Math�matiques, bac S polyn�sie 2020.

Exercice 1. ( 5 points ).
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules blanches indiscernables au toucher. On extrait une boule de l'urne et on note sa couleur. On r�p�te 4 fois l'exp�rience, de mani�re ind�pendante, en remettant la boule � chaque fois dans l'urne. La probabilit� d'obtnir au moins une boule blanche est :
0,15 ; 0,63 ; 0,5 ; 0,85. Vrai.

P( obtenir au moins une blanche) = 1 -P( obtenir aucune boule blanche) = 1 - P( obtenir une rouge � chaque tirage)
Il y a 5 boules rouges sur un total de 8.
P( tirer une rouge) = 5 /8.
P( obtenir au moins une blanche) = 1-(5/8)⁴ ~0,85.

ou bien : soit X la variable al�atoire qui donne le nombre de boule blanche. X suit une loi binomiale de param�tre n = 4 et p = 3 /8.
P(X > 1) = 1 -P(X=0)=1-(5/8)⁴ ~0,85.

2. Soitn un entier naturel sup�rieur ou �gal � 2. Un sac contient n pi�ces indiscernables au toucher. Ces pi�ces comportent toutes un c�t� " PILE" et un c�t� "FACE" sauf une qui contient deux c�t�s "FACE".
On choisit au hasard une pi�ce et on la lance. La probabilit� d'obtenir le c�t� "FACE" est :
(n-1) / n ; (n+1) / (2n) , vrai ; 0,5 ; (n-1) / (2n).
Nombre de cas favorables : n+1.
Nombre de cas possibles : 2 n.
Probabilit� d'obtenir le c�t� "FACE" : (n+1) / (2n).

3. On consid�re T la variable al�atoire suivant le loi normale d'esp�rance � =60 et d'�cart type s = 6. P_{(T > 60)} (T >72) est :
0,954 ; 1 ; 0,023 ; 0,046. Vrai.
P_{(T > 60)} (T >72)= P((T > 60) n P(T>72)) / P(T > 60) =P(T>72) / P(T > 60) =0,02275 / 0,5 ~0,046.

4. La dur�e de fonctionnement ( en ann�es) d'un moteur jusqu'� ce que survienne la premi�re panne est mod�lis�e par une variable al�atoire suivant une loi exponentielle de param�tre l, r�el positif.
La probabilit� que le moteur fonctionne sans panne plus de trois ans est :
e^-3l , vrai ; 1- e^-3l ; e^-3l ; -1 ; e^3l .
D'apr�s le cours :P(X > t) =e^-3l.

5. On note X une variable al�atoire suivant la loi uniforme sur [0 ; p /2]. La probabilit� qu'une valeur prise par la variable al�atoire soit solution de l'in�quation cos x > 0,5 est �gale � :
2 /3 vrai ; 1 /3 ; 1 /2 ; 1 /p.
cos x > 0,5 ; x appartient � :] 0 ; p / 3 ]

Exercice 2. (4 points)

Pour tout r�el t, on consid�re le point M(1-t ; t ; t).
1. Montrer que pour tout r�el t, le point M appartient � la droite (BH).
Montrer que trois points M, B et H sont align�s revient � montrer que les deux vecteurs suivants sont colin�aires.
Coordonn�es des points : B(1 ; 0 ; 0) ; H (0; 1 ; 1) ; M(1-t ; t ; t)

On admet que les droites (BH) et (FC) ont respectivement pour repr�sentation param�trique :
x=1-t ; y =t ; z = t avec t r�el.
x=1 ; y=t' ; z = 1-t' avec t' r�el.
2. Montrer que ces droites sont orthogonales et non coplanaires.
Coordonn�es du vecteur directeur de la droite (BH) : (-1 ; 1 ; 1).
Coordonn�es du vecteur directeur de la droite (FC) : (0 ; 1 ; -1).
Le produit scalaire de ces deux vecteurs directeurs [ 0*(-1) +1*1+1*(-1)) =0) �tant nul, ces deux droites sont perpendiculaires.
Si deux droites perpendiculaires sont s�cantes alors elles se coupent en un point de coordonn�es (x ; y ; z) telles que :
1-t = 1 soit t = 0 ; t = t' =0 ; t = 1-t' est impossible..
Donc les deux droites ne sont pas coplanaires.
3. Pour tout r�el t', on consid�re le point M' (1 ; t' ; 1-t').
a. Montrer que pour tous r�els t et t' : MM'² = 3(t-1 /3)² +2(t'-0,5)² +1 /6.
Coordonn�es du vecteur MM' : [1-(1-t) ; t'-t ; 1-t'-t].
MM'² = t²+(t'-t)²+(1-t'-t)².
MM'² = t²+t'²+t²-2tt' +1+t'²+t²+2tt'-2t-2t'.
MM'² =3t²+2t'²-2t'-2t +1.
MM'² =3t²+1/3-2t +2t'²-2t'+1/2 +1/6.
MM'² =3(t²+1/9-2t/3) +2(t'²-t'+1/4)+1/6.
MM'² = 3(t-1 /3)² +2(t'-0,5)² +1 /6.
b. Pour quelles valeurs de t et t' la distance MM' est-elle minimale ? Justifier.
MM'² est la somme de trois termes positifs.
MM'² est minimale lorsque les deux premiers termes sont nuls soit t = 1 /3 et t' = 0,5.
4. On nomme P le point de coordonn�es (2 /3 ; 2 /3 ; 1 /3) et Q le point de coordonn�es (1 ; 0,5 ; 0,5).
Justifier que la droite (PQ) est perpendiculaires aux deux droites (BH) et (FC).