Math�matiques,
bac STI2D et STL Nlle Cal�donie 12 / 2020.
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Exercice
1. QCM 4 points
1. On consid�re le nombre complexe z = -2.3�+2i. Sa forme exponentielle est :
Le point A d'affixe zA = -1 +i 3� et le point B a
pour affixe zB = 2 exp(-i 2p / 3).
z = -4 exp(ip /6) ; z = 4 exp(-ip /6) ; z = 2 exp(i 5p /6) ; z = 4 exp(i 5p /6) Vrai.
Module de z : |z| =(12+4)� = 4.
z / |z| = -3�/ 2+ �i = cos (5p/6) +i sin (5p/6) ; z = 4 exp(i 5p /6).
2. La fonction f d�finie sur R par f(t) = 2 sin (3t+p/3) est solution de l'�quation diff�rentielle :
2y"+3y=0 ; 2y"+9y=0 ; y"+9y = 0 vrai ; y"+3y=0.
y' =6 cos(3t+p/3) ; y" = -18 sin (3t+p/3).
3. Soit la fonction f d�finie sur R par f(x) = e-2x et Cf sa courbe repr�sentative. L'�quation r�duite de la tangente � Cf au point d'abscisse 0 est :
y = -2x+1 vrai ; y = x+1 ; y =-2x-1 ; y = x-1.
f '(x) = -2e-2x ; coefficient directeur de la tangente en x=0 : f '(0) = -2e0 = -2.
y = -2x+b.
Le point de coordonn�es (0 ; f(0) = 1) appartient � la tangente.
1 = b ; y = -2x+1.
4. On donne le tableau de variation d'une fonction f :
Dans un rep�re orthonorm�, la courbe repr�sentative de la fonction f admet :
- deux asymptotes parall�les � l'axe des abscisses et une asymptote parall�le � l'axe des ordonn�es.
- une asymptote parall�le � l'axe des abscisses et une asymptote parall�le � l'axe des ordonn�es. Vrai.
- une asymptote parall�le � l'axe des abscisses et aucune asymptote parall�le � l'axe des ordonn�es.
- aucune asymptote parall�le � l'axe des abscisses et une asymptote parall�le � l'axe des ordonn�es.
Exercice 2. 5 points.
Une entreprise vient d'installer un distributeur � caf� dans la salle de repos de ses salari�s.
Partie A.
On admet que la dur�e de fonctionnement de ce distributeur jusqu'� l'apparition d'une premi�re panne est de 15 mois.
Ce distributeur b�n�ficie d'une garantie de 2 ans.
On mod�lise la dur�e de fonctionnement, en mois, de ce distributeur
jusqu'� sa premi�re panne par une variable al�atoire T qui suit une loi
exponentielle de variable l.
1. D�terminer la valeur exacte de l.
l = 1 /15 ~0,067mois-1.
2. Dans la suite, on prendra l = 0,067.
a. Calculer la probabilit� que ce distributeur n'ait pas subi de panne au cours de 12 premiers mois.
Probabilit� que ce distributeur n'ait pas subi de panne au cours de 12 premiers mois: p(T < 12) = 1-e-12 x0,067 =1-0,4475 ~0,553.
b. Calculer la probabilit� que ce distributeur subisse sa premi�re panne avant la fin de la garantie.
p(T < 15) = 1-e-15 x0,067 =1-0,368 ~0,632.
Partie B. Les volumes sont exprim�s en cL.
La notice pr�cise que le distributeur d�livre les caf�s dans des
gobelets d'une contenance de 16 cL. Le volume d'un caf� distribu� par
cette machine peut �tre mod�lis� par une variable al�atoire X qui suit
la loi normale d'esp�rance � =12,5 et d'�cart type s = 1,2.
1. D�terminer la probabilit� que le volume d'un caf� soit compris entre 11 cL et 14 cL.
P(X < 11)=0,10565 ; P(X < 14)=0,89435 ;
P(11 < X < 14)=0,89435-0,10565 ~0,789.
2. D�terminer la probabilit� que le caf� d�borde du gobelet.
P(X > 16) = 1-P(X <16) =1-0,998 ~0,002.
Partie C.
Tous les caf�s d�livr�s par ce distributeur ont une temp�rature initiale de 80�C.
On s'int�resse � l'�volution de la temp�rature des caf�s servis.
On note q(t) la temp�rature d'un caf� en �C, � l'instant t exprim� en minute.
On admet que la fonction q, d�finie et d�rivable sur [0 ; +oo[ est solution de l'�quation diff�rentielle :
q'(t) +0,2 q(t) = 4. (E).
1. D�terminer les solutions de cette �quation diff�rentielle.
Solution g�n�rale de q'(t) +0,2 q(t) =0.
y = A e-0,2t avec A une constante.
Solution particuli�re de (E) : y =20.
Solution g�n�rale de (E) : y = A e-0,2t +20.
2. Montrer que, pour tout r�el t positif : q(t) = 60 e-0,2t+20.
q(0) = A e0+20 = 80 ; A e0 = 60 ; A = 60.
3. Un salari� se sert un caf� et attend 4 minutes avant de le boire.
a. Quelle est alors la temp�rature de son caf� ?
q(4) = 60 e-0,2*4+20 ~47�C.
b.
D�terminer la valeur exacte de la dur�e d'attente n�cessaire pour que
la temp�rature du caf� atteigne 40�C, puis en donner une valeur
approch�e arrondie � la minute.
40= 60 e-0,2t+20 ; 20 = 60 e-0,2t ; 1 /3 = e-0,2t ; ln(1 / 3) = -0,2t ; t = ln(3) / 0,2 ~ 5,493 soit 5 minutes 30 s.
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Exercice 3. 5 points.
La population de loutres d'Europe d�cro�t en France du fait de la
d�gradation de son milieu naturel, mais �galement parce que cette
esp�ce est victime de pi�ges pos�s par les chasseurs.
Partie A.
Cette
population comptait 50 000 individus au premier janvier 1930. Depuis
cette date, la population a perdu 5 % de ses individus chaque ann�e du
fait de la d�gradation de son milieu naturel.
1. Calculer la population de loutres au 1er janvier 1931.
50 000 (1-5 /100 = 50 000 x0,95 =47 500.
On
fait l'hypoth�se qu'en plus de la chute d�mographique due � la
d�gradation du milieu naturel, 68 individus sont pi�g�s tous les ans
entre le 1er janvier et le 31 d�cembre. On mod�lise la population de
loutres par la suite (un) d�finie par :
u0 = 50 000 et pour tout entier naturel n, un+1 = 0,95 un -68.
2.
Calculer u1 et u2 et interpr�ter.
u1 = 50 000 x0,95-68 =47 432 loutres au 31 d�cembre 1931.
u2 = 47 432 x0,95-68 =44 992 loutres au 31 d�cembre 1932.
3.L'algorithme
suivant permet d'estimer l'ann�e � partir de laquelle la population de
loutres comptera moins de 1000 individus. Compl�ter cet algorithme.
N <-- 1930
U <-- 50 000
Tant que U > 1000
N <--N+1
U <-- U*0,95-68
Fin Tant que
4.
L'esp�ce est en danger d'extinction si elle comporte moins de 1000
individus. Justifier qu'un plan de r�introduction ait �t� mis en place
� partir de 1991.
La population de loutres sera inf�rieur � 1000 la 61�me ann�e soit en 1991, d'o� la mise en place d'un plan de r�introduction.
Partie B.
A partir de 1991, la population de loutres diminue toujours de 5 % par an, mais le plan de sauvegarde pr�voit :
- l'interdiction de la pose de pi�ges :
- la r�introduction de 250 jeunes loutres au 31 d�cembre de chaque ann�e.
On suppose que la population de loutres est �gale � 1000 au 1er janvier 1991.
On mod�lise la population � partir du 1er janvier 1991 par la suite (vn) d�finie par :
v0 = 1000 et pour tout n entier naturel n, vn+1 = 0,95 vn +250.
1. Soit la suite (wn) d�finie par wn = vn-5000.
Justifier que la suite (wn) est g�om�trique de raison 0,95. Pr�ciser w0.
wn+1 = vn+1-5000 =0,95 vn +250-5000 =0,95 vn+4750=0,95(vn+5000) = 0,95 wn.
w0 = v0-5000 = 1000 -5000 = -4000.
2. Exprimer wn en fonction de n.
wn = w0 *0,95n = -4000 *0,95n.
3. En d�duire que vn = 5000 -4000 *0,95n.
vn = 5000 +wn =5000 -4000 *0,95n.
4.
Dans l'hypoth�se o� l'on conserve la m�me �volution tous les ans, la
population de loutres peut-elle � long terme retrouver l'effectif de
1930 ? Justifier.
Quand n devient tr�s grand, 0,95n tend vers z�ro et vn tend vers 5000.
A long terme la population de loutres tend vers 5000. On ne retrouvera pas la population de 1930.
Exercice 4. 6 points.
Cf est la repr�sentation graphique de la fonction f d�finie sur ]0 ; +oo[ par : f(x) =ax+bx ln(x).
a et b sont deux r�els. La droite T est la tangente � Cf au point d'abscisse 1.
Partie A.
1. D�terminer graphiquement f(1) et f '(1).
f(1) = 2,5 ; f '(1) = coefficient directeur de T= 0,5
2. V�rifier que f '(x) = a+b+b ln(x).
D�riv�e de bx ln(x). : on pose u = bx et v = ln(x) ; u' = b ; v' = 1 /x.
u'v+v'u = b ln(x) +b.
f '(x) = a +b +b ln(x).
3. En d�duire a et b.
f '(1) = 0,5 = a+b ; f(1) = 2,5 =a ; b = -2.
Partie B.
On admet que pour tout r�el x de ]0 ; +oo[, f(x) = 2,5 x-2x ln(x).
1. Donner l'expression de f '(x).
f '(x) = a+b+b ln(x) = 2,5-2-2ln(x) =0,5 -2 ln(x).
2 Etudier le signe de f '(x) et en d�duire le tableau de variation de f. Les limites aux bornes ne sont pas demand�es.
f '(x) =0 si : ln(x) = 0,25 ; x = e0,25.
Si x < e0,25; f '(x) >0 et f(x) est croissante.
Si x > e0,25; f '(x) < 0 et f(x) est d�croissante.
Partie C.
On souhaite fabriquer des abris � v�los couverts. On a besoin de conna�tre l'aire des faces lat�rales.
Soit E le point de Cf d'abscisse 0,04 et F le point
d'abscisse 2 ayant m�me ordonn�e que E. Une face lat�rale est
repr�sent�e par le domaine d�limit� par la courbe Cf, les droites d'�quation x = 0,04 et x = 2 et la droite (EF) parall�le � l'axe des abscisses.
1. Montrer que la fonction G d�finie sur ]0 ; +oo[ par G(x) =x2(1,75 -ln(x)) est une primitive de f.
On d�rive g(x) en posant u = x2 et v = 1,75 -ln(x) ; u' = 2x et v' = -1 /x.
u'v+v'u =2x(1,75-ln(x)) -x =2,5 x-2x ln(x) = f(x).
2. On souhaite calculer  .
a. Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui permet de calculer cette int�grale ?
f(2) -f(0,004) ; G(2)- G(0,04) vrai ; f(0,04-f(2) ; G(0,04)-G(2).
b. Donner une valeur approch�e de cette int�grale.
G(2) =22(1,75 -ln(2))~4,227 ; G(0,04) =0,042(1,75 -ln(0,04))~ -0,00235.
G(2)-G(0,04)~ 4,2.
3. Toutes les dimensions sont exprim�es en m�tre. En d�duire une valeur approch�e de l'aire d'une face lat�rale.
Aire du rectangle EFPQ : (2-0,04) *f(0,04) =1,96 *(2,5 *0,04-0,08 ln(0,04))~ 0,70.
Aire d'une face lat�rale : 4,2-0,7 ~3,5 m2.
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