Math�matiques,
fonctions exponentielle et logatithme, bac Polyn�sie 2021.
Convexit�, �quation diff�rentielle.
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d’int�r�ts.
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Fonction exponentielle.
On
a repr�sent� ci-dessous, dans un rep�re orthonorm�, une portion de la
courbe repr�sentative 𝒞 d’une fonction 𝑓 d�finie sur 𝐑 :
On consid�re les points A(0 ;2) et B(2 ;0).
Partie 1.
Sachant que la courbe 𝒞 passe par A et que la droite (AB) est la
tangente � la courbe 𝒞 au point A, donner par lecture graphique :
1. La valeur de f(0) et celle de f ′(0).
f(0) = 2.
f '(0) = coefficient directeur de la tangente en x =0 soit -1.
2. Un intervalle sur lequel la fonction 𝑓 semble convexe.
Intervalle [0 ; +3].
Partie 2.
On note (E) l’�quation diff�rentielle y′=−y+e−x.
On admet que g: x↦xe−x est une solution particuli�re de (E).
1. Donner toutes les solutions sur 𝐑 de l’�quation diff�rentielle (H)∶ y′=−y.
y'+y = 0 ; solution g�n�rale : y = A e-x avec A une constante.
2. En d�duire toutes les solutions sur 𝐑 de l’�quation diff�rentielle (E).
Solution g�n�rale de (H) + solution particuli�re de (E) soit :
f(x) = A e-x +xe−x = (A+x)e-x.
3. Sachant que la fonction f est la solution particuli�re de (E) qui
v�rifie f(0)=2, d�terminer une expression de f(𝑥) en fonction de x.
(A+0)e-0=2.
A = 2.
f(x) = (2+x)e-x.
Partie 3.
On admet que pour tout nombre r�el 𝑥, f(x)=(x+2) e−x.
1. On rappelle que f ′ d�signe la fonction d�riv�e de la fonction f.
a. Montrer que pour tout x∈𝐑, f ′(x)=(−x−1) e−x.
On pose u = x+2 et v = e-x.
u' = 1 ; v' = -e-x.
u'v+v'u = e-x-(x+2)e-x =(−x−1) e−x.
b. �tudier le signe de f ′(x) pour tout x∈𝐑 et dresser le tableau des variations de f sur 𝐑.
On ne pr�cisera ni la limite de 𝑓 en −∞ ni la limite de 𝑓 en +∞.
On calculera la valeur exacte de l’extremum de 𝑓 sur 𝐑.
e-x
f ' a le signe de -1-x.
Si x < -1, f '(x) > 0 et f(x) est strictement croissante.
Si x > -1, f '(x) < 0 et f(x) est strictement d�croissante.
Si x = -1, f '(x) =0 et f(x) pr�sente un maximum.
2. On rappelle que f ″ d�signe la fonction d�riv�e seconde de la fonction f .
a. Calculer pour tout x∈𝐑, f ″(𝑥).
On pose u = -x-1 et v = e-x.
u' = -1 ; v' = -e-x.
u'v+v'u = -e-x+(x+1)e-x =x e−x.
b. Peut-on affirmer que f est convexe sur l’intervalle [0 ;+∞[ ?
f " est poositive sur [0 ;+∞[ : f est convexe sur cet intervale.
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Logarithme n�p�rien.
Cet exercice est compos� de deux parties.
Certains r�sultats de la premi�re partie seront utilis�s dans la deuxi�me.
Partie 1 : �tude d’une fonction auxiliaire.
Soit la fonction f d�finie sur l’intervalle [1 ;4] par : f(x)=−30x+50+35ln(x).
1. On rappelle que f ′ d�signe la fonction d�riv�e de la fonction f.
a. Pour tout nombre r�el x de l’intervalle [1 ;4], montrer que :
f ′(x)=(35−30x)/x .
f '(x) = -30 +35 /x = (-30x +35) / x.
b. Dresser le tableau de signe de f ′(𝑥) sur l’intervalle [1 ;4].
f ' a le signe de -30x+35.
c. En d�duire les variations de f sur ce m�me intervalle.
2. Justifier que l’�quation f(x)=0 admet une unique solution, not�e a, sur l’intervalle [1 ;4] puis donner une valeur approch�e de a �
10−3 pr�s.
Sur [1 ; 7 /6], f(x) > 20 : f(x)=0 ne poss�de pas de solution sur cet intervalle.
Sur [7 /6 ; 4] f(x) est continue ( car d�rivable) et d�croissante.
de plus f(7 /6 ) ~20,4 et f(4) ~-21,5.
D'apr�s le th�or�me de la bijection, f(x) = 0 admet une solution unique sur [7 /6 ; 4].
a ~2,915 d'apr�s la calculatrice.
3. Dresser le tableau de signe de f(x) pour x∈[1 ;4].
Partie 2 : Optimisation
Une entreprise vend du jus de fruits. Pour x milliers de litres
vendus, avec x nombre r�el de l’intervalle [1 ;4], l’analyse des
ventes conduit � mod�liser le b�n�fice B(x) par l’expression donn�e
en milliers d’euros par :
B(x)=−15x2+15x+35x ln x.
1. D’apr�s le mod�le, calculer le b�n�fice r�alis� par l’entreprise
lorsqu’elle vend 2 500 litres de jus de fruits. On donnera une valeur
approch�e � l’euro pr�s de ce b�n�fice.
B(2,5) = -15 *2,52 +15 *2,5 +35*2,5 ln(2,5) ~-93,75+37,5 +80,17 ~23,925 milliers d'euros.
2. Pour tout x de l’intervalle [1 ;4], montrer que B′(x)=f(x) o� B′ d�signe la fonction d�riv�e de B.
B'(x) = -15*2x +15 +35(ln (x)+1)= -30 x+50+35 ln(x) = f(x).
3.a. � l’aide des r�sultats de la partie 1, donner les variations de la fonction B sur l’intervalle [1 ;4].
B est strictement croissante sur [1 ; a[ et strictement d�croissante sur ]a ; 4].
b. En d�duire la quantit� de jus de fruits, au litre pr�s, que l’entreprise doit vendre afin de r�aliser un b�n�fice maximal.
B est maximum pour x = a soit environ 2915 litres.
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