Puissance rayonn�e par la lune, bac septembre 2021.

En 1939, les physiciens Pettit et Nicholson ont �tudi� la temp�rature de surface de la Lune � partir de la mesure de la puissance �mise par la Lune lors de l’�clipse lunaire du 28 octobre 1939.
Cet exercice d�crit une exp�rience men�e au laboratoire pour d�terminer la puissance lumineuse surfacique au niveau de la surface de la Terre lors d’une pleine Lune.
On s’int�resse d’abord � un dispositif de d�tection qui permet de capter la lumi�re issue de la Lune, puis on �tudie un capteur thermique afin de d�terminer la puissance lumineuse surfacique rayonn�e lors d’une pleine Lune sur le sol terrestre.
1. Dispositif optique de d�tection.
Pour d�terminer la puissance �mise par la Lune, Edison Pettit a plac� un capteur de temp�rature au foyer du t�lescope du Mont Wilson.
On reproduit l’exp�rience de Pettit au laboratoire en utilisant une lunette afocale. La lumi�re diffus�e par la Lune est ainsi concentr�e sur un capteur de temp�rature fix� au foyer image de l’objectif de la lunette.
L’objectif de la lunette est mod�lis� par une lentille convergente de distance focale f₁’ = 101 cm, l’oculaire est mod�lis� par une lentille convergente de distance focale f₂’.
Le capteur de temp�rature se pr�sente sous la forme d’un petit carr� noir de 0,8 mm de c�t�.
1.1 �noncer la condition sur les positions du foyer image de l’objectif et du foyer objet de l’oculaire pour que la lunette soit afocale.
Le foyer image de l’objectif et le foyer objet de l’oculaire sont confondus.
1.2 Pr�ciser sur le sch�ma de la lunette afocale, la position du capteur de temp�rature.
Le capteur de temp�rature fix� au foyer image de l’objectif de la lunette.
1.3 Repr�senter sur ce m�me sch�ma, le faisceau �mergent issu d’une r�gion d’un astre lointain inclin� d’un angle α par rapport � l'axe optique et traversant la lunette afocale.

1.4 La � Mer � de la Tranquillit� est une vaste plaine circulaire facilement rep�rable sur la Lune. L’axe de la lunette est point� sur le centre de la � Mer � de la Tranquillit�. L’angle sous lequel on voit cette r�gion � l’oeil nu depuis la Terre est 2α = 2,3�10^-3 rad.
Pour optimiser la mesure, le capteur de temp�rature doit �tre au moins �clair� par l’image de la zone �tudi�e.
D�terminer si la taille de l’image interm�diaire permet une mesure optimale.
tan a ~ a =A₁B₁ / O₁F _'1.

Image de A_oo : A₁M ~ f '₁ a ; Image de B_oo : B₁M ~ f '₁ a ;
Image de A_ooB_oo : A₁M +B₁M ~2 f '₁ a ;
1,15 10^-3 x2 x1,01 ~2,3 10^-3m ~ 2,3 mm, valeur inf�rieure � la taille du capteur.
La taille de l’image interm�diaire permet une mesure optimale.

2. �tude du capteur de temp�rature expos� au rayonnement du Soleil
On �tudie maintenant un capteur de temp�rature de type � thermocouple � de capacit� thermique C. La temp�rature indiqu�e par ce capteur peut �tre reli�e � la puissance rayonn�e qu’il re�oit.
Pour d�terminer la r�sistance thermique R_th li�e au transfert thermique entre le milieu ext�rieur et le capteur, on �tudie le comportement au cours du temps du capteur expos� directement au rayonnement solaire (sans utiliser la lunette �tudi�e pr�c�demment).
La temp�rature du milieu ext�rieur dans lequel se trouve le capteur est suppos�e constante et not�e T₀pendant toute la dur�e de l’exp�rience.
 L’�tude est conduite entre t et t + Δt, Δt est suppos� petit devant la dur�e typique de l’�volution de la temp�rature du thermocouple.
 � l’�tat initial t = 0 s, le capteur est dans l’obscurit� et � l’�quilibre thermique : sa temp�rature est �gale � T₀.
 � t > 0 s, on expose le capteur � la lumi�re du Soleil ce qui fait augmenter sa temp�rature T. On note P_lumla puissance lumineuse re�ue par le capteur, elle est suppos�e constante.
Il se produit alors un transfert thermique du capteur de temp�rature T vers le milieu ext�rieur de temp�rature T₀. Dans la suite de l’exercice, le capteur est choisi comme syst�me.
2.1. La puissance thermique �chang�e avec le milieu ext�rieur par le syst�me a pour expression :
P_th =(T₀-T) / R_th.
2.2. Commenter le signe de cette puissance.
Il se produit alors un transfert thermique du capteur de temp�rature T vers le milieu ext�rieur de temp�rature T₀. Le syst�me c�de de la puissance dans le milieu ext�rieur. P_th est n�gative.
2.3. Exprimer la variation d’�nergie interne du capteur DU en fonction de sa capacit� thermique et de la variation DT de sa temp�rature au cours du temps Dt.
DU = C DT= C(T(t) -T₀).
2.4. Relier la variation d’�nergie interne DU du capteur � la puissance thermique P_th et � la puissance lumineuse re�ue P_lum pendant une dur�e DT.
DU / Dt = P_lum +P_th .
2.5. En d�duire pour des dur�es Dt tendant vers 0 que la temp�rature T(t) du capteur de temp�rature v�rifie
l’�quation diff�rentielle suivante :
dT / dt + T(t) /(R_th � C)=T₀ /(R_th � C) +P_lum / C.

C(T(t) -T₀) / dt =P_lum +P_th .
C(T(t) -T₀) / dt =P_lum +(T₀-T) / R_th.
(T(t) -T₀) / dt =P_lum / C +T₀ / (R_th C)-T(t) / (R_th C).
dT / dt + T(t) /(R_th � C)=T₀ /(R_th � C) +P_lum / C.

2.6. Lorsque la temp�rature finale est atteinte par le capteur au bout d’une dur�e suffisamment longue, l’expression de la puissance lumineuse est P_lum= (T∞-T₀) / R_thavec T∞ la temp�rature finale atteinte par le capteur.
Retrouver cette expression � partir de l’�quation diff�rentielle de la question 2.5.
Au bout d'une dur�e suffisamment longue : dT / dt =0.
T∞ /(R_th � C)=T₀ /(R_th � C) +P_lum / C.
T∞ / R_th =T₀ /R_th +P_lum .
T∞ / R_th -T₀ /R_th =P_lum.
P_lum= (T∞-T₀) / R_th.

On admet que l’�tude exp�rimentale permet de d�terminer la valeur de la r�sistance thermique : R_th = 3x10⁴ K.W^–1.