Math�matiques,
bac ST2S M�tropole, La R�union 2020.
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Exercice 1.
( 5 points ).
Sur une feuille de calcul, le tableau suivant donne le nombre de licences prises � la FFH de 2008 � 2012.
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
1
|
Ann�e
|
2008
|
2009
|
2010
|
2011
|
2012
|
2
|
Nombre de licences
|
24 456
|
25 775 |
26 534
|
27 657
|
31 900
|
3
|
Taux d'�volution entre deux ann�es cons�cutives (%)
|
X
|
5,4
|
|
|
|
1. Calculer le taux d'�volution de licences de 2008 � 2012.
(31 900-24 456) / 24 456 x 100 ~30,4 %.
2.
La ligne 3 est au format pourcentage. Quelle formule doit-on saisir en
C3 pour obtenir, par recopie vers la droite, les taux d'�volution entre
deux ann�es cons�cutives ?
=(C2-B2)/B2
Suite
� une nouvelle offre sportive attractive, on consid�re qu'� partir de
2012, le nombre de licences augmente chaque ann�e de 6 %. Avec ce
mod�le, on note un le nombre de licences, en milliers, l'ann�e 2012 +n. On a donc u0 = 31,9.
3.a. Donner la nature de cette suite en pr�cisant sa raison.
Suite g�om�trique de raison 1,06.
3.b. Exprimer un en fonction de n.
un = u0 x1,06n = 31,9 x 1,06n.
3.c Calculer u4 et interpr�ter.
u4 = 31,9 x 1,064 ~40,3.
En 2016, il y a environ 40300 licences.
4.a Montrer qu'avec ce mod�le l'objectif "Cap 2024" ( 75 000 licences) ne serait pas atteint.
u12 = 31,9 x 1,0612 ~64,2, valeur inf�rieure � 75.
4.b. D�terminer en quelle ann�es le nombre de licences d�passerait 75 000.
un = 31,9 x1,06n > 75 ; 1,06n > 75 / 31,9 ; 1,06n > 2,35 ; n ln(1,06 ) > ln(2,35) ; n > 14,67 soit 15 ( ann�e 2027).
u14= 31,9 x 1,0614 ~72,1 ; u15= 31,9 x 1,0615 ~76,5.
Exercice 2. 8 points.
Partie A.
Le
tableau ci-dessous donne le taux moyen d'abandon scolaire des jeunes
�g�s de 18 � 24 ans dans l'Union Europ�enne de 2006 � 2013.
Ann�e
|
2006
|
2007
|
2008
|
2009
|
2010
|
2011
| 2012
|
2013
|
Rang
de l'ann�e xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
| 6
|
7
|
taux moyen d'abandon scolaire yi ( %)
|
15,3
|
14,9
|
14,7
|
14,2
|
13,9
|
13,4
| 12,7
|
11,9
|
On donne le nuage de
points Mi(xi, yi).
1. D�terminer les
coordonn�es (xG, yG) du point moyen G de ce
nuage. Placer ce point sur le graphique.
xG=(0 +1 +2 +3 +4 +5+6+7) / 8=15 / 6 =3,5.
yG =(15,3 +14,9+14,7 +14,2 +13,9 +13,4+12,7+11,9) / 8 =13,88.
2. D'apr�s la forme du nuage, on
peut envisager un ajustement affine. On admet que la droite D d'�quation y = -0,45
x +15,5 r�alise cet ajustement.
Construire la
droite D en
pr�cisant les coordonn�es des points utilis�s.
La droite passe par le point G et par le point de coordonn�es ( 0 ; 15,5).
3. Selon ce mod�le, estimer le
nombre de taux moyen d'abandons en 2017.
x = 11 ; y = -0,45*11 +15,5 =10,55 %.
4. D�terminer au cours de quelle ann�e le taux moyen d'abandon passera en dessous de 9 %.
-0,45 x+15,5 < 9 ; 0,45 x > 15,5-9 ; x > 6,5 / 0,45 ; x > 14,4.
Au cours de l'ann�e 2019, ce taux passera en dessous de 9 %.
Partie B.
Le tableau suivant donne les r�sultats d'une enqu�te concernant un
�chantillon de jeunes de 18 � 25 ans selon la cat�gorie professionnelle
du p�re.
|
Jeunes sortis sans dipl�me
|
Jeunes sortis avec dipl�me
|
Total
|
P�re ouvrier
|
40
|
140
|
180
|
P�re non ouvrier ( employ�s )
|
40
|
280
|
320
|
Total
|
80
|
420
|
500
|
En
utilisant les donn�es de ce tableau, pour chacune des affirmations
suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant par un
calcul.
1. Parmi les jeunes sortis sans dipl�me, pr�s de la moiti� ont un p�re ouvrier. Vrai.
40 / 80 = 0,5.
2. Pr�s de 85 % des enfants d'employ�s sortent avec un dipl�me. Faux.
280 / 320 =0,875.
Partie C.
On consid�re un �chantillon de jeunes de 18 � 25 ans selon la cat�gorie
socio-professionnelle du p�re. On choisit au hasard la fiche d'un jeune
dans cette population et on consid�re les �v�nements suivants :
D : le jeune est sorti avec dipl�me.
O : le jeune a un p�re ouvrier.
84 % des jeunes interrog�s sont sortis avec un dipl�me, et parmi ces 84 %, 32 % ont un p�re ouvrier.
Parmi les jeunes sortis sans dipl�me, la moiti� ont un p�re ouvrier.
1. Compl�ter l'arbre de probabilit�s suivant.
2. Pr�ciser Pnon D (O) et interpr�ter.
Pnon D (O)=0,08.
La probabilit� d'�tre non diplom� en ayant un p�re ouvrier est �gale � 0,08.
3. Interpr�ter l'�v�nement D n O et calculer sa probabilit�.
Le jeune diplom� a un p�re ouvrier. Sa probabilit� est �gale � 0,32 x0,84 = 0,2688.
4. a. Montrer que P(O) ~0,35.
Formule des probabilit�s totales : 0,32 x 0,84 + 0,16 x0,5 ~0,35.
4.b. Les �v�nements O et D sont-ils ind�pendants ? Justifier.
P(O) = 0,35 ; P(D) = 0,84 ; P(O) xP(D) =0,35 x0,84 =0,294.
P(O n D) =0,2688, diff�re de 0,294.
Les �v�nements O et D ne sont pas ind�pendants.
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Exercice 3.
( 7 points).
Un
m�decin donne une dose de m�dicament � 2 patients en utilisant deux
voies d'administration diff�rentes : par voie orale ou par voie
intraveineuse.
Partie A.
Une dose de 60 mg / L de ce m�dicament est administr�e par voie oral au
premier patient � l'instant t =0. La courbe suivante repr�sente la
concentration en mg / L du m�dicament dans le sang du patient en
fonction du temps par heure. R�pondre aux questions suivantes en
utilisant le graphe.
1. D�terminer la concentration du m�dicament � t = 3 heures. 17 mg / L
2. Au bout de combien de temps la concentration est-elle maximale ? 0,8 h ou 48 minutes.
3. D�terminer la dur�e pendant laquelle la concentration du m�dicament reste � l'int�rieur de l'intervalle th�rapeutique ( C > 25 mg / L).
Environ 2 heures.
Partie B.
Le second patient re�oit une dose de 60 mg / L de ce m�dicament par
voie intraveineuse. On admet que la concentration ( en mg / L) du
m�dicament dans le sang du patient, en fonction du temps �coul� ( en
heure) depuis l'injection, est donn�e par la fonction g d�finie sur
l'intervalle [0 ; 7] par : g(t) = 60 x 0,75t.
1. D�terminer le sens de variation de la fonction f(t) = 0,75t.
0 < 0,75 < 1 donc 0,75t est d�croissante sur [0 ; 7].
2. a. Compl�ter le tableau suivant :
t
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
g(t)
|
60
|
45
|
33,8
|
25,3
|
19,0
|
14,2
|
10,7
|
8,0
|
2.b. Compl�ter la courbe repr�sentative de la fonction g.
3. R�soudre dans l'intervalle [0 ; 7 ] l'in�quation g(t) < 25.
60 x 0,75t < 25 ; 0,75t < 25 /60 ; 0,75t < 0,417 ;
t ln(0,75) < ln(0,417) ; -0,288 t < -0,875 ; t > 0,875 / 0,288 ; t > 3 heures.
Partie C.
D�terminer le mode d'administration � privil�gier pour que la dur�e d'efficacit� du m�dicament soit la plus longue.
Par voie orale, l'intervalle th�rapeutique est de 2 heures.
Par voie intraveineuse, l'intervalle th�rapeutique est de 3 heures. Ce mode d'administration est � privil�gier.
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