Circuit RC s�rie : un syst�me de d�tection de passager.

1. Etude d'un capteur de pression capacitif " artisanal".

1.1- Justifier l'adjectif " capacitif ".
Deux feuilles m�talliques s�par�es par un isolant constituent un condensateur. La capacit� est la caract�ristique d'un condensateur.
1.2- Donner l'expression de la charge Q_A de l'armature en fonction de la capacit� C et de U_AB.
L'armature A porte la charge positive Q_A = C U_AB.
L'armature B porte la charge n�gaitive Q_B= -C U_AB.
1.3- Indiquer , en justifiant, le sens de variation de la capacit� C du capteur lorsqu'un objet est pos� sur le condensateur artisanal.
C = eS / e ; S : surface d'une armature ; e : �paisseur de l'isolant ; e : constante caract�ristique de la feuille de papier isolante.
e et S restent constants ; e diminue ; la capacit� C augmente.

Mod�lisation du circuit de la chaine de mesure.
La d�tection de la variation de la capacit� C est r�alis�e par un circuit appell� chaine de mesure.

Le condensateur mod�lise le capteur de pression artisanal.
On consid�re que l'interrupteur est en position 1 depuis un temps tr�s long et que E, R et C sont constants. A la date t=0, u_c(0) = E et l'interrupteur est bascul� en position 2.
2.1. Etablir l'�quation diff�rentielle r�gissant l'�volution de la tension u_c(t).
Additivit� des tensions : 0 = u_R + u_c.
u_R = R i ; i = dQ_A / dt = C du_c/dt.
0= RC du_c/dt + u_c.
On pose t = RC ; du_c/dt + u_c / t = 0.
2.2- V�rifier que u_c(t) = A exp(-t / t) et exprimer A en fonctionde E.
du_c/dt = -A / t exp(-t / t).
Repport dans l'�quation diff�rentielle : -A / t exp(-t / t) +A/ t exp(-t / t) =0 est v�rifi�e quelque soit le temps.
u_c(0) = E = Ae⁰ = A.
2.3. Montrer que le condensateur est d�charg� � t = 5t.
u_c(5t) = E exp(-5)=0,0067 E, valeur inf�rieure � 0,01 E.
On consid�re que le condensateur est d�charg� lorsque u_c(t) est inf�rieure � 1 % de sa valeur initiale.

Test exp�rimental de la chaine de mesure.
Dans le circuit pr�c�dent la commutation est r�alis�e automatiquement par un microcontroleur.
Un premier essai est conduit sans qu' aucune pression ne soit exerc�e sur le capteur. Le microcontroleur mesure la tension u_c(t) au cours du temps.
Un second essai est r�alis� au cours duquel une masse ( un verre rempli d'eau) est pos� sur le capteur. Le microcontroleur mesure la tension u_c(t) au cours du temps.
E = 5 V ; R = 10 MW; e = 1,0 10^-4 m.
La date t=0 correspond au passage du commutateur de la poosition 1 � 2.
3.1- Associer la courbe � la bonne s�rie de mesures. Justifier.

La constante de temps RC cro�t si la capacit� augmente ( si e diminue ), R restant constant.
Apr�s l'�quivalence, Ag⁺ est en exc�s et on ajoute des ions nitrate : la conductivit� de la solution cro�t rapidement.
3.2- D�terminer la variiation d'�paisseur De, apr�s avoir �valu� la varaition de capacit� DC.
RC₁ = 0,115 ; RC₂ =0,145 ; RC₂-RC₁ = 0,030 ;( RC₂-RC₁ ) / R =DC= 0,030 / 10⁷ = 3,0 10^-9.
C = t₁ / R =0,115 / 10⁷ = 11,5 10^-9.
DC / C = 3,0 / 11,5 =0,26.
De / e = DC / C =0,26 ; De =0,26 x1,0 10^-4 = 2,6 10^-5 m.