Microphone et enceinte, circuit RC. Bac gn�ral Am�rique du Nord 2021

Le microphone.
Il permet de convertir un signal acoustique en un signal �lectrique. Le condensateur pr�sent dans le microphone est form� de deux armatures : la premi�re est constitu�e d'une membrane mobile en plastique recouverte d'une fine pellicule m�tallique, la seconde est constitu�e d'une plaque m�tallique fixe. Lorsque le microphone ne capte aucun son, la distance entre les armatures est de l'ordre de 15 � 25 �m.
Pour fonctionner, le condensateur doit �tre charg� : on s'int�resse � une source de tension continue qui n'a pas d'eefet sur le signal �lectrique de sortie envoy� vers le pr�-amplificateur.
On mod�lise le microphone par le circuit �lectrique suivant :

E = 48 V ; R = 100 MW.
On �tudie la phase de charge, le microphone ne captant pas de son.
B.1. Etablir la relation entre E, u_c(t) et u_R(t).
Additivit� des tensions :
E = u_c(t) + u_R(t).
B.2. Montrer que l'�quation diff�rentielle v�riifi�e par uc(t) est E = RC du_c(t) / dt + u_c(t).
u_R(t) = R i(t) avec i(t) = dq /dt et q = Cu_c(t) ;
i(t) = C du_c(t) / dt ; u_R(t) = R C du_c(t) / dt.
Par suite E = RC du_c(t) / dt + u_c(t).
On mesure la tension aux bornes du condensateur lors de sa charge.

Cette courbe peut �tre mod�lis�e par l'une des trois fonctions math�matiques propos�es ci-dessous.
1 : u_c(t) = E(1-e^t/(RC)) ; 2 : u_c(t) = E e^-t/(RC); 3 : u_c(t) = E(1-e^-t/(RC)) .
B.3. Quelle est la fonction qui convient ? Justifier.
Seule 3 convient :
Quand t devient suffisamment grand, le terme en exponentielle tend vers z�ro et u_c(t) tend vers E.
B.4. V�rifier que la fonction retenue est solution de l'�quation diff�rentielle.
du_c /dt = E /(RC) e^-t/(RC)
Repport dans l'�quation diff�rentielle : E = RC E /(RC) e^-t/(RC)+ E(1-e^-t/(RC)) .
E = E e^-t/(RC)) +E -E e^-t/(RC) ; E =E.
L'�quation diff�rentielle est v�rifi�e quel que soit t.
B.5 . Expression de la capacit� d'un condensateur plan : C = e S / d.
e : permitivit� de l'air ; d : distance des armatures ; S : surface des plaques en regard.
Pour ce microphone e S = 1,4 10^-15 F m.
D�terminer d en exploitant la courbe.
A t = RC, u_c(t) = 0,63 E.
Le graphe donne RC = 7,5 10^-3 s.
R = 100 10⁶ ohms ; C = 7,5 10^-3 / 10⁸ =7,5 10^-11 F.
d = e S / C =1,4 10^-15 / (7,5 10^-11) ~2 10^-5 m.

Sous l'effet des ondes sonores, la membrane se d�place en entra�nant une modification de la distance entre les armatures. la tension de sortie envoy�e vers le pr�-amplificateur est alors l'image des ondes sonores capt�es par le microphone.
B.6. D�tailler l'�volution de la capacit� du condensateur lorsque d diminue.
C = e S / d avec e S constant.
Si d diminue, la capacit� C augmente.