L'installation de l'homme sur la lune, bac Polyn�sie 2021. Satellite, rep�re de Frenet, chute libre En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. .. .. . . .. .. ...... ... Etude d'un satellite de t�l�communication. L'orbite du satellite autour de la lune est circulaire et on n�glige l'influence de la terre sur ce  dernier. 1. Proposer une d�finition d'un satellite lunostationnaire. L'orbite est dans le plan �quatorial de la lune. Il tourne � la m�me vitesse angulaire que la lune. Il est donc fixe pour un observateur situ� sur la lune. 2. Repr�senter la force d'interaction gravitationnelle exerc�e par la lune sur ce  satellite sanns souci d'�chelle. 3. Etablir l'expression de cette force. m : masse du satellite ; M : masse de la lune ; r = R+h ; R rayon de la lune ; h : altitude du satellite. 4. Etablir l'expression de l'acc�l�ration du centre du satellite. La seconde loi de Newton conduit � : 5. Repr�senter les vecteurs unitaires de la base de Frenet. Dans la base de Frenet associ�e au point M : 6. Citer l'expression des coordonn�es du vecteur acc�l�ration dans le rep�re de Frenet dans le cas d'un mouvement circulaire. 7. En d�duire l'expression de l'acc�l�ration dans ce rep�re. L'acc�l�ration normale vaut v2 / (R+h) et l'acc�l�ration tangentielle est nulle. 8. Justifier que la norme de la vitesse est constante et vaut v = (GM / r)�. L'acc�l�ration tangentielle �tant nulle : dv / dt = 0 soit v = constante. L'acc�l�ration normale vaut : MG / r2 = v2 / r ; v2 = GM / r ; v = (GM / r)�. 9. D�montrer que pour que le satellite soit fixe par rapport � la lune, il doit �tre � l'altitude h = 8,67 107 m par rapport � la surface de la lune. P�riode de rotation de la lune sur elle m�me : T = 27,3 jours soit 2,36 106 s. Masse de la lune  M = 7,34 1022 kg. Rayon de la lune R = 1,74 106 m. G = 6,67 10-11  N m2 kg-2. Le satellite d�crit la circonf�rence 2pr � la vitesse v en T seconde. 2pr = v T. 4p2r2 = v2 T2= GM / rT2  . r3 = GMT2 / (4p2) = 6,67 10-11 x7,34 1022 x(2,36 10,,6)2 / (4x3,142) =6,91 1023. r = 8,84 107 m ; h = r-R = 8,84 107 -1,74 106 =8,67 107 m ... .... Une simulation de l'alunissage a �t� men�e sur un simulateur de mouvement vertical. Elle commence  � 152,4 m d'altitude avec une vitesse horizontale de norme �gale � 18,3 m /s et une vitesse verticale  de norme 4,9 m /s. La trajectoire de r�f�rennce d'une dur�e �gale � 95 s permet de poser le module lunaire en toute s�curit�. La trajectoire incontrol�e d'une dur�e de 30 s conduit � un impact sur le sol lunaire. 10. Repr�senter au point O les vecteurs vitesses horizontale et verticale sans souci d'�chelle. Repr�senter �galement le vecteur champ de pesanteur lunaire. 11. Justifier le signe n�gatif ou positif de chacun des termes de l'�quation horaire suivante : y(t) =- 0,5 gL t2 -vOyt +y0. Le premier  terme est n�gatif car le vecteur champ de pesanteur lunaire est de sens contraire au vecteur unitaire de l'axe vertical. Le second  terme est n�gatif car le vitesse vertical initiale est de sens contraire au vecteur unitaire de l'axe vertical. Le dernier terme est positif, l'altitude initiale est positive. 12. A l'aide de l'�quation horaire suivante, calculer la dur�e de la descente de l'alunisseur s'il �tait en chute libre. Indiquer si l'alunisseur dans sa trajectoire incontr�l�e est en chute libre. x(t) = vOxt+x0. Lors de la descente en chute libre : x(t) = 426 m. t = (x(t) - x0) / vOx  =(426-15,5) / 18,3 =22,4 s. Dans le cas  d'une trajectoire incontr�l�e, la dur�e de la descente est de 30 s, valeur diff�rente de 22,4 s. La chute n'est pas libre.

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