Math�matiques, bac STI2D biotechnologies Antilles 2020.

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Exercice 1.
Dans un centre avicole, les oeufs sont pes�s suivant 4 cat�gories avant exp�dition.
XL : tr�s gros oeufs d'un poids sup�rieur ou �gal � 73 g ;
L :
tr�s gros oeufs d'un poids sup�rieur ou �gal � 63 g et strictement inf�rieur � 73 g ;
M : pour des oeufs moyens d'un poids sup�rieur ou �gal � 53 g et strictement inf�rieur � 63 g ;
S : pour les petits oeufs dont le poids est strictement inf�rieur � 53 g.
On note G la variable al�atoire qui prend  pour valeur la masse ( en gramme ) d'un oeuf.
On admet que G suit la loi normale de moyenne �= 60 et d'�cart type s.
1. Sachant que P(52,8 < G < 67,2 =0,95, d�terminer s.
On pose Z =( G-�) / s.
P(52,8 -60 < G-60 < 67,2 -60=0,95.
P( -7,2 < G-60 < 7,2) = 0,95.
P( -7,2 / s < Z < 7,2) / s = 0,95.
2P(Z < 7,2 / s)-1 = 0,95 ; P(Z < 0,9 / s) =0,975 ;
s = 3,7.
 Pour la suite de l'exercice, on prend s =4.
2. On pr�l�ve au hasard un oeuf dans ce centre.
a. D�terminer la probabilit� que cet oeuf soit moyen
P (53 < G < 63) ; P (53 < G) =0,00406 ; P (63 < G) =0,7734 ;
P (53 < G < 63) =0,7734 -0,00406 =0,7333.
b. D�terminer la probabilit� que cet oeuf soit un tr�s gros oeuf.
P (G > 73)=1- P(73 < G)=1- 0,9994 ~0,0006.
3. Ce centre affirme que le nombre d'oeufs de cat�gorie L correspond � 37 % du nombre total d'oeufs.
Sur un lot choisi au hasard de 35 douzaines d'oeufs non tri�s, on comptabilise 168 oeufs de cat�gorie L. Avec un risque d'erreur de 5 %, l'affirmation du centre avicole est-elle remise en cause ?
n = 35 x12=420 ; p = 0,37 ; [ p(1-p) / n ]= (0,37 x0,63 / 420) =0,0236.
1,96 x[ p(1-p) / n ]=1,96 x0,0236 ~0,0462.
0,37 -0,0462 ~0,324 ;
0,37 +0,0462 ~0,416.
Intervalle de fluctuation asymptotique � 95 % : [0,324 ; 0,416 ].
Fr�quence observ�e 168 / 420 = 0,40.
La fr�quence observ�e appartient � l'intervalle de fluctuation. On ne peut pas mettre en doute l'affirmation du centre.


Exercice 2.
Une infection est trait�e en injectant un m�dicament par voie intraveineuse. A l'instant t=0, on injecte au patient une dose de 3 UI du m�dicament qui se diffuse instantan�ment dans le sang. Le m�dicament est progressivement �limin�. La quantit� de m�dicament diminue de 20 % par heure. Pour conserver son efficacit� th�rapeutique, on injecte toute les heures une dose de 2 UI au patient, en �vitant un surdosage. On mod�lise cette situation � l'aide d'une suite u. On a u0 = 3.
Partie A.
1. Montyrer que u1 = 4,4.
u1 = 0,8 u0 +2 = 0,8 x3 +2 = 4,4.
2. On r�alise une feuille de tableur. Parmi les formules propos�es, reporter sur votre copie celle entr�e en B3, qui, recopi�e vers le bas, donne les valeurs successives de un.


3. La suite u est-elle g�om�trique ? Justifier.
un+1 = 0,8 un +2 ; un+1 / un n'est pas constant ; la suite n'est pas g�om�trique.

Partie B.
On consid�re la suite v d�finie pour tout n entier naturel par vn = un -10. v0 = -7.
On admet que la suite vn est g�om�trique de raison 0,8.
1. D�montrer que un = -7 x 0,8n +10.
vn = -7 x 0,8n ; un = vn +10 =10
-7 x 0,8n .
2. D�terminer la limite de la suite u et interpr�ter.
-1 < 0,8 < 1, alors 0,8n tend vers z�ro quand n tend vers plus l'infini.
Au bout d'un temps suffisamment long, la quantit� de m�dicament dans le sang est �gale � 10 UI.
3. Un laboratoire recommande de ne pas d�passer 8 UI. D�terminer le nombre maximal d'injections possibles.
10-7 x 0,8n < 8 ; 2 < 7 x 0,8n ; 2 / 7 < 0,8n ;
ln(2 /7) < n ln(0,8) ; n  < ln(2 /7) / ln(0,8) ; n < 5,6 soit n < 5.

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Exercice 3.
On se propose d'�tudier le refroidissement du caf�. On dispose d'une tasse de caf� � 100�C que l'on place dans une salle o� r�gne une temp�rature constante de 20�C.
Partie A.
On mesure la temp�rature q du caf� � diff�rents instants t.
Afin de r�aliser un ajustement affine, on pose z = ln q.
temps (min)
0
1
2
5
12
15
20
35
60
temp�rature q (�C)
100
90
85
70
50
42
35
27
20
ln(q)
4,605
4,500
4,443
4,248
3,912
3,738
3,555
3,296
2,996

1. Donner une �quation de la droite d'ajustement de z en t.
z = -0,027t +4,37.
2. Justifier que la temp�rature du caf� au bout de 10 minutes est d'environ 60�C.
z = -0,027 x10 +4,37 =4,10 ; q = e4,10 ~60.
3. Ce mod�le est-il pertinent pour estimer la temp�rature du caf� au bout de 2 heures ?
z = -0,027 x120 +4,37 =1,13 ;
q = e1,13 ~3,1 �C.
Ce mod�le ne convient pas  pour estimer la temp�rature du caf� au bout de 2 heures.. Au bout de 2 heures, le caf� est � la temp�rature de la salle..


Partie B.
D'apr�s la loi de Newton, l'�quation diff�rentielle (E) : y'(t) +0,1 y(t) = 2 permet de mod�liser la temp�rature du caf� en fonction du temps ( minute).
1. R�soudre cette �quation.
Solution g�n�rale de y'(t) +0,1 y(t) =0 : y(t) = A e-0,1t avec A une constante.
Solution particuli�re de (E) : y= 2 /0,1 = 20.
Solution g�n�rale de (E) : y(t) = A e-0,1t +20.
2. D�terminer la solution v�rifiant f(0) = 100.
100 = A +20 ; A = 80.
f(t) = 80
e-0,1t +20.
3. D�terminer la temp�rature de la tasse au bout de 10 minutes.
y(10) = 80 e-1 +20 ~49 �C.
4. R�soudre
80e-0,1t +20 < 35. Interpr�ter.
80e-0,1t  < 35 -20 ; 80e-0,1t  < 15 ;
e-0,1t  < 15 / 80 ; -0,1t < ln(15 /80) ; 0,1t > ln(15 /80).
 t >
ln(15 /80)  /0,1 ; t >16,7 minutes.
Au bout d'environ 17 minutes, la temp�rature du caf� est inf�rieure � 35�C.
5. On admet que la limite de e-0,1t en plus l'infini est �gale � z�ro. D�terminer la limite de f et interpr�ter.
f(t) = 80e-0,1t +20.
f(t) tend vers 20�C au bout d'un temps suffisamment long, temp�rature de la salle.

Exercice 4.
On consid�re la fonction f d�finie sur ]0 ; 1] par : f(x) = 5 ln(x) -10x +10.
On donne la repr�sentation de la courbe correspondant � f.

1.a Quelle conjecture peut-on faire quant aux variations de f ?
La fonction est strictement croissante puis strictement d�croissante. Le maximum correspond � x = 0,5.
1.b. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de f en 0 ?
f tend vers moins l'infini quand x tend vers z�ro.

2. D�montrer que f '(x)= 5(1-2x) / x.
f '(x) = 5 / x -10 = (5-10x) / x = 5(1-2x) / x.
3. D�montrer les conjectures pr�c�dentes.
f '(x) est du signe de 1-2x.

4. On consid�re l'algorithme suivant :
x = 0,4
M=f(0,4)
Pour i allant de 1 � 12
x = x+0,05
y = f(x)
Si y > M
alors M=y
Fin Si
Fin Pour
a. Coml�ter le tableau suivant.
i

1
2
3
4
x
0,4
0,45
0,50
0,55
0,60
y

1,507
1,534
1,511
1,446
M
1,419
1,507
1,534
1,534
1,534
b. Quelle est la valeur de M � la fin de l'ex�cution de l'algorithme ? Que repr�sente-t-elle pour la fonction f ?
M contient l'ordonn�e du maximum de la fonction f(x), soit environ 1,534.

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