Math�matiques, Bac Sti2d 2021.

Question 1.
On consid�re la fonction f d�finie sur ]0 ; +oo[ par f(x) = ax+b-ln(x) o� a et b sont des r�els. On note C la courbe repr�sentative de f. On note A le point d'abscisse 0,5 appartenant � C. On trace T la tangente � C en A. La droite T est parall�le � l'axe des abscisses. Le point B(1 ; 1) appartient � C.

a. Donner la valeur de f(1). En d�duire une relation entre a et b.
f(1) est l'ordonn�e du point B ; f(1) = 1
1 = a+b-ln(1) ; 1 = a+b.
b. Justifier que f '(0,5) = 0. En d�duire la valeur de a.
T tangente � la courbe C en A est parall�le � l'axe des abscisses ; le coefficient directeur de T est donc nul.
f '(0,5) = 0 ; f '(x) = a -1 /x ; f '(0,5) = a-1 /0,5 = a-2 =0 ; a = 2
c. En d�duire la valeur de b.
a+b = 1 avec a = 2 ; b = -1.

Question 2.
Une entreprise ach�te une machine d'une valeur de 300 000 €. Cette machine perd de sa valeur au cours des ann�es. Cette perte exprim�e en euros, � l'instant t exprim� en ann�e, est mod�liis�e par lea fonction f d�finie sur [0 ; 15] par f(t) = 300 000 (1-e^-0,09t).
Au bout de combien d'ann�es la machine aura t-elle perdu la moiti� de sa valeur ?
150 000 = 300 000 (1-e^-0,09t).
0,5 = 1-e^-0,09t ; 0,5 = e^-0,09t ; ln 0,5 = -0,09t ; ln2 =0,09 t ; t = ln 2 / 0,09 ~7,7. On retient t = 8 ans.

Question 3.
On consid�re la fonction f d�finie sur ]0 ; +oo[ par f(x) = 2x-1-ln(x)
a. Montrer que f '(x) = (2x-1) / x.
f '(x) = 2 -1 /x = 2x / x -1 /x = (2x-1) / x.
b. Dresser le tableau de variation de f(x).

Question 4.
On consid�re l'�quation diff�rentielle (E) : y'+0,0434y=0.
a. D�terminer sur ]0 ; +oo[ la solution P de cette �quation qui v�rifie y(0) = 6,75.
y = A e^-0,0434x avec A une constante.
y(0) =A e⁰ = 6,75.
P = 6,75 e^-0,0434x .
b. Un signal de puissance initiale P(0) = 6,75 mW parcourt une fibre optique. La puissance du signal, exprim�e en mW, lorsque celui-ci a parcouru une distance de x km depuis l'entr�e de la fibre est donn�e par P(x), o� P est la fonction d�finie � la question a.
Montrer que la perte de puissance une fois que le signal a parcouru 1 km depuis l'entr�e est d'environ 287 �W.
P(1) =6,75 e^-0,0434 ~6,463 mW.
Perte : 6,75 -6,463 =0,287 mW = 287 �W.

Question 5.
Soit f la fonction d�finie sur R par f(x) = (x²+5x+4)e^x.
Soit F la fonction d�finie sur R par F(x) =(x²+3x+1)e^x.
a. Montrer que F'(x) =f(x).
On pose u = x²+3x+1 et v = e^x ; u' = 2x+3 ; v' = e^x.
u'v +v'u = (2x+3)e^x +(x²+3x+1)e^x = (x²+3x+4)e^x = f(x).
b. Calculer l'int�grale suivante :

Question 6.
La tension aux bornes d'un g�n�rateur est donn�e par u(t) = 240 cos(50t)-240 sin(50t).
U est exprim�e en volt et le temps en seconde.
a. D�montrer l'expression suivante pour t >0.

b. En d�duire la fr�quence f = w /(2p) exprim�e en Hz.
w = 50 rad /s ; f = 50 / 6,28 ~7,96 ~ 8 Hz.