La
mission GRACE-FO, Bac Am�rique du Nord 2021.
Satellite, champ �lectrique, interf�rences, capacit� d'un condensateur.
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A Caract�ristiques de l'orbite.
L'orbite des satellites est
quasi-circulaire � l'altitude z = 490 km. L'inclinaison du plan de la
trajectoire sur l'�quateur est �gale � 89�. On parle d'une orbite
polaire. Les deux satellites jumeaux se d�placent sur la m�me orbite �
une distance not�e L de 220 km l'un de l'autre. Leur altitude leur
permet de parcourir environ 15 fois leur orbite par jour et d'obtenir
une cartographie mensuelle de l'�volution des masses d'eau.
On �tudie le mouvement d'un des satellites, de masse m, dans le r�f�rentiel g�ocentrique consid�r� galil�en.
A.1. Faire un croquis montrant la terre et le satellite sur son orbite.
A.2. Donner l'expression vectorielle de la force exerc�e par la terre sur le satellite.
A.3. En d�duire l'expression du champ de gravitation terrestre.
Ce champ est centrip�te, dirig� vers le centre de la terre et de valeur g= G Mterre / ( Rterre +z)2.
A.4.5.6. Etablir l'exppression vectorielle de l'acc�l�ration du satellite.
Montrer que dans le cadre d'un mouvement circulaire, le mouvement du
satellite est uniforme. Donner l'expression de la vitesse du satellite.
On note r = z + Rterre.
A.7. En
d�duire la valeur de la p�riode de r�volution du satellite et
v�rifier qu'elle est conforme � " leur altitude leur permet de
parcourur environ 15 fois leur orbite par jour".
Circonf�rence : 2 p(Rterre +z ) = 6,28 (6,371 106 +4,9 105 )=4,31 107 m.
Vitesse : (GM / r)� = (6,67 10-11 x5,98 1024 /(6,371 106 +4,9 105 ))� =7,62 103 m /s.
P�riode T = circonf�rence / vitesse =4,31 107 / (7,62 103) =5,65 103 s ou environ 1,57 heures.
Nombre de r�volutions par jour : 24 / 1,57 ~ 15.
On s'interesse � la situation particuli�re suivante.
Le satellite de t�te passe au-dessus d'une zone o� le champ de gravitation g1 n'est pas centrip�te alors que le 2�me satellite survole une zone o� r�gne un champ de gravitation g2 centrip�te.
A.8. Dans cette situation, expliquer si la distance L entre les deux satellites reste constante, augmente ou bien diminue.
D'apr�s le dessin, les normes des acc�l�ration des deux satellites sont �gales.
Vitesse du second satellite : v2, tangente � la trajectoire, valeur : 7,62 103 m /s.
Vitesse du satellite de t�te :
- contribution due � l'acc�l�ration normale : 0,87� v2 = 0,93 v2 ;
- contribution due � l'acc�l�ration tangentielle : 0,5 g2 t.
v1 = 0,93 v2 +0,5 g2 t.
Si
t est faible, la vitesse du satellite de t�te est sup�rieure � celle du
second satellite : L cro�t, sinon si t augmente suffisamment, L d�cro�t.
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Principe de l'interf�rom�tre embarqu�
Le
satellite de t�te est affect� en premier par un changement du champ
gravitationnel, cela engendre alors une l�g�re modification de la
distance le s�parant du second satellite. La mesure, par
interf�rom�trie, des variations de distance entre les satellites permet
d'acc�der � l'�volution du champ gravitationnel dans la r�gion
survol�e. Un interf�rom�tre laser, dont une partie est embarqu�e dans
le satellite de t�te et l'autre partie dans le second satellite,
d�termine avec une tr�s grande pr�cision la variation de distance,
not�e d, entre les deux satellites.
Le faisceau lumineux issu du laser se partage en deux faisceaux au
niveau du miroir semi-r�fl�chissant A : le faisceau 1 parcourt le
trajet ABCD, et le faisceau 2 parcourt le trajet AD. Les faisceaux
se r�unissent en D pour atteindre le d�tecteur d'interf�rences.
Longueur du laser dans le vide l = 1064 nm.
1. Justifier que ce dispositif permet d'obtenir des interf�rences.
Les
interf�rences � deux ondes sont produites par des dispositifs �
division du front d'onde ( miroir semi-r�flichissant dans ce cas).
2. D�finir le ph�nom�ne d'interf�rences constructives de deux ondes.
Les interf�rences sont constructives si elles correspondent � la superposition de deux ondes coh�rentes d'amplitude maximale.
La diff�rence de marche entre les deux ondes qui interf�rent doit �tre �gale � un multiple de leur longueur d'onde.
3. Etablir l'expression de la diff�rence de marche d en fonction de L.
d
=AB +BC +CD - AD =AB+CD = 2 L.
Le satellite 1 s'�loigne d'une distance d du satellite 2. Les deux satellites sont maintenant distants de L+d.
4. Montrer que la variation Dd de la diff�rence de marche vaut 2d.
Nouvelle diff�rence de marche d' = 2(L+d).
Dd = d'-d = 2(L+d) -2L = 2d.
Le capteur d'interf�rennces est capable de rep�rer au mieux une
variation de diff�rence de marche qui correspond � deux �tats
imm�diatement successifs d'interf�rennces constructives.
5.
Justifier que la variation de distance d correspondant � deux �tats
imm�diatement successifs d'interf�rence constructive est �gale � �l.
La
diff�rence de marche entre les deux ondes qui interf�rent de mani�re
constructive doit �tre �gale � un multiple de leur longueur d'onde.
d = n l ; Pour deux �tats imm�diatement successifs d'interf�rence constructive, n =1.
Dd =2d = l ; d = �l.
6. Calculer la plus petite valeur de d d�tectable.
1064 / 2 =532 nm.
Principe des acc�l�rom�tres.
Des
acc�l�rom�tres ultrasensibles embarqu�s � bord des satellites
permettent d'acc�der directement aux forces non-gravitationnelles par
la mesure de la variation des capacit�s de plusieurs condensateurs. Une
masse d'�preuve, maintenue en suspension au centre d'une cage
�lectrostatique, subit un d�placement lorsqu'elle est soumise � une
force non gravitationnelle. Son d�placement se traduit par la
modification de la capacit� de trois paiires de condensateurs.
On �tudie le fonctionnement d'un condensateur plan dont la face
de gauche de la masse d'�preuve constitue l'armature mobile, l'autre
armature �tant fix�e sur la cage �lectrostatique.
En absennce de forces non gravitationnelles, la distance
entre les deux armatures est not�e e. En pr�sennce d'une force
non-gravitationnelle, l'armature mobile subit un d�placement X ( compt�
positivement) dans la direction d�finie par le vecteur unitaire indiqu�
sur le sch�ma.
Capacit� d'un condensateur plan : C = e0S / D avec e0 permittivit� �lectrique du vide, S surface des armatures et D distance des armatures.
1. Discuter de l'influence du d�placement X, choisi positif, sur la valeur de la capacit� C.
e0S �tant constant, si la distance des armatures augmente, la capacit� du condensateur diminue.
2. Donner l'expression du champ �lectrique E cr�� entre les plaques du condensateur.
On s'int�resse � la situation o� la charge �lectrique q port�e par l'armature fixe est positive.
3.
Identifier le sch�ma qui, parmi les 4 suivants, repr�sente correctement
le champ E et la force F, action subie par l'armature mobile.
Le condensateur d�crit sur le sch�ma pr�c�dent est associ� � un second
condensateur. La masse d'�preuve est mobile entre deux armatures fixes,
l'une � gauche, l'autre � droite. Le dispositif est con�u de telle
sorte que la force �lectrostatique exerc�e par l'armature fixe de
droite sur la masse d'�preuve est exactement oppos�e � la force
�lectrostatique exerc�e par l'armature fixe de gauche : ces deux forces
se compensent.
4. Etablir la relation existant entre le champ �lectrique Ed cr�e par l'armature fixe de droite et le champ �lectrique Eg cr�e par l'armature fixe de gauche.
Les deux forces se compensent ; les valeurs absolues des charges q sont
identiques ; les deux champs ont la m�me direction, le m�me sens et la
m�me norme.
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