Math�matiques,
probabilit�s, suites, bac Am�rique du Nord 2021.
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Un laboratoire vient d'�laborer un nouveau test anti-dopage.
Partie A.
Une �tude sur ce test donne les r�sultats suivants :
- si un athl�te est dop�, la probabilit� que le test soit positif est 0,98 ( sensibilit� du test).
- si l'athl�te n'est pas dop�, la probabilit� que le r�sultat soit n�gatif est 0,995 ( sp�cificit� du test).
On
fait subir le test � un athl�te s�lectionn� au hasard au sein d'une
comp�tition. On note D l'�v�nement " l'athl�te est dop�" et T
l'�v�nement " le test est positif". La probabilit� de l'�v�nement D est
�gale � 0,08.
1. Traduire la situation � l'aide d'un arbre pond�r�.
2. D�montrer que P(T) = 0,083.
3.a. Sachant qu'un athl�te pr�sente un test positif, quelle est la probabilit� qu'il soit dop� ?
PT(D)= P(T n D) / P(T) = 0,0784 / 0,083 =0,945.
b.
Le laboratoire d�cide de commercialiser le test si la probabilit� de
l'�v�nement " un athl�te pr�sentant un test positif est dop� " est
sup�rieure � 0,95. Ce test sera t-il commercialis� ? Justifier.
Non car PT(D)=0,945 < 0,95.
Partie B.
Dans une comp�tition, on admet que la probabilit� qu'un athl�te contr�l� pr�sente un test positif est 0,103.
1.
Dans cette question, les organisateurs d�cident de contr�ler 5 athl�tes
au hasard. On note X la variable al�atoire �gale au nombre d'athl�tes
pr�sentant un test positif parmi les 5 contr�l�s.
a. Donner la loi suivie par X.
Loi binomiale de param�tre n = 5 et p = 0,103.
b. Calculer l'esp�rance de X et interpr�ter.
E(X) = np = 5 x0,103 =0,515.
En moyenne sur 10 athl�tes contr�l�s, un seul est dop�.
c. Quelle est la probabilit� qu'au moins un des 5 athl�tes contr�l�s pr�sente un test positif ?
1-P(X = 0) =1-0,580=0,42.
2. Combien
d'athl�tes faut-il contr�ler au minimum pour que la probabilit� de
l'�v�nement " au moins un athl�te contr�l� pr�sente un test positif"
soit sup�rieure ou �gale � 0,75 ? Justifier.
Pour 13 athl�tes contr�l�s : 1-P(X =0) =1-0,243 =0,757.
Pour 12 athl�tes contr�l�s : 1-P(X =0) =1-0,271=0,729.
Il faut contr�ler au minimum 13 athl�tes.
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2. Suites.
Un
biologiste s'int�resse � l'�volution de la population d'une esp�ce
animale sur un �le. Au d�but de l'ann�e 2020, cette population comptait
600 individus. L'esp�ce sera menac�e d'extinction sur cette �le si sa
population devient inf�rieure ou �gale � 20 individus.
Cette population est mod�lis�e par une suite (un) d�finie par : u0 = 0,6 ; un+1= 0,75un(1-0,15 un).
un : nombre d'individus en milliers ; en 2020, n = 0.
1. Estimer le nombre d'individus pr�sents au d�but 2021 et au d�but 2022.
u1= 0,75 u0(1-0,15 u0) = 0,75 x0,6(1-0,15 x0,6) =0,4095~0,41.
u2= 0,75 u1(1-0,15 u1) = 0,75 x0,4095(1-0,15 x0,4095) ~0,288.
Soit f la fonction d�finie sur l'intervalle [0 ; 1] par f(x)=0,75x(1-0,15x.)
2. Montrer que f est croissante et dresser son tableau de variation.
On pose u = 0,75 x et v = 1-0,15x.
u' = 0,75 ; v' = -0,15 ; u'v+v'u = 0,75(1-0,15x) -0,15 x0,75 x =0,75 (0,85 -0,15x).
f '(x) =0 si x = 0,85 /0,15 =17 /3.
f '(x) >0 si x < 17 / 3.
La d�riv�e est positive sur [0 ; 1] et la fonction est strictement croissante sur cet intervalle.
3. R�soudre sur cet intervalle, f(x) =x.
0,75x(1-0,15x.) = x.
0,75x(1-0,15x.)- x= 0
x(0,75(1-0,15x)-1)=0
x(-0,25-0,1125x)=0
x = 0 est la seule solution sur [0 ; 1].
On remarquera que un+1 = f(un).
4.a D�montrer par r�currence que 0 < un+1 < un < 1.
Initialisation :0 < u1 < u0 < 1 est vraie.( u1 = 0,41 et u0 = 0,6).
H�r�dit� : la propri�t� est suppos�e vraie au rang n.
0 < un+1 < un < 1.
La fonction f �tant strictement croissante : f(0) < f(un+1) < f(un )< f(1).
Soit 0 < un+2 < un+1 < 0,6375 < 1.
la propri�t� est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire, elle est vraie pour tout entier n.
b. En d�duire que la suite (un) est convergente.
c. D�terminer la limite de cette suite.
f(0) < f(un+1) < f(un )< f(1).
0 < un+1 < un < 1.
La suite est d�croissante et minor�e, donc elle converge.
5. Le biologiste a l'intuition que l'esp�ce sera t�t ou tard menac�e d'exctinction.
a. Justifier, que selon ce mod�le, il a raison.
La suite (un) converge vers z�ro. L'esp�ce sera t�t ou tard menac�e d'exctinction.
b. Le biologiste a programm� en langage python la fonction menace() ci-dessous.
def menace()
u = 0,6
n=0
while u > 0,02
u = 0,75*u*(1-0,15*u)
n=n+1
return n
Donner la valeur num�rique renvoy�e et interpr�ter.
0,75x(1-0,15x) > 0,02 ;
-0,1125 x2+0,75x-0,02 > 0.
Solution(s) de : -0,1125 x2+0,75x-0,02 =0.
Discriminant D = 0,752-4*0,1125*0,02 =0,5535 =0,7442.
Solution retenue : (-0,75 -0,744) / (-2*0,1125) =6,64.
soit n = 6,64 / 0,6 ~11.
En 2031, la population sera en voie d'extinction.
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