
c. � l’aide de la calculatrice, d�terminer la dur�e en jour � partir de
laquelle le nombre de crapauds d�passera 140 individus ?
Partie II : Effet de la Chytridiomycose sur une population de t�tards.
Une des principales causes du d�clin de cette esp�ce de crapaud en
haute montagne est une maladie, la � Chytridiomycose �, provoqu�e par un champignon.
Le chercheur consid�re que :
• Les trois quarts des lacs de montagne des Pyr�n�es ne sont pas
infect�s par le champignon, c’est-�- dire qu’ils ne contiennent aucun t�tard (larve du crapaud)
contamin�.
• Dans les lacs restants, la probabilit� qu’un t�tard soit contamin�
est de 0,74.
Le chercheur choisit au hasard un lac des Pyr�n�es, et y proc�de � des
pr�l�vements.
Pour la suite de l’exercice, les r�sultats seront arrondis au milli�me
lorsque cela est n�cessaire.
Le chercheur pr�l�ve au hasard un t�tard du lac choisi afin d’effectuer
un test avant de le rel�cher.
On notera T l’�v�nement � Le t�tard est contamin� par la maladie � et L
l’�v�nement � Le lac est infect� par le champignon �.
1. Recopier et compl�ter l’arbre de probabilit� suivant en utilisant
les donn�es de l’�nonc� :
2. Montrer que la probabilit� P(T ) que le t�tard pr�lev� soit
contamin� est de 0,185.
3. Le t�tard n’est pas contamin�. Quelle est la probabilit� que le lac
soit infect� ?
Pnon T (L) =P(non T n L) / P(non T) =0,25 x 0,26 / (1-0,185)=0,0798.
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