Saut
en parachute, bac S Nlle Cal�donie 12 / 2020.
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1. Etude exp�rimenntale du saut.
A l'altitude du saut, le pilote met l'avion � l'horizontale, r�duit sa
vitesse � 120 km / h. 50 seconde de chute pr�c�de l'ouverture du
parachute. Tr�s vite, la vitesse maximale est atteinte, environ 200 km
/ h. Le parachute s'ouvre � 1500 m d'altitude. La descente "sous voile"
dure de 5 � 10 minutes.
Le parachutiste a enregistr� lors de son saut, � l'aide de sa montre
connect�e, l'altitude z au cours du temps t. L'enregistrement des
donn�es a d�but� d�s son entr�e dans l'avion, sur la piste de
d�collage. A son retour, il r�alise le graphique suivant en prenant
comme origine des temps le d�but du saut.
1.1. Justifier l'affectation des �quations horaires aux diff�rentes phases.
za(t) = -50 t +4,0 103 ; zb(t) = -4,2 t +1,75 103 ; zc(t) = 6,1 t+4,6 103 ; zd(t) =4,0 103.
t est en seconde, z est en m�tre et l'origine z=0 e st prise au niveau du sol.
Phase 1 : l'altitude initiale est nulle ; cette phase d�bute � t = -750 s d'apr�s le graphe.
zc(-750) =6,1 *(-750) +4,6 103 ~0.
zc(t) = 6,1 t+4,6 103 .
Phase 2 : l'altitude est constante, 4000 m ; zd(t) =4,0 103.
Phase 3 : l'altitude d�cro�t rapidement de 4000 � 1500 m en 50 s d'apr�s le graphe.
za(50) = -50 * 50 +4,0 103 ~1500 m.
za(t) = -50 t +4,0 103 .
Phase 4 : l'altitude d�cro�t jusqu'� z�ro, altitude atteinte � t = 410 s d'apr�s le graphe.
zb(410) = -4,2 *410 +1,75 103 ~ 0.
zb(t) = -4,2 t +1,75 103 .
1.2. Montrer que la valeur de la vitesse maximale verticale cit�e dans l'introduction est compatible avec les donn�es enregistr�es.
D'apr�s l'introduction : 200 km / h soit 200 / 3,6 ~55 m / s.
D'apr�s le graphe, lors de la phase 3, la pente du segment de droite est en valeur absolue : (4000-1500) / 50 ~ 50 m/s.
Ces donn�es sont donc compatibles.
2. Etude de la phase 3 du saut.
On
souhaite �tudier l'influence de l'altitude z sur la valeur du champ de
pesanteur g. On consid�re le crit�re suivant : la valeur g(z) reste
constante si elle diff�re de moins de 1 % de sa valeur au niveau du sol.
g(z) = g0(1-2z / RT) si z << RT.
2.1. Peut-on consid�r� la valeur du champ de pesanteur comme constante et �gale � g0 tout au long du saut ? Justifier.
g(z) / g0=1-2z / RT ; 1-g(z) / g0=2z / RT ; (g0-g(z) ) / g0 =2z / RT =8000 / (6,37 106) ~1,3 10-3 ( 0,13 %).
g(z) diff�re de moins de 1 % de sa valeur au niveau du sol : g(z) ~g0.
On �tudie dans le r�f�rentiel terrestre suppos� galil�en, le mouvement
du syst�me {tandem} de masse m au cours de sa chute dans le cadre du
mod�le de chute libre. Sch�ma du mouvement juste apr�s le saut.
2.2. Montrer que les coordonn�es du vecteur acc�l�ration du syst�me sont : ax(t) = 0 et ay(t) = -g0.
La chute �tant libre, le syst�me n'est soumis qu'� son poids, verticale, vers le bas, valeur mg.
La seconde loi de Newton conduite � : ax(t) = 0 et ay(t) = -g0.
2.3. Etablir que les �quations horaires du mouvement du syst�me s'�crivent :
x(t) = v0t; z(t) = -�g0t2+h0.
Le vecteur vitesse est une primitive du vecteur acc�l�ration ; de plus
la vitesse initiale est horizontale, de valeur v0.
vx(t) = v0 ; vz(t) = -g0t.
Le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse ; de plus la position initiale est : (0 ; h0).
x(t) = v0t; z(t) = -�g0t2+h0.
2.4. En d�duire que l'�quation de la trajectoire s'�crit : z(x) = -g0x2 / (2v02) +h0.
t = x / v0 ; repport dans z(t), d'o� : z(x) = -g0x2 / (2v02) +h0.
2.5. Le tandem ouvre son parachute � l'altitude z = 1500 m. Montrer que cette ouverture s'effectue au dessus de la piste.
v0 = 33 m/s ; h0 = 4000 m.
1500 = -9,8 x2 /(2 * 332) +4000 ; x2 =2500 x 2 *332 / 9,8 =5,56 105 ; x ~7,5 102 m.
Cette valeur �tant inf�rieure � 1 km, l'ouverture s'effectue au dessus de la piste.
2.6. Calculer la dur�e de la phase 3 et la comparer � celle d�duite du graphique. Conclure.
x(t) = v0 t ; t = 7,5 102 / 33 ~23 s.
Le graphe indique une dur�e voisine de 50 s, soit le double.
Le mod�le de la chute libre n'est pas valide.
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3. Etude de la phase 4.
Lors
de la descente parachute ouvert, le moniteur guide le parachute de
mani�re � maintenir une trajectoire verticale. La force Ff , verticale, vers le haut, mod�lise l'action de l'air sur le syst�me {tandem}.:
3.1. Associer chacun des sch�ma � un instant de la chute :
- juste apr�s l'ouverture ;
- quelques secondes avant l'ouverture.
Justifier � partir des donn�es exp�rimentales.
Avant l'ouverture ( sch�ma a), la vitesse maximale est atteinte, le poids est oppos� � la force Ff.
Apr�s l'ouverture, (sch�ma b), la vitesse diminue, Ff > P.
Quelques secondes apr�s l'ouverture du parachute, la chute du tandem se
fait � vitesse constante. On �tudie le mouvement dans ces conditions.
3.2 Estimer la valeur de la vitesse verticale du tandem � partir des donn�es exp�rimentales.
Phase 4, coefficient directeur ( en valeur absolue) du segment de droite : 1500 / (410-50) ~4,2 m /s ( 4,2 x 3,6 ~ 15 km / h ).
3.3. D�terminer la valeur de Ff.
La chute �tant uniforme, le poids du tandem est oppos� � la force qui mod�lise l'action de l'air.
m = 200 kg , g = 9,8 m s-2 ; Ff =200 x9,8 ~2,0 103 N.
3.4 L'expression de Ff est donn�e par Ff = kv2z o� k est une constante et vz la vitesse verticale de chute. Montrer que k = 1,1 102 S.I. pr�ciser l'unit� de k.
k = Ff / v2z =2,0 103 / 4,22 ~1,1 102 N s2 m-2.
3.5 Calculer l'�nergie cin�tique du tandem avant l'arriv�e au sol.
�m v2z =0,5 x200 x4,22 ~1,8 103 J.
3.6 Le tandem poss�de un parachute de secours plus petit que le parachute principal. On admet que la valeur de la constante ks de la force de frottement exerc�e par ce parachute v�rifie la relation ks = �k. Dans le cas o� le parachute de secours est utilis�, d�terminer la valeur de la vitesse verticale vzs ainsi que celle de l'�nergie cin�tique du tandem avant l'arriv�e au sol. Commenter.
v2zs =Ff / ks =2Ff / k = 4,0 103 / (1,1 102)=36,4 ; vzs ~6,0 m /s.
Energie cin�tique du tandem : 0,5 x 200 x36 ~3,6 103 J.
L'arriv�e au sol est un peu plus brutale, mais sans casse.
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