Lancer
de gerbes de paille, Bac Am�rique du Nord 2021.
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Le
but du jeu est de lancer, � l'aide d'une fourche, une gerbe de paille
assimilable � un parall�l�pip�de rectangle de longueur 0,60 m , de
largeur 0,40 m et de hauteur 0,40 m au dessus d'une barre horizontale
plac�e � une hauteur pr�cise.
Etude du lancer.
La gerbe de masse m = 7,257 kg est assimilable � un point mat�riel M, correspondant au centre de masse.
A l'instant initial, M se trouve en M0, tel que H = 2,80 m. D =2,0 m. a = 80� ; v0 =9,0 m/s.
La barre horizontale est � une hauteur de 4,5 m par rapport au sol. L'action de l'air est n�glig�e.
A.1. D�terminer les coordonn�es du vecteur acc�l�ration de M.
M est en chute libre : ax = 0 ; ay = -g.
A.2. Montrer que les �quations horaies du mouvement sont : x(t) = v0 cos a t et y(t) = -�gt2 + v0 sin a t + H.
Le vecteur vitesse est une primitive du vecteur acc�l�ration.
vx= v0 cos a ; vy =-gt +v0 sin a .
Le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse et M0(0 ; H).
x(t) = v0 cos a t ; y(t) = -�gt2 + v0 sin a t + H.
A.3 .En d�duire l'�quation de la trajectoire.
t = x / ( v0 cos a) ; repport dans y :
y = -�gx2 / ( v0 cos a)2+ x tan a + H.
A.4. La gerbe franchira t-elle la barre.
y = -0,5 x9,8 x2 / ( 9 cos 80)2+ x tan 80 + 2,8.
y = -2,0 x2 +5,67 x +2,8.
y(2) = -2,0* 22 +5,67 *2 +2,8 = -8+11,34 +2,8 =6,14 m.
Valeur sup�rieure � 4,5 m, la gerbe passe au dessus de la barre.
On s'int�resse � trois positions particuli�res de M sur sa trajectoire parabolique : la position initiale, le sommet M1 et le point M2 situ� � la m�me hauteur que M0.
L'origine de l'�nergie potentielle de pesanteur est prise au sol.
A.5. Calculer la valeur de l'�nergie cin�tique et celle de l'�nergie potentielle de pesanteur en M0.
�mv02 =0,5 x 7,257 x9,02 =293,91 J.
mg H = 7,257 x 9,8 x 2,8 =199,13 J.
A.6.
Indiquer par un raisonnement d�taill� si chacune des propositions
suivantes est vraie ou fausse, lorsque l'on n�glige la r�sistance de
l'air.
Proposition I. L'�nergie m�canique est maximale en M0. Vrai.
En absence de frottement ( chute libre dans ce cas), l'�nergie m�canique reste constante.
Proposition II. L'�nergie cin�tique est nulle en M1. Faux.
Au sommet de la parabole, seule la composante verticale de la vitesse est nulle.
La composante horizontale de la vitesse n'�tant pas nulle, l'�nergie cin�tique n'est pas nulle en M1.
Proposition III. L'�nergie cin�tique en M2 est inf�rieure � l'�nergie cin�tique en M0. Faux.
Energie m�canique en M0 : mgH + Ec(M0).
Energie m�canique en M2 : mgH + Ec(M2).
Conservation de l'�nergie m�canique :mgH + Ec(M0) = mgH + Ec(M2).
Ec(M0) = Ec(M2).
En r�alit�, l'action de l'air ne peut �tre n�glig�e.
A.7. Indiquer par un raisonnement d�taill� si les propositions pr�c�dentes restent vraies ou fausses.
Proposition I. L'�nergie m�canique est maximale en M0. Vrai.
L'�nergie m�canique diminue du travail des frottements au cours du mouvement.
Proposition II. L'�nergie cin�tique est nulle en M1. Faux.
Proposition III. L'�nergie cin�tique en M2 est inf�rieure � l'�nergie cin�tique en M0. Vrai.
Energie m�canique en M0 : mgH + Ec(M0).
Energie m�canique en M2 : mgH + Ec(M2).
Non conservation de l'�nergie m�canique : mgH + Ec(M2) < mgH + Ec(M0).
Ec(M2) < Ec(M0).
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