Math�matiques, g�om�trie dans l'espace, bac Polyn�sie 2021. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. .. .. . . .. .. ...... ... Dans l’espace, on consid�re le cube ABCDEFGH d’ar�te de longueur �gale � 1. On munit l’espace du rep�re orthonorm�. 1. Par lecture graphique, donner les coordonn�es des points B, D, E, G et H. B( 1 ; 0 ; 0). D(0 ; 1 ; 0). E(0 ; 0 ; 1). G(1 ; 1 ; 1). H(0 ; 1 ; 1). 2.a. Quelle est la nature du triangle EGD ? Justifier la r�ponse. EG = GD = ED =2� ( diagonale d'un carr� de c�t� 1 ). Le triangle EGD est �quilat�ral. b. On admet que l’aire d’un triangle �quilat�ral de c�t� c est �gale � √3/4c2. Montrer que l’aire du triangle EGD est �gale � √3 /2. c = √2 ; aire du triangle EGD =√3/4 x2 = √3 /2. 3. D�montrer que les coordonn�es de M sont (2/3 ;1/3 ;1/3). 4.a. Justifier que le vecteur 𝑛⃗ (−1 ;1 ;1) est normal au plan (EGD). b. En d�duire qu’une �quation cart�sienne du plan (EGD) est : −𝑥+𝑦+𝑧−1=0. Equation cart�sienne de ce plan : -x+y+z+d=0. E(0 ; 0 ; 1) appartient � ce plan :0 +0 +1 +d = 0 ; d = -1. c. Soit 𝒟 la droite orthogonale au plan (EGD) et passant par le point M. Montrer qu’une repr�sentation param�trique de cette droite est : 𝒟:{ 𝑥=2/3−𝑡 ; 𝑦=1/3+𝑡 ; 𝑧=1/3+𝑡, 𝑡 ∈ 𝐑. 𝑛⃗ (−1 ;1 ;1) est un vecteur directeur de cette droite et M appartient � cette droite : x = xM-t =2 / 3 -t. y = yM+t = 1 / 3 +t. z = zM+t = 1 / 3 +t avec t r�el. ... .... 5. Le cube ABCDEFGH est repr�sent� ci-dessus selon une vue qui permet de mieux percevoir la pyramide GEDM, en gris sur la figure : Le but de cette question est de calculer le volume de la pyramide GEDM. a. Soit K, le pied de la hauteur de la pyramide GEDM issue du point M. D�montrer que les coordonn�es du point K sont (1/3 ;2/3 ;2/3). K(x  ; y  ; z). K appartient au plan GDE : -x+y +z-1=0. K appartient � la droite D : x =2 / 3 -t. y =  1 / 3 +t. z =  1 / 3 +t avec t r�el. -2 / 3+t +1 / 3+t +1 / 3 +t -1=0.  -1+3t=0. t = 1 /3. x=2 /3 -1 /3 = 1 /3. y =1 /3 +1 /3 = 2 /3. z = 1 /3 +1/3 = 2 /3. b. En d�duire le volume de la pyramide GEDM. V= aire de base x hauteur /3. V = aire du triangle GDE x KM /3. Aire du triangle GDE =√3 /2. KM2=(2/3-1/3)2+(1/3-2/3)2+(1/3-2/3)2=1/3. KM = 1 /√3 . V = √3 /2 x 1 /√3  / 3 = 1 /6.

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