Math�matiques,
bac STI2D biotechnologies Nlle Cal�donie 12 / 2020.
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Exercice
1. QCM 4 points.
Dans les deux premi�res questions, on consid�re la fonction f d�finie sur R par f(x) =(x+2)e-2x.
La courbe C repr�sentative de f est donn�e.
Soit les points A(0 ; 2) et B(1 ; -1). La droite (AB) est tangente � C au point A.
1. f '(0) est �gale � : 2 ; -3 vrai ; -1 ; -1,5.
f '(0) est le coefficient directeur de la droite (AB) ; f '(0) = -3.
2.
L'ensemble des solutions de l'�quation f '(x) = 0 est : 2 ; 3 ; -2 ; -1,5 vrai.
La courbe pr�sente un maximum ( f '(x) =0 ) pour = -1,5.
Dans les deux questions suivantes, on s'int�resse � la greffe de corn�e en France.
47,6 % des inscrits en 2015 en Ile de France ont re�u une greffe de
corn�e la m�me ann�e. On choisit au hasard 100 inscrits en 2015. Ce
choix est assimilable � un tirage avec remise.
On note X la variable al�atoire qui compte le nombre de personnes
greff�es dans ce groupe. X suit une loi binomiale de param�tres 100 et
0,476.
3. La probabilit� d'avoir au moins 40 personnes greff�es est :
0,077 ; 0,651 ; 0,948 ; 1,027.
Au moins 40 personnes greff�es signifie 40 et plus de 40.
P(X >40)=1-P(X < 40)= 1-0,077=0,923 ~0,948.
4. Les conditions sont satisfaisantes pour approch�es la loi de X par une loi normale d'une variable al�atoire Y.
P(37 < Y < 58 )~ 0,038 ; 0,872 ; 0,853 ; 0,964 vrai.
Param�tres de cette loi normale : � = 100 x0,476 = 47,6 ; �cart type s =(100 x0,476 x(1-0,476))�~5,0.
P(Y < 37) =0,017 ; P(Y < 58) =0,981 ; P(37 < Y < 58 )~ 0981-0,017 ~0,964.
Exercice 2. 5 points.
Suite
� un accident nucl�aire, des traces de contaminations ont �t�
d�couvertes lors des contr�les r�alis�s � la sortie des zones
nucl�aires gr�ce au passage sous des portiques d'acc�s. Le tableau
suivant donne les r�sultats fournis, heure par heure, par un appareil
de mesure de la radioactivit�. Ni repr�sente le nombre de particules recueillies par l'appareil en une seconde.
1. Compl�ter la troisi�me ligne du tableau.
ti (heure)
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
Ni
|
170
|
102
|
63
|
39
|
24
|
16
|
9
|
| zi = ln(Ni). |
5,14
|
4,62
|
4,14
|
3,66
|
3,18
|
2,77
|
2,20
|
2 et 3 et 4 Repr�senter le nuage de points de coordonn�es (ti ; zi) ; donner l'�quation de la droite de r�gression lin�aire de z en t. La repr�senter.
5. En d�duire l'expression de N en fonction de t.
N = exp(z) =exp(-0,48t +5,12).
6. L'appareil
poss�de deux voyants, un rouge et un vert. Tant que le nombre de
particules recueillies est strictement sup�rieur � 3, le voyant rouge
est allum�. Lorsque le nombre de particules recueillies est inf�rieur
ou �gal � 3, le voyant rouge s'�teinf et le voyant vert s'allume.
D�terminer le nombre d'heure n�cessaires pour voir le voyant vert
s'allumer.
exp(-0,48t +5,12) < 3 ; -0,48 t +5,12 < ln(3) :
-0,48 t < ln(3)-5,12 ; t > [-ln(3)+5,12] / 0,48 ; t >8,37 heures.
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Exercice 3. 5 points.
On introduit initialement 200 bact�ries dans un milieu clos. On s'int�resse � l'�volution de la population de bact�ries.
Partie A. Un premier mod�le.
On note un la population de bact�riies pr�sentes dans ce milieu, n heures apr�s l'introduction des bact�ries. Ainsi u0 = 200.
Selon le mod�le propos� par Malthus, la suite (un) v�rifie, pour tout entier n : un+1 = un +aun+bun.
a=0,12 taux de natalit� et b=0,07 taux de mortalit�.
1. a. D�terminer le nombre de bact�ries 1 heure apr�s le d�but de l'exp�rience.
u1 = 200 +0,12 *200-0,07 *200 =210.
b. Montrer que la suite est g�om�trique de raison 0,05.
un+1 =un(1+0,12-0,07) =1,05 un.
c. En d�duire l'expression de un en fonction de n.
un = u0 *1,05n = 200 *1,05n.
2. Compl�ter le tableau suivant :
n
|
0
|
1
|
5
|
10
|
20
|
40
|
60
|
100
|
un
|
200
|
210
|
255
|
326
|
531
|
1408
|
3736
|
26301
|
3.a. D�terminer la limite de un. Justifier.
1,05 �tant sup�rieur �1, 1,05n tend vers plus l'infini quand n tend vers l'infini.
un tend donc vers l'infini.
b. Ce mod�le para�t-il r�aliste J Justifier.
Ce mod�le n'est pas r�aliste : quand le nombre de bact�ries devient
trop grand, la nourriture vient � manquer et les bact�ries meurent.
Partie B. Deuxi�me mod�le.
Le taux de natalit� et de mortalit� d�pendent de la population.
On note vn la population de bact�ries dans ce milieu n heures apr�s l'introduction de v0 = 200 bact�ries et on admet, que pour tout entier naturel n :
vn+1=1,12 vn -0,0001vn2.
1. On consid�re l'algorithme ci-dessous :
V<--200
N<-- 0
Tant que V < 1100
V<--1,12*V-0,0001*V2
N<--N+1
Fin Tant que
a. Compl�ter le tableau en ex�cutant l'algorithme � la main.
N
|
1
|
2
|
3
|
4
|
V
|
220
|
242
|
265
|
289
|
b.
A la fin de l'�x�cution, la variable N contient la valeur 34. Quel est
le r�le de cet algorithme ? Comment peut-on interpr�ter ce r�sultat ?
Cet algorithme calcule le nombre d'heures au bout desquelles la population de bact�ries atteint la valeur 1100.
Au bout de 34 heures la population de bact�ries atteint la valeur 1100.
2.
Le graphe ci-dessous donne la repr�sentation des premiers termes de la
suite (vn). Que peut-on conjecturer quant � l'�volution de cette
population � long terme ?
A long terme la population se stabilise vers 1200 bact�ries.
Exercice 4. 5
points.
Partie A. R�solution d'une �quation diff�rentielle.
On consid�re l'�quation diff�rentielle (E) : 5y'+7,9y=0.
1. D�terminer les solutions de (E).
y'+1,58y = 0.
y = A e-1,58x avec A une constante.
2. D�terminer la solution f de (E) qui v�rifie f(0) =0,001.
f(0) = Ae0 = A=0,001.
f(x) = 0,001 e-1,58x.
Partie B. Loi de Beer Lambert.
Un faisceau lumineux incident, d'intensit� I0,
traverse une solution contenue dans un tube transparent. A la sortie du
tube, l'intensit� I du faisceau lumineux est mesur�e par un d�tecteur.
I(c) = I0 e-edc.
e =1,58 L mol-1 cm-1, coefficient d'extintion molaire du solut� ; c concentration de la substance absorbante ; d= 1 cm �paisseur du milieu travers�.
I0 = 0,001 W sr-1 ( watt par st�radian ).
1. V�rifier que la fonction I(c) est la solution particuli�re de (E).
I =0,001 e-1,58c = f(x) trouv� ci-dessus.
2. Etudier sur [0 ; +oo[ les variations de la fonction f. Est-ce coh�rent dans ce contexte ?.
f '(x) = -0,001x1,58 e-1,58c .
Le terme en exponentielle �tant positif, f '(x) est n�gative et f(c) est strictement d�croissante.
Lorsque la concentration de la solution travers�e par le faisceau
augmente suffisamment, aucune lumi�re n'�merge de la solution. C'est
donc coh�rent.
3
D�terminer la valeur exacte puis arrondie � 0,01mol/L de la
concentration c permettant de r�cup�rer 75 % de l'intensit� du faisceau
incident � la sortie de la cuvette.
I / I0 = 0,75 = e-1,58c ; ln(0,75) = -1,58 c ; c = - ln(0,75) / 1,58 ~ 0,18 mol / L.
4. L'absorbance de la substance est d�finie par A(c) =ln(I0 / I(c)).
Donner sous forme simplifi�, l'expression de l'ansorbance en fonction de c.
I0 / I(c) = e1,58c ; ln(I0 / I(c))=1,58 c ; A = 1,58 c.
Partie C : valeur moyenne.
On admet que l'intensit� moyenne du faisceau lumineux lorsque la concentration varie de 0,5 mol /L � 1,3 mol /L est �gale � :
D�terminer la valeur exacte, puis une valeur approch�e � 10-4 pr�s, de m.
Primitive de 0,001 e-1,58c : G(c) =-0,001 / 1,58 e-1,58c ;
m =5 /4 ( G(1,3) -G(0,5) = 5 / 4 x(-0,001 / 1,58) (e-1,58*1,3 -e-1,58*0,5).
m = 5 / 4 x0,001 / 1,58 (e-0,79-e-2,054 ).
m ~7,911 10-4 (0,4538 - 0,1282) ~2,6 10-4 W sr-1.
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