Math�matiques,
suite, probabilit�s, bac Polyn�sie 2021.
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Suites.
On consid�re la suite (un) d�finie par u0 = 10 000 et pour tout entier n par un+1 =0,95 un +200.
1. Calculer u1 et v�rifier que u2 = 9415.
u1 = 10 000 x0,95 +200 =9700.
u2 = 9700 x0,95 +200 =9415.
2.a D�montrer par r�currence que un > 4000.
Initialisation : u0 = 10 000 , la propri�t� est vraie au rang z�ro.
H�r�dit� : la propri�t� est suppos�e vraie au rang n : un > 4000.
D�montrons qu'elle est vraie au rang n+1.
un+1 =0,95 un +200.
un+1 >0,95 x 4000 +200.
un+1 > 4000.
La propri�t� est donc vraie au rang n+1.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire, elle est vraie pour tout entier naturel n.
2.b. On admet que la suite est d�croissante. Justifier qu'elle converge.
La suite est d�croissante et minor�e par 4000, donc elle converge.
3. On consid�re la suite (vn) d�finie par vn = un-4000.
3.a. Calculer v0.
v0 = u0-4000 = 6000.
3.b. D�montrer que (vn) est une suite g�om�trique.
vn+1 = un+1-4000.
vn+1 =0,95 un +200 -4000.
vn+1 =0,95 un -3800.
vn+1 =0,95( un -4000)
vn+1 =0,95 vn.
(vn) est une suite g�om�trique de raison 0,95 et de premier terme 6000.
3.c En d�duire que un = 4000 + 6000 x0,95n.
vn = 6000 x0,95n = un-4000.
un= 4000 + 6000 x0,95n.
3.d. Quelle est la limite de la suite (un) ?
-1 < 0,95 < 1 , 0,95n tend vers z�ro quand n tend vers plus l'infini.
un tend vers 4000 si n tend vers plus l'infini.
4. En
2020 une esp�ce animale comptait 10 000 individus. l'�volution observ�e
les ann�es pr�c�dentes conduit � estimer qu'� partir de 2021 cette
population baissera de 5 % chaque d�but d'ann�e. On d�cide d'introduire
200 individus � la fin de chaque ann�e, � partir de 2021.
Un responsable affirme " l'esp�ce ne devrait pas s'�teindre, mais nous
n'emp�cherons pas une disparition de plus de la moiti� de la
population".
Que pensez de cette affirmation ? Justifier.
Population initiale : 10 000.
Population au bout d'un temps tr�s long : 4000, valeur inf�rieure � 5000.
L'affirmation est donc vraie.
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Probabilit�s.
Un test est mis au point pour d�tecter une maladie dans un pays.
Selon les autorit�s sanitaires de ce pays, 7 % des habitants sont infect�s par cette maladie.
Parmi les individus infect�s, 20 % sont d�clar�s n�gatifs.
Parmi les individus sains, 1 % sont d�clar�s positifs.
Une personne est choisie au hasard dans la population.
On note :
M l’�v�nement : � la personne est infect�e par la maladie � ;
T l’�v�nement : � le test est positif �.
1. Construire un arbre pond�r� mod�lisant la situation propos�e.
2. a. Quelle est la probabilit� pour que la personne soit infect�e par la maladie et que son test soit positif ?
b. Montrer que la probabilit� que son test soit positif est de 0,0653.
3. On sait que le
test de la personne choisie est positif. Quelle est la probabilit�
qu’elle soit infect�e ? On donnera le r�sultat sous forme approch�e � 10−2 pr�s.
PT(M)=P(T n M) / P(T)=0,056 /0,0653 ~0,86.
4. On choisit dix
personnes au hasard dans la population. La taille de la population de
ce pays permet d’assimiler ce pr�l�vement � un tirage avec remise. On
note X la variable al�atoire qui comptabilise le nombre d’individus
ayant un test positif parmi les dix personnes.
a. Quelle est la loi de probabilit� suivie par X ? Pr�ciser ses param�tres.
Les tirages sont al�atoires, ind�pendants et identiques.
A chaque tirage, il y a deux issues : " test positif" ou "test n�gatif".
X suit la loi binomiale de param�tre p = 0,0653 et n = 10.
b. D�terminer la
probabilit� pour qu’exactement deux personnes aient un test positif. On
donnera le r�sultat sous forme approch�e � 10−2 pr�s.
p(X=2) = C102 x0,06532 (1-0,0653)8=10 x9 / 2 x0,00426 x 0,583 ~0,11.
5. D�terminer le
nombre minimum de personnes � tester dans ce pays pour que la
probabilit� qu’au moins une de ces personnes ait un test positif, soit
sup�rieure � 99 %.
P(X > 1)=1-P(X=0) > 0,99.
P(X =0)< 0,01.
Cn0 x0,06530 (1-0,0653)n <0,01.
1x1 x0,9347n < 0,01.
n ln(0,9347) < ln(0,01).
-0,06753 n < -4,605.
n > 4,605 / 0,06753.
n > 68.
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