Math�matiques, bac STI2D biotechnologies Antilles 2020.

Exercice 1.
Dans un centre avicole, les oeufs sont pes�s suivant 4 cat�gories avant exp�dition.
XL : tr�s gros oeufs d'un poids sup�rieur ou �gal � 73 g ;
L : tr�s gros oeufs d'un poids sup�rieur ou �gal � 63 g et strictement inf�rieur � 73 g ;
M : pour des oeufs moyens d'un poids sup�rieur ou �gal � 53 g et strictement inf�rieur � 63 g ;
S : pour les petits oeufs dont le poids est strictement inf�rieur � 53 g.
On note G la variable al�atoire qui prend pour valeur la masse ( en gramme ) d'un oeuf.
On admet que G suit la loi normale de moyenne �= 60 et d'�cart type s.
1. Sachant que P(52,8 < G < 67,2 =0,95, d�terminer s.
On pose Z =( G-�) / s.
P(52,8 -60 < G-60 < 67,2 -60=0,95.
P( -7,2 < G-60 < 7,2) = 0,95.
P( -7,2 / s < Z < 7,2) / s = 0,95.
2P(Z < 7,2 / s)-1 = 0,95 ; P(Z < 0,9 / s) =0,975 ;
s = 3,7.
Pour la suite de l'exercice, on prend s =4.
2. On pr�l�ve au hasard un oeuf dans ce centre.
a. D�terminer la probabilit� que cet oeuf soit moyen
P (53 < G < 63) ; P (53 < G) =0,00406 ; P (63 < G) =0,7734 ;
P (53 < G < 63) =0,7734 -0,00406 =0,7333.
b. D�terminer la probabilit� que cet oeuf soit un tr�s gros oeuf.
P (G > 73)=1- P(73 < G)=1- 0,9994 ~0,0006.
3. Ce centre affirme que le nombre d'oeufs de cat�gorie L correspond � 37 % du nombre total d'oeufs.
Sur un lot choisi au hasard de 35 douzaines d'oeufs non tri�s, on comptabilise 168 oeufs de cat�gorie L. Avec un risque d'erreur de 5 %, l'affirmation du centre avicole est-elle remise en cause ?
n = 35 x12=420 ; p = 0,37 ; [ p(1-p) / n ]^�= (0,37 x0,63 / 420)^� =0,0236.
1,96 x[ p(1-p) / n ]^�=1,96 x0,0236 ~0,0462.
0,37 -0,0462 ~0,324 ; 0,37 +0,0462 ~0,416.
Intervalle de fluctuation asymptotique � 95 % : [0,324 ; 0,416 ].
Fr�quence observ�e 168 / 420 = 0,40.
La fr�quence observ�e appartient � l'intervalle de fluctuation. On ne peut pas mettre en doute l'affirmation du centre.

Exercice 2.
Une infection est trait�e en injectant un m�dicament par voie intraveineuse. A l'instant t=0, on injecte au patient une dose de 3 UI du m�dicament qui se diffuse instantan�ment dans le sang. Le m�dicament est progressivement �limin�. La quantit� de m�dicament diminue de 20 % par heure. Pour conserver son efficacit� th�rapeutique, on injecte toute les heures une dose de 2 UI au patient, en �vitant un surdosage. On mod�lise cette situation � l'aide d'une suite u. On a u₀ = 3.
Partie A.
1. Montyrer que u₁ = 4,4.
u₁ = 0,8 u₀ +2 = 0,8 x3 +2 = 4,4.
2. On r�alise une feuille de tableur. Parmi les formules propos�es, reporter sur votre copie celle entr�e en B3, qui, recopi�e vers le bas, donne les valeurs successives de u_n.

3. La suite u est-elle g�om�trique ? Justifier.
u_n+1 = 0,8 u_n +2 ; u_n+1 / u_n n'est pas constant ; la suite n'est pas g�om�trique.

Partie B.
On consid�re la suite v d�finie pour tout n entier naturel par v_n = u_n -10. v₀ = -7.
On admet que la suite v_n est g�om�trique de raison 0,8.
1. D�montrer que u_n = -7 x 0,8ⁿ +10.
v_n = -7 x 0,8ⁿ ; u_n = v_n +10 =10-7 x 0,8ⁿ .
2. D�terminer la limite de la suite u et interpr�ter.
-1 < 0,8 < 1, alors 0,8ⁿ tend vers z�ro quand n tend vers plus l'infini.
Au bout d'un temps suffisamment long, la quantit� de m�dicament dans le sang est �gale � 10 UI.
3. Un laboratoire recommande de ne pas d�passer 8 UI. D�terminer le nombre maximal d'injections possibles.
10-7 x 0,8ⁿ < 8 ; 2 < 7 x 0,8ⁿ ; 2 / 7 < 0,8ⁿ ;
ln(2 /7) < n ln(0,8) ; n < ln(2 /7) / ln(0,8) ; n < 5,6 soit n < 5.