Un
microacc�l�rom�tre capacitif,
bac g�n�ral 2021.
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1. Fonctionnement d'un acc�l�rom�tre capacitif.
Il
est mod�lis� par un ensemble de condensateurs plans. Lorsque le capteur
est soumis � une acc�l�ration, la g�om�trie des condensateurs change,
ce qui provoque la variation de leurs capacit�s. L'acc�l�ration est
d�duite de la valeur de la capacit� de l'ensemble � l'aide d'un
�talonnage.
1.1.
L'acc�l�rom�tre �tudi� est compos�e d'une partie mobile qui peur se
d�placer par rapport au supprt le long de l'axe XX'. La partie mobile
et la support forment deux peignes enchev�tr�s l'un dans l'autre. La
partie mobile, appel�e masse mobile, est reli�e au support par deux
barres flexibles qui joent le r�le de ressorts. les tiges des peignes
qui sont en regard les unes des autres constituent les armatures d'un
ensemble de condensateurs plans �l�mentaires.
Si le support subit une acc�l�ration dans le r�f�rentiel terrestre,
alors la masse mobile se d�place par rapport au support. les peignes en
regard se d�calent, faisant varier ainsi les valeurs des capacit�s des
condensateurs �l�mentaires.
a) Support n'�tant pas soumis � une acc�l�ration : les deux condensateurs �l�mentaires ont la m�me capacit� C1 = C2.
b) Support soumis � une acc�l�ration : C1 diff�re de C2.
Source : How MEMS Accelerometer Gyroscope Magnetometer Work.
1.1.1
En utilisant les images prises au microscope �lectronique, �valuer
l'ordre de grandeur de la distance entre deux tiges successives du
peigne fix� au support.
124 �m pour 9 intervalles entre tiges fixes du support.
d= 124 / 9 ~14 �m.
1.1.2. En
d�duire une estimation de l'ordre de grandeur de la capacit� C0 d'un
condensateur �l�mentaire lorsque le support n'est soumis � aucune
acc�l�ration. Le milieu situ� entre les armatures est de l'air ; la
surfaces des armatures en regard est S = 65 �m2. Comparer aux ordres de grandeur des valeurs usuelles de capacit�s.
C = e S / d ave eair = 8,9 10-12 F m-1.
S = 65 10-12 m2 ; d = 14 10-6 m ; C0=8,9 10-12 x 65 10-6 / 14 ~4 10-17 F.
Les condensateurs non polaris�s ont des capacit�s de l'ordre de 10-9 F � 10-6 F.
1.1.3. Dans la configuration du sch�ma b), comparer les valeurs des capacit�s C1 et C2. Justifier.
C2 = e S / d2 ; C1 = e S / d1 =e S / (3d1) = C2 / 3.
1.2. Une mesure d'acc�l�ration.
La tension �lectrique de sortie Us d�livr�e par l'acc�l�rom�tre capacitif est une fonction affine de la valeur de la coordonn�e ax du vecteur acc�l�ration du capteur suivant l'axe de mesure XX' : Us = U0 +B ax.
U0 = 1,50 V ; B = 0,0306 V m-1 s2, sensibilit� du capteur.
Ce capteur est embarqu� dans un drone en mouvement rectiligne horizontal. Le drone acc�l�re le long de l'axe de mesure XX' du capteur.
la tension U mesur�e vaut alors 2,02 V.
Comparer
la valeur de l'acc�l�ration du drone � celle de l'acc�l�ration moyenne
d'une moto qui passe d'une vitesse nulle � 100 km / h en 3 s. Commenter.
Drone : (2,02-1,50) / 0,0306 ~ 17 m s-2.
Moto : 100 / 3,6 ~27,8 m /s ; 27,8 / 3 ~9 m s-2, deux fois plus faible que celle du drone.
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2. M�thode de d�termination de l'�cart entre les armatures par mesure de capacit�.
Deux feuilles d'aluminium de forme carr�e et de 25 cm de c�t� sont
s�par�es par un film de poly�thyl�ne. On r�alise le montage �lectrique
suivant :
Mod�lisation du dispositif par un circuit RC.
A t = 0, l'interrupteur est ferm�. le condensateur commence � se charger.
2.1. Indiquer le signe des charges qui s'accumulent sur chaque feuille d'aluminium.
Charge positive sur la feuille 1 et charge n�gative sur la feuille 2.
2.2. Etablir l'�quation diff�rentielle v�rifi�e par la tension UC aux bornes du condensateur.
E = UC + UR ; E = UC + R i avec i = dq /dt = C dUC / dt.
RC dUC /dt + UC = E.
Pour la condition initiale UC(t) = 0, la solution de l'�quation diff�rentielle est UC(t) = E ( 1-e-t / t) avec t = RC.
2.3. D�terminer la valeur limite atteinte par UC lorsque t >> t. Commenter.
Le terme en exponentielle tend vers z�ro et UC tend vers E.
En r�gime permanent, la tension aux bornes du condensateur est constante et l'intensit� du courant est nulle.
On mesure la tension aux bornes du condensateur au cours du temps pour deux valeurs diff�rentes R = 600 kW et R = 300 kW.
2.4 Expliquer comment il est possible de d�terminer l'�cart entre les feuilles d'aluminium � partir de ces r�sultats.
t1 = RC ; C = 24 10-3 / (300 103 )~8 10-8 F.
C = e pE S / d avec e pE =19 10-12 F m-1 et S =0,252=0,0625 m2.
d = e pE S / C =19 10-12 x0,0625 / (8 10-8) ~1,5 10-5 m = 15 �m.
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