Math�matiques, bac Sti2d
2021.
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d’int�r�ts.
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Le candidat choisit 4 questions parmi les 6 propos�es.
Question 1.
On consid�re le nombre complexe z= (2-6i) / (2-i). D�terminer sa forme alg�brique.
Multiplier num�rateur et d�nominateur par 2+i.
z = (2-6i)(2+i) / [(2-i)(2+i)] = (4+2i-12i-6i2) / (4-i2) =(10-10i)/ 5 =2-2i.
Question 2. On consid�re le nombre complexe z = -2-2i.
a. D�terminer sa forme exponentielle.
Module de z : |z| =[(-2)2+(-2)2]� =(4+4)� =8� = 2 . 2�.
z / |z| =-1 /2� -i / 2� = cos ( 5 p/4) + i sin(5 p/4)
z = 2 . 2� exp (i 5 p/4).
b. Montrer que z4 est un nombre r�el � d�terminer.
z4 =(2 . 2�)4 exp (i 5 p / 4 x 4) =64 exp(i 5 p).
5 p = 2 x(2p) + p ; exp(i 5 p) = exp(i p) = -1
z4 =64 exp(i p) = - 64.
Question 3.
On consid�re A, B, C les points du plan d'affixes respectives :
zA = 2-2i ; zB = -2-2i ; zC = -4i.
a. Placer ces points dans le plan complexe.
b. Montrer que le triangle ABC est rectangle et isoc�le.
BC2=[(0-(-2))2+(-4-(-2))2]=(4+4=8 ; BC = 2 . 2�.
AC2=[(0-(-2))2+(-4-(-2))2]=(4+4=8 ; AC = 2 . 2�.
Le triangle ABC est isoc�le.
AB2=[(-2-2)2+(-2-(-2))2]=16.
AB2=BC2 +AC2.
D'apr�s la r�ciproque du th�or�me de Pythagore, le traingle ABC est rectangle en C.
Question 4.
On consid�re l'�quation diff�rentielle y' +5y = 7 o� y est une fonction de la variable t, d�finie et d�rivable sur R.
a. R�soudre cette �quation.
Solution g�n�rale de y' + 5y =0 : y = k e-5t avec k une constante.
Solution particuli�re de y' +5y=7 : y = 7 /5 = 1,4.
Solution g�n�rale de y' +5y = 7 : y = k e-5t +1,4.
b. Pr�ciser l'expression de la solution f v�rifiant f(0)=4.
f(0) = 4 = k e0 +1,4 = k +1,4 ; k = 2,6.
f(t) = 2,6 e-5t +1,4.
Question 5.
Soit g la fonction d�finie et d�rivable sur ]0 ; + oo[ par g(x) =x ln(x) -x+4.
a. Montrer que sa d�riv�e g '(x) = ln(x).
On pose u = x et v = ln(x) ; u' = 1 ; v' = 1 /x ;
u'v+v'u =ln(x) +x / x = ln(x) +1.
D�riv�e de -x+4 : -1.
g'(x) = ln(x)+1-1 = ln(x).
b. En d�duire le sens de variation de g.
Sur ]0 ; 1[, ln(x) < 0 et g(x) est strictement d�croissante.
Sur ]1 ; + oo[, g'(x) est positive et g(x) est strictement croissante.
Si x = 1, g'(x) est nulle et g(x) pr�sente un minimum.
Question 6.
On consid�re la fonction h d�finie sur R par h(x) = x2e-x.
a. Calculer la limite en -oo.
x2 tend vers +oo et e-x tend vers +oo ; h(x) tend vers +oo.
b. Calculer la limite en +oo.
x2 tend vers +oo et e-x tend vers z�ro ; h(x) tend vers z�ro.
On admet que h est strictement d�croissante sur [2 ; +oo[ et que
l'�quation h(x) = 0,5 addmet une unique solution dans cet intervalle
que l'on note a. Compl�ter le programme ci-dessous pour que la fonction sol_bal d�termine une valeur approch�e de a � 10-n pr�s.
def sol_ bal(n) :
x=2
while x2e-x > 0,5 :
x = 2+10-n
return x.
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