Math�matiques,
bac STI2D et STL / SPCL M�tropole 09 / 2021.
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Exercice 3. QCM. 4 points.
Traiter 4 questions parmi les 6 propos�es. Pr�ciser si l'affirmation est vraie ou fausse en justifiant.
Question 1.
Soit la fonction f d�finie sur R par f(x) = x2ex.
Affirmation 1. La fonction est croissante sur R. Faux.
Calcul de la d�riv�e f '(x) en posant u = x2 et v = ex.
u' = 2x ; v' = ex.
u'v+v'u = 2xex+x2ex =xex(2+x).
Question 2.
On consid�re la fonction h d�finie sur ]0 ; +oo[ par h(x) = ln(2x+1).
On d�signe par C sa courbe repr�sentative dans un rep�re orthonorm�
d'origine O et d'unit� graphique 1 cm. On note M(x ; y) un point de la
courbe C. On suppose que l'ordonn�e de M est sup�rieure � 15 cm.
Affirmation 2 : l'absciise x du point M se situe � plus de 16 km du point O. Vrai.
h '(x) = 2 / (2x+1) >0 ; h(x) est strictement croissante.
ln(2x+1) > 15 ; 2x+1 > e15 ; x > (e15-1) / 2~3,27 106 cm =3,26 104 m = 32,6 km.
Question 3.
Le thorium radioactif se d�sint�gre suivant la loi N(t) =N0 exp(-0,027t) o� N0 d�signe le nombre de noyaux � la date t = 0. Le temps est exprim� en heures.
Affirmation 3. La demi-vie du thorium est d'environ 11 heures. Faux.
N(t�) =N0 / 2=N0 exp(-0,027t�).
0,5 = exp(-0,027t�).
ln(0,5) = -0,027t� ; t� ~25,7 heures.
Question 4. Soit f la fonction d�finie sur R par f(t) = cos (t) + 2 sin(t).
On consid�re l'�quation diff�rentielle (E) : y"+y=0.
Affirmation 4. La fonction f est solution sur R de l'�quation diff�rentielle (E) et v�rifie y(0) = 1 et y'(0) = 2. Vrai.
f '(t) = -sin(t) +2 cos(t).
f "(t) = -cos(t) -2 sin(t).
Repport dans (E) :
-cos(t) -2 sin(t) +cos (t) + 2 sin(t) = 0 est v�rifi�e pour tout t.
f '(0) = -sin(0) + 2 cos(0) = 0+2 = 2.
f(0) =cos(0) +2 sin(0) = 1.
Question 5. On consid�re le nombre complexe z = (2-i) / (1-3i)
Affirmation5. Le nombre complex z4 est un nombre r�el n�gatif. Vrai.
z = (2-i)(1+3i) / [(1-3i)(1+3i)].
z =(2-3i2-i+6i) / (1-9i2)=(5+5i) / 10 = 0,5 +0,5i.
Module de z : |z|=(0,52 +0,52)� =0,5�.
z / |z| = 0,5� +0,5�i = cos (p / 4) + i sin(p/4)= = exp(ip/4)
z = 0,5� exp(ip/4).
z4 = 0,25 exp(ip).
Question 6. Le plan complexe est muni d'un rep�re orthonorm� direct. On consid�re les points A, B et C d'affixes respectives :
zA = -1+i ; zB = 4+2i ; zC = -4i.
Affirmation 6. Le triangle ABC est rectangle isoc�le.Vrai.
AB = |zB-zA| =(52+12)� =26�.
AC = |zC-zA| =(12+(-5)2)� =26�.
AB = AC, ce triangle est isoc�le.
BC = |zC-zB| =((-4)2+(-6)2)� =52�.
AB2 + AC2 = BC2, d'apr�s la r�ciproque du th�or�me de Pythagore, ce triangle est rectangle en A.
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