Math�matiques,
g�om�trie dans l'espace, bac Polyn�sie 2021.
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5. Le cube ABCDEFGH est repr�sent� ci-dessus selon une vue qui permet de mieux percevoir la pyramide GEDM, en gris sur la figure :
Le but de cette question est de calculer le volume de la pyramide GEDM.

a. Soit K, le pied de la hauteur de la pyramide GEDM issue du point M.
D�montrer que les coordonn�es du point K sont (1/3 ;2/3 ;2/3).
K(x ; y ; z).
K appartient au plan GDE : -x+y +z-1=0.
K appartient � la droite D :
x =2 / 3 -t.
y = 1 / 3 +t.
z = 1 / 3 +t avec t r�el.
-2 / 3+t +1 / 3+t +1 / 3 +t -1=0.
-1+3t=0.
t = 1 /3.
x=2 /3 -1 /3 = 1 /3.
y =1 /3 +1 /3 = 2 /3.
z = 1 /3 +1/3 = 2 /3.
b. En d�duire le volume de la pyramide GEDM.
V= aire de base x hauteur /3.
V = aire du triangle GDE x KM /3.
Aire du triangle GDE =√3 /2.
KM2=(2/3-1/3)2+(1/3-2/3)2+(1/3-2/3)2=1/3. KM = 1 /√3 .
V = √3 /2 x 1 /√3 / 3 = 1 /6.
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