Math�matiques,
bac STI2D biotechnologies M�tropole 09 / 2020.
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Exercice
1. QCM. 4 points.
On consid�re la fonction f d�finie sur [-1 ; 3 ] dont la courbe repr�sentative C est donn�e. On note f ' sa d�riv�e.
La tangente � C au point A(1 ; 0) passe par le point de coordonn�es (0 ; 3).
F d�signe une primitive de f.
Affirmation 1. L'�quation f(x) =0 admet trois solutions dans [-1 ; 3]. Vrai.
La courbe C coupe en trois endroits l'axe des abscisses.
Affirmation 2. L'�quation f '(x) =0 admet trois solutions dans [-1 ; 3]. Faux.
La courbe pr�sente seulement deux extr�mums.
b. Les points A et
B sont sym�triques par rapport � l'origine du rep�re.
Affirmation 3.  Vrai.
L'aire hachur�e est comprise entre 1 et 2 unit�s d'aire.
Affirmation 4. La fonction F est d�croissante sur [0 ; 1]. Faux.
f(x) est la d�riv�e de F(x) ; f(x) est positive sur [0 ; 1], donc F(x) est croissante sur cet intervalle.
Exercice 2. 6 points.
Une
agence de sondage s'est vu confier une enqu�te sur la proportion de
personnes consommant du caf� quotidiennement selon leur �ge.
Partie A.
Tranche d'�ge
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[20 ; 30 [
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[30 ; 40[
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[40 ; 50[
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[50 ; 60[
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[60 ; 70[
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xi
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25
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35
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45
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55
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65
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yi ( pourcentage de consommateurs de caf�)
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42
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50
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65
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72
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84
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1. Repr�senter le nuage de points (xi, yi).
2. D�terminer une �quation de la droite D d'ajustement de y en x et la tracer sur le graphique.
3. Ce mod�le est-il adapt� pour la tranche d'�ge [80 ; 90[. Justifier.
y =1,06 x 85+14,9 =105 %.
Non, un pourcentage ne peut pas d�passer 100.
Partie B.
La consommation annuelle de caf� dans le monde �tait de 9,564 millions
de tonnes en 2018. Entre 2012 et 2018, cette consommation a augment�
d'environ 1,3 % en moyenne par an.
Pour tout entier naturel n, on note cn la consommation mondiale de caf� en millions de tonnes pour l'ann�e 2018 +n. Donc c0 = 9,564.
On suppose que cette consommation continue d'augmenter de 1,3 % tous les ans.
1. Calculer c1 et interpr�ter.
c1 = 1,013 x9,564 =9,688.
La consommation annuelle de caf� dans le monde sera de 9,688 millions de tonnes en 2019.
2. Justifier que la suite est g�om�trique et donner ces caract�ristiques.
cn+1 / cn = 1,013 ; suite g�om�trique de raison 1,013 et de premier terme c0 = 9,564.
3.a. Exprimer cn en fonction de n.
cn = 9,564 x1,013n.
b. En d�duire la consommation annuelle de caf� en 2032.
n =14 ; c14 = 9,564 x1,01314~11,460.
4.
On souhaite savoir � partir de quelle ann�e la consommation annuelle de
caf� d�passera 16 millions de tonnes. Compl�ter l'algorithme suivant et
donner le r�sultat.
N d�signe l'ann�e et C la consommation de caf�.
N <--0
C <--9,564
Tant que C < 16
N<--N+1
C<--C*1,013
Fin Tant que
N =2018+N
9,564 x1,013n > 16 ; 1,013n > 16 / 9,564.
n ln(1,013) > ln(16 / 9,564) ;
n > ln(16 / 9,564) / ln(1,013) ; n >39,84 soit 40 (ann�e 2018+40 soit 2058).
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Exercice 3. 5 points.
Partie A.
Dans
une fabrique de bonbons, les bonbons TROBONS constituent le produit
phare. Chaque paquet contient 200 bonbons conditionn�s en 10 paquets
individuels de 20 bonbons. Le paquet d'emballage p�se 4 g et les paquets
individuels 1 gramme.
On mod�lise la masse d'un bobon par une variable al�atoire B qui suit
la loi normale de moyenne 5 et d'�cart type 0,08. Les bonbons sont
rejet�s si leur masse n'est pas comprise entre 4,77 g et 5,23 g.
1. On choisit un bonbon au hasard. Quelle est la probabilit� qu'il soit accept� ?
P(B < 4,77) =0,0020 ; P(B < 5,23) =0,998 ; P(4,77 < B < 5,23) =0,998-0,002=0,996.
2. Un responsable qualit� affirme qu'au moins 99 % des bonbons p�se plus de 4,8 g. A t-il raison ? Justifier.
P(B > 4,8 ) =1-P(B < 4,8) = 1-0,0062 =0,9938. Il a raison.
3. Quelle est la masse moyenne d'un paquet de bonbons ?
200 x 5 +4 +10 =1014 g.
Partie B.
On s'int�resse � la qualit� des bobons avant leur mise en sachets.
On admet que la probabilit� qu'un bonbon soit impropre � la vente est
�gale � 0,004. On pr�l�ve au hasard 200 bonbons en fin de cha�ne de
production. On suppose que la production est suffisamment importante
pour assimiler ce pr�l�vement � un tirage avec remise.
On note X la variable al�atoire qui, � chaque pr�l�vement de ce type, associe le nombre de bonbons impropre � la vente.
Les paquets de bonbons doivent contenir au plus trois bonbons impropres � la vente. On tire au hasard 200 bonbons.
D�terminer la probabilit� que le paquet qui les contient soit accept� par le service qualit�.
X suit une loi binomiale de param�tre n = 200 ; p = 0,004 ; q = 1-p =0,996.
P(X=0)= 0,4486 ; P(X=1) =0,3603 ; P(X=2)=0,1440 ; P(X=3) =0,0382.
Probabilit� que le paquet soit accept� : 0,4486 +0,3603 +0,1440 +0,0382 ~0,991.
Partie C.
La fabrique de bonbons s'interroge sur la suppression des paquets
individuels. Le service d�veloppement durable lance une enqu�te sur un
�chantillon de 800 consommateurs pour estimer l'influence sur les
ventes d'une �ventuelle suppression des sachets individuels. Parmi ces
800 consommateurs, le nombre de clients qui ach�teraient ce produit
avec les sachets individuels est de 735 et le nombre de clients
qui ach�terait le produit sans sachets individuels est de 720.
1. D�terminer un
intervalle de confiance � 95 % de la proportion de clients qui
acheterait le produit avec ou sans sachets individuels.
1/ n� =1 / 800�=0,0354.
Intervalle de confiance pour les clients qui acheterait les bonbons avec sachets individuels :
Fr�quence f = 735 / 800 =0,9188.
[0,9188 -0,0354 ; 0,9188 +0,0354] soit [0,883 ;0,954 ].
Intervalle de confiance pour les clients qui acheterait les bonbons sans sachets individuels :
Fr�quence f = 720 / 800 =0,900.
[0,900 -0,0354 ; 0,900 +0,0354] soit [0,865 ;0,935 ].
2. Au niveau de confiance de 95 %, peut-on penser que la suppression des sachets est r�alisable ?
Les deux intervalles se recoupent. Il n'y aura pas d'influence sur les ventes.
Exercice 4.
Un bassin d'eau contenant 50 000 m3 a subi une pollution aux nitrates. Des mesures ont permis d'estimer qu'� un instant t0
la concentration en nitrate est de 10 000 mg / L. Un travail de
d�pollution est mis en oeuvre et on note f(t) la concentration en
nitrate dans l'eau, en mg / L, � l'instant t exprim� en heure, en
prenant t0=0.
Partie A.
On admet que la fonction f est solution de l'�quation diff�rentielle E : y' +0,2y=8.
1. D�terminer les solutions de E.
Solution g�n�rale de y'+0,2y=0 : f(t) = A e-0,2t avec A une constante.
Solution particuli�re de E : f(t) =40.
Solution g�n�rale de E : f(t) = 40+Ae-0,2t.
2.a. Expliquer pourquoi f(0) = 10 000.
La concentration initiale en nitrate est 10 000 mg / L.
2.b En d�duire l'expression de f.
10 000 = 40 +A. A = 9960.
f(t) = 9960 e-0,2t +40.
Partie B.
On admet que f(t) = 9960 e-0,2t +40.
1.a. Calculer la fonction d�riv�e f '(t) de la fonction f(t).
f '(t) = -0,2 x 9960e-0,2t = -1992 e-0,2t .
1.b. V�rifier que la concentration de polluant est d�croissante dans le temps.
e-0,2t est positif ; f '(t) est n�gative sur [0 ; +oo[.
f(t) est strictement d�croissante sur cet intervalle.
2. Pr�ciser la limite de f(t) en plus l'infini et interpr�ter.
En plus l'infini, e-0,2t tend vers z�ro et f(t) tend vers 40.
Au bout d'un temps suffisamment long, la concentration en nitrate est constante �gale � 40 mg / L.
3. Une eau est consid�r�e comme potable lorsque la concentration en nitrate est inf�rieure � 50 mg / L.
Combien de temps au minimum doit-on attendre pour atteindre cette concentration ?
9960 e-0,2t +40 < 50 ; 9960 e-0,2t < 10 ; e-0,2t < 10/ 9960 ;
-0,2t < ln(10 /9960) ; t > ln(996) / 0,2 ; t >34,519 heures ou 34 heures 31 minutes.
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