Math�matiques, bac STI2D et STL M�tropole 09 / 2020.

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Exercice 1.  QCM
1. Le plan complexe est muni d'un rep�re orthonorm� direct.
Le point A d'affixe zA = -1 +i 3� et le point B a pour affixe zB = 2 exp(-i 2p / 3).
a. Les points A et B sont confondus.
b. Les points A et B sont sym�triques par rapport � l'origine du rep�re.
c. Les points A et B sont sym�triques par rapport � l'axe des abscisses du rep�re. Vrai.
d. Les points A et B sont sym�triques par rapport � l'axe des ordonn�es du rep�re.
Module de zA : |zA| =( (-1)2 +3)� = 2.
zA / |zA| = -0,5 + i 3� / 2 =cos (2p/3) + i sin (2p/3) ; 
zA = 2 exp(i 2p / 3).

2. Une forme exponentielle de 2 exp(ip/6) x 2i est :
a. 4 exp(i 2p/ 3). Vrai.
b. 4 exp(i p/ 12) .
c. 4 exp(i 5p/ 12) .
d. 4 exp(-i 2p/ 3) .
i = exp(i p /2) ; exp(ip/6) x i = exp(ip/6) xexp(i p /2).
p/6 +p / 2 = p/6 +3p / 6 =4p / 6 =2p / 3.
2 exp(ip/6) x 2i = 4 exp(i 2p/ 3).

 3. La valeur exacte de l'int�grale est :
2 ; e2-1 ; e2+1 Vrai ; e2+2.
Primitive de f(x)=ex+1 : F(x) = ex+x.
F(2)-F(0)=e2+2-1 = e2+1.
4. Soit g la fonction d�finie sur R par g(x) =e-2x+10. Cette fonction g est une solution de l'�quation diff�rentielle :
y' = y ; y'+2y =0 ; y'-2y = 10 ; y'+2y = 20 Vrai.
g'(x) = -2e-2x ; y' = y est faux.
-2e-2x +2(e-2x+10) = 20 ; y'+2y =0 est faux.
-2e-2x -2(e-2x+10) = -4e-2x-20 ; y'-2y = 10 est faux.
 -2e-2x +2(e-2x+10) =20

Exercice 2. 6 points.
L�o envisage l'achat d'un t�l�phone portable dont la capacit� de stockage est de 32 Go. Selon la notice, la configuration initiale du t�l�phone n�cessite 20% de cette capacit� pour le syst�me d'exploitation.
1. Calculer le nombre de gigaoctets utilis�s par le sys�me d'exploitation apr�s la configuration initiale du t�l�phone.
32 x0,20 = 6,4 Go.
En raison des diff�rentes mises � jour, L�o estime que le nombre de gigaoctets utilis�s par le syst�me d'exploitation augmente de 0,5 % par mois.
2. On note u0 le nombre de Go utilis�s par le syst�me d'exploitation apr�s la configuration initiale. Ainsi u0 = 6,4.
Pour tout entier naturel n > 1, on note un le nombre de Go utilis�s par le syst�me d'exploitation, n mois apr�s la configuration initiale.
a. Montrer que u1 = 6,432 et interpr�ter.
u1 = u0 x(1 +0,005) =6,4 x1,005 =6,432.
Un mois apr�s la configuration initiale, le syst�me d'exploitation utilise 6,432 Go.
b. Montrer que la suite (un) est g�om�trique dont on pr�cisera la raison.
un+1 / un = 1,005 , suite g�om�trique de raison 1,005.
c. Exprimer un en fonction de n.
un = 6,4 x1,005n.
d. Calculer le nombre de gigaoctets utilis�s par le syst�me 2 ans apr�s la configuration initiale.
u24 = 6,4 x1,00524 ~7,2 Go.
L�o estime que pour utiliser son t�l�phone dans de bonnes conditions, celui-ci doit disposer d'une capacit� de stockage disponible d'au moins 4 Go.
e. D�terminer le plus petit entier n v�rifiant l'in�quation 6,4 x1,005n > 28 et interpr�ter.
1,005n > 28 / 6,4 ; n ln(1,005) > ln(28 / 6,4) ; n > ln(28 / 6,4) / ln(1,005) ; n >296.
296 /12=24 ans et 8 mois.
Au bout de 296 mois, le t�l�phone ne sera plus utilis� dans de bonnes conditions.

L�o estime que, chaque mois, les nouvelles photos et les nouveaux messages occuperont 450 Mo suppl�mentaires. Il d�cide de ne rien supprimer.
3. Pour tout entier naturel n, on note vn le nombre de Go utilis�s par le syst�me d'exploitation, les photos et les messages au bout de n mois apr�s la configuration initiale. Ainsi v0 = 6,4.
a. Justifier que vn = 6,4 x1,005n +0,45 n.
Au mois n, le syst�me n�cessite 6,4 x1,005n et les photos et messages occupent 0,45n Go suppl�mentaires.
b. Calculer le nombre de Go utilis�s deux ans apr�s la configuration initiale.
 v24 = 6,4 x1,00524 +0,45 x24 ~7,214 +10,8 ~ 18,0 Go.
c. L�o �crit l'algorithme suivant :
n <-- 0
v <-- 6,4
Tant que v < 28
n <-- n+1
v <-- 6,4 x1,005n+0,45n
Fin Tant que
Que repr�sente le contenu de la variable n � la fin de l'ex�cution de l'algorithme ?
 Au bout du n-i�me mois, le t�l�phone ne sera plus utilis� dans de bonnes conditions.
d. Au bout de combien de mois le t�l�phone de L�o n'aura-t-il plus suffisamment de capacit� de stockage ?
v45 = 28,26 ; v44 =27,77.
Au bout de 45 mois le t�l�phone ne sera plus utilis� correctement.
4. Pour un t�l�phone d'une capacit� de stockage de 64 Go, on admet que la configuration initiale n�cessite 10 Go.
Avec une telle capacit� de stockage, L�o pourrat-il utiliser ce t�l�phone dans de bonnes conditions deux fois plus longtemps que le mod�le de 32 Go ?
v90=10 x1,00590 +0,45 x 90 =15,67 +40,5 ~56,2 Go.
 L�o estime que pour utiliser son t�l�phone dans de bonnes conditions, celui-ci doit disposer d'une capacit� de stockage disponible d'au moins 4 Go.
56,2 +4 = 60,2 Go, valeur inf�rieure � 64 Go. R�ponse  : oui.

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 Exercice 3. 5 points.
Les r�sultats seront arrondis � 10-3 pr�s.
Une voie de chemin de fer relie deux gares A et B sur une distance de 360 km.
La gare A est situ�e au kilom�tre 0 et la gare B au kilom�tre 360.
Partie A.
Sur cette voie circule une locomotive destin�e au transport des marchandises. Cette locomotive peut tomber en panne entre A et B. Lorsque cela se produit, la distance, en km, entre la gare A et le lieu de la panne est une variable not�e D.
On admet que D suit la loi uniforme sur l'intervalle [0 ; 360].
1. D�terminer P(D = 50).
La probabilit� d'obtenir une valeur pr�cise est nulle, la loi �tant continue. P(D = 50) = 0.
2. Cette voie passe par un tunnel dont l'entr�e est situ�e � 10 km de A et la sortie � 15 km de A. Calculer la probabilit� que la locomotive tombe en panne dans ce tunnel.
(15-10) / 360 = 0,0139.
3. La probabilit� que la locomotive tombe en panne avant le kilom�tre 200 est-elle le double de la probabilit� qu'elle tombe en panne avant le kilom�tre 100 ?
P( panne avant le km 100) = 100 / 360 = 5 / 18.
P( panne avant le km 200) = 200 / 360 = 5 / 9 = 2 x 5 / 18. R�ponse : oui.

Partie B.
Sur une p�riode de 4 semaines, on s'int�resse aux trains de voyageurs sur la m�me voie, partant de A et arrivant avec un l�ger retard en B ( retard de moins de 10 min ). Ces retards sont ind�pendants les uns des autres. La probabilit� qu'un  train arrive avec un l�ger retard est de 0,02.
Il y a 16 trajets par jour du lundi au vendredi, 12 trajets le samedi et 8 trajets le dimanche.
1. V�rifier que sur ces 4 semaines, 400 trains circulent entre A et B.
4 ( 16 x5+12+8) =400.
Sur cette voie, le nombre de trains en l�gers retard est une variable al�atoire not�e X.
2.a. Pr�ciser ces param�tres.
n = 400 ; p = 0,02 ; q = 1-p = 0,98.
2.b. D�terminer la probabilit� qu'exactement 5 trains arrivent en l�ger retard sur cette p�riode.
P(X =5) =0,091.
3. On d�cide d'approcher la loi binomiale pr�c�dente par la loi normale d'esp�rance �=8 et d'�cart type s = 2,8.
a. Justifier ces choix.
� = n p = 400 x0,02 = 8 ; s = (npq)� = (400 x0,02 x0,98)� =2,8.
b. Calculer P(4 < X <12).
P(X < 4) =0,07656 ; P(X < 12) =0,9234 ; P(4 < X <12) = 0,9234 -0,07656 ~0,847.
c. D�terminer la probabilit� qu'il y ait au moins 4 trains en l�ger retard.
1-P(X < 4) =1-0,07656 ~0,923.
4. Durant ces 4 semaines, 11 trains sont en l�ger retard. Cette observation remet-elle en cause le pourcentage de trains ayant un l�ger retard estim� � 2 % ?
On recherche un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
1,96 [(p(1-p) / n ]� =1,96 [0,02 x0,98 / 400]� =0,0137.
[0,02-0,0137 ; 0,02 +0,0137] soit [0,0063 ; 0,0337] ou [0,6 % ; 3,4 %].
Fr�quence observ�e : 11 / 400 =0,0275 ou 2,7 %.
Cette valeur appartient � l'intervalle de fluctuation ; cette observation ne remet pas en cause le pourcentage de trains en l�ger retard.
Exercice 4.
Un signal Wi-Fi est �mis avec une puissance de 20 d�cibels-milliwatt ( dBm). L'att�naution du signal d�pend :
de la fr�quence F du signal ( GHz); de la distance D en m�tre parcourue par le signal et des mat�riaux travers�s.
Pour une distance D > 1 m et en l'absence d'obstacle, cette att�nuation est donn�e par : 32,35+8,7 ln( Fx D).
F =2,4 GHz.
1. Montrer qu'une approximation de l'att�nuation de la puissance du signal peut �tre donn�e par A = 40 +8,7 ln(D).
A =32,35+8,7 ln( 2,4 D) =32,35 +8,7 ln(2,4) +8,7 ln(D) ~40 +8,7 ln(D).
2.a. D�terminer A pour une distance D = 10 m.
A = 40 +8,7 ln(10) ~60 dBm.
2.b Pour quelle valeur de D la valeur de A est-elle de 80 dBm ?
40 +8,7 ln(D) = 80 ; ln(D) = 40 / 8,7 =4,598 ; D ~99 m.
3. Une valeur approch�e P de la puissance du signal, en dBm, � une distance D de l'�metteur est donn�e par P = 20 -A. Justifier que P = -20-8,7 ln(D).
P = 20 -(40+8,7ln(D) = -20-8,7 ln(D).
Dans la suite, la puissance du signal, en dBm, est mod�lis�e par la fonction f d�finie sur [1 ; 400] par : f(x) = -20-8,7 ln(x), o� x est la distance en m�tre, parcourue par le signal.
4.a. D�terminer f '(x).
f '(x) = -8,7 / x.
4.b. Etudier le signe de f '(x) et en d�duire le sens de variation de f.
x �tant positif sur [1 ; 400], f '(x) est n�gative et f(x) est strictement d�croissante.
5.a Montrer que f(2x) = f(x) -8,7 ln(2).
f(2x) = -20-8,7 ln(2x) = -20 -8,7 ln(2) -8,7 ln(x) =f(x) -8,7 ln(2).
5.b. Lorsque la distance parcourue par le signal est doubl�e, de combien de dBm la puissance du signal diminue-t-elle ?.
f(2x)-f(x) = -8,7 ln(2) ~ -6,0 dBm.
6. Le tableau suivant indique la qualit� du signal en fonction de sa puissance.

Puissance du signal
 Qualit� du signal
Sup�rieure � -50 dBm
 excellente
Comprise entre -60 et -50 dBm
 bonne
Comprise entre -70 et -60 dBm
 moyenne
inf�rieure � -70 dBm
 faible
a. Quelle est la qualit� du signal lorsqu'il a parcouru 10 m ?
f(x) = -20-8,7 ln(10) ~ -40 dBm, valeur sup�rieure � -50 dBm, donc qualit� excellente.
b. R�soudre f(x) = -60.
-60 = -20-8,7 ln(x) ; -40 = -8,7 ln(x) ; ln(x) = 40 / 8,7 ~4,60 ; x ~99 m.
c. En d�duire la distance maximale pour laquelle la qualit� du signal est bonne.
La qualit� du signal est bonne jusqu'� une distance de 99 m.

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