Math�matiques, bac ST2S M�tropole, La R�union 2020.

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Exercice 1. ( 5 points ).
  Sur une feuille de calcul, le tableau suivant donne le nombre de licences prises � la FFH de 2008 � 2012.

A
B
C
D
E
F
1
Ann�e
2008
2009
2010
2011
2012
2
 Nombre de licences
24 456
25 775 26 534
27 657
31 900
3
Taux d'�volution entre deux ann�es cons�cutives (%)
X
5,4




1. Calculer le taux d'�volution de licences de 2008 � 2012.
(31 900-24 456) / 24 456 x 100 ~30,4 %.
2. La ligne 3 est au format pourcentage. Quelle formule doit-on saisir en C3 pour obtenir, par recopie vers la droite, les taux d'�volution entre deux ann�es cons�cutives ?
=(C2-B2)/B2
Suite � une nouvelle offre sportive attractive, on consid�re qu'� partir de 2012, le nombre de licences augmente chaque ann�e de 6 %. Avec ce mod�le, on note un le nombre de licences, en milliers, l'ann�e 2012 +n. On a donc u0 = 31,9.
3.a. Donner la nature de cette suite en pr�cisant sa raison.
Suite g�om�trique de raison 1,06.
3.b. Exprimer un en fonction de n.
un = u0 x1,06n = 31,9 x 1,06n.
3.c Calculer u4 et interpr�ter.
u4 = 31,9 x 1,064 ~40,3.
En 2016, il y a environ 40300 licences.
4.a  Montrer qu'avec ce mod�le l'objectif "Cap 2024" ( 75 000 licences) ne serait pas atteint.
u12 = 31,9 x 1,0612 ~64,2, valeur inf�rieure � 75.
4.b. D�terminer en quelle ann�es le nombre de licences d�passerait 75 000.
un = 31,9 x1,06n > 75 ;
1,06n > 75 / 31,9 ; 1,06n > 2,35 ; n ln(1,06 ) > ln(2,35) ; n >  14,67 soit 15  ( ann�e 2027).
u14=
31,9 x 1,0614 ~72,1 ; u15= 31,9 x 1,0615 ~76,5.


Exercice 2. 8 points.
Partie A.
Le tableau ci-dessous donne le taux moyen d'abandon scolaire des jeunes �g�s de 18 � 24 ans dans l'Union Europ�enne de 2006 � 2013.
Ann�e
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
Rang de l'ann�e xi
0
1
2
3
4
5
6
7
taux moyen d'abandon scolaire yi ( %)
15,3
14,9
14,7
14,2
13,9
13,4
12,7
11,9
On donne le nuage de points Mi(xi, yi).
1. D�terminer les coordonn�es (xG, yG) du point moyen G de ce nuage. Placer ce point sur le graphique.
xG=(0 +1 +2 +3 +4 +5+6+7) / 8=15 / 6 =3,5.
yG =(15,3 +14,9+14,7 +14,2 +13,9 +13,4+12,7+11,9) / 8 =13,88.
2. D'apr�s la forme du nuage, on peut envisager un ajustement affine. On admet que la droite D d'�quation  y = -0,45 x +15,5 r�alise cet ajustement.
Construire la droite D en pr�cisant les coordonn�es des points utilis�s.
La droite passe par le point G et par le point de coordonn�es ( 0 ; 15,5).

3. Selon ce mod�le, estimer le nombre de taux moyen d'abandons en 2017.
x = 11 ; y = -0,45*11 +15,5 =10,55 %.
4. D�terminer au cours de quelle ann�e le taux moyen d'abandon passera en dessous de 9 %.
-0,45 x+15,5 < 9 ; 0,45 x > 15,5-9 ; x > 6,5 / 0,45 ; x > 14,4.
Au cours de l'ann�e 2019, ce taux passera en dessous de 9 %.

Partie B.
Le tableau suivant donne les r�sultats d'une enqu�te concernant un �chantillon de jeunes de 18 � 25 ans selon la cat�gorie professionnelle du p�re.

Jeunes sortis sans dipl�me
Jeunes sortis avec dipl�me
Total
P�re ouvrier
40
140
180
P�re non ouvrier ( employ�s )
40
280
320
Total
80
420
500
En utilisant les donn�es de ce tableau, pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant par un calcul.
1. Parmi les jeunes sortis sans dipl�me, pr�s de la moiti� ont un p�re ouvrier. Vrai.
40 / 80 = 0,5.
2. Pr�s de 85 % des enfants d'employ�s sortent avec un dipl�me. Faux.
280 / 320 =0,875.

Partie C.
On consid�re un �chantillon de jeunes de 18 � 25 ans selon la cat�gorie socio-professionnelle du p�re. On choisit au hasard la fiche d'un jeune dans cette population et on consid�re les �v�nements suivants :
D :  le jeune est sorti avec dipl�me.
O : le jeune a un p�re ouvrier.
84 % des jeunes interrog�s sont sortis avec un dipl�me, et parmi ces 84 %, 32 % ont un p�re ouvrier.
Parmi les jeunes sortis sans dipl�me, la moiti� ont un p�re ouvrier.
1. Compl�ter l'arbre de probabilit�s suivant.

2. Pr�ciser Pnon D (O) et interpr�ter.
Pnon D (O)=0,08.
La probabilit� d'�tre non diplom� en ayant un p�re ouvrier est �gale � 0,08.
3. Interpr�ter l'�v�nement D n O et calculer sa probabilit�.
Le jeune diplom� a un p�re ouvrier. Sa probabilit� est �gale � 0,32 x0,84 = 0,2688.
4. a. Montrer que P(O) ~0,35.
Formule des probabilit�s totales : 0,32 x 0,84 + 0,16 x0,5 ~0,35.
4.b. Les �v�nements O et D sont-ils ind�pendants ? Justifier.
P(O) = 0,35 ; P(D) = 0,84 ; P(O) xP(D) =0,35 x0,84 =0,294.
P(O n D) =0,2688, diff�re de 0,294.
Les �v�nements O et D ne sont pas ind�pendants.



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Exercice 3. ( 7 points).
Un m�decin donne une dose de m�dicament � 2 patients en utilisant deux voies d'administration diff�rentes : par voie orale ou par voie intraveineuse.
Partie A.
Une dose de 60 mg / L de ce m�dicament est administr�e par voie oral au premier patient � l'instant t =0. La courbe suivante repr�sente la concentration en mg / L du m�dicament dans le sang du patient en fonction du temps par heure. R�pondre aux questions suivantes en utilisant le graphe.
1. D�terminer la concentration du m�dicament � t = 3 heures. 17 mg / L
2. Au bout de combien de temps la concentration est-elle maximale ? 0,8 h ou 48 minutes.
3. D�terminer la dur�e pendant laquelle la concentration du m�dicament reste � l'int�rieur de l'intervalle th�rapeutique ( C > 25 mg / L).
Environ 2 heures.
 
Partie B.
Le second patient re�oit une dose de 60 mg / L de ce m�dicament par voie intraveineuse. On admet que la concentration ( en mg / L) du m�dicament dans le sang du patient, en fonction du temps �coul� ( en heure) depuis l'injection, est donn�e par la fonction g d�finie sur l'intervalle [0 ; 7] par : g(t) = 60 x 0,75t.
1. D�terminer le sens de variation de la fonction f(t) = 0,75t.
0 < 0,75 < 1 donc 0,75t est d�croissante sur [0 ; 7].
2. a. Compl�ter le tableau suivant :
t
0
1
2
3
4
5
6
7
g(t)
60
45
33,8
25,3
19,0
14,2
10,7
8,0

2.b. Compl�ter la courbe repr�sentative de la fonction g.

3. R�soudre dans l'intervalle [0 ; 7 ] l'in�quation g(t) < 25.
60 x 0,75t < 25 ; 0,75t < 25 /60 ; 0,75t < 0,417 ;
t ln(0,75) < ln(0,417) ; -0,288 t < -0,875 ; t > 0,875 / 0,288 ; t > 3 heures.

Partie C.
D�terminer le mode d'administration � privil�gier pour que la dur�e d'efficacit� du m�dicament soit la plus longue.
Par voie orale, l'intervalle th�rapeutique est de 2 heures.
Par voie intraveineuse, l'intervalle th�rapeutique est de 3 heures. Ce mode d'administration est � privil�gier.




  

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